JO

GOMTINU EN RECTIWGiœ ALTEftSATIF, ET VICE VEK&A. 111

pairœ que tawt esi symétrique de part fit d'antre de la ligne aab.

Cela fait, si Ton développe en ligne droite la circonférence décrite par le bouton de la. manivelle, qu*ou partage £e développement en vingt parties égales, chacune des parties sera égale à l'un des ancs O-1, 1-fi, â-a, 3-4, etc., et représentera les chemins parcAurus tpar le h&uton de la m^ûvelle ; à chaque point de division on élèvera des perpendicalaires à œ déiveloppâBient, et on les prendra respectivement égales aux distances 0-1', 1-2'., A.3', 3-4', b-io', de la£gmre précédente.

La suite des |)oifil5 ainâ délâ^minés dcim^a «ne courbe fui

représentera la relation cherchée du mouvement du bouton de la manivelle et de la lige.

A l'aide de cette courbe, pour une position quelconque du bouton de la manivelle il sera toujours facile de trouver le chemin parcouru par un point de la tige, par sa télé, par exemple. Il suffira, en effet, de mesurer en degrés ou en parties de la circonférence l'arc qui sépare la position indiquée de la manivelle du point o de celle circonférence ; et si, par exemple, cet arc est de 48^ on aura sa longueur développée œ en parties de la longueur totale c de la circonférence par la proportion

doù

•360^:48®:: ûir:Cc: «,

112 DE LA TRANSFORMATION DU.MOtJVEMENT CIRCULAIRE

On portera cette longueur sur la droite 0-20 à partir du point 0; an point ainsi déterminé, on élèvera une ordonnée, dont la partie comprise entre la courbe et la ligne des abscisses donnera la course correspondante de la tige.

On remarquera que, si, comme il arrive souvent par l'action régulatrice que produit un volant placé sur l'arbre de la manivelle, le mouvement de rotation de celte pièce est sensiblement uniforme, les arcs décrits par le bouton, ou les abscisses de la courbe, seront proportionnels aux temps ; d'où il résulte (n** 18) que l'inclinaison des tangentes à cette courbe donnera la vitesse de la tige à un instant quelconque.

Il faut observer que ces inclinaisons doivent être mesurées non par les valeurs des angles, mais par le rapport des ordonnées qui représentent les espaces parcourus à leurs abscisses correspondantes qui représentent des temps, en ayant égard aux échelles, ainsi qu'il a été expliqué au n° i8.

On voit d'ailleurs, par la forme même de la courbe, que la vitesse croit graduellement et se retarde de même , de manière qu'elle est nulle au commencement et à la fin de chaque demi-circonférence. La plus grande inclinaison de la tangente correspond au point d'inflexion de la courbe, c'est-à-dire au point où , de convexe qu'elle est d'abord vers l'axe des abscisses, elle devient concave vers cet axe; c'est celui où le mouvement cesse de s'accélérer pour commencer à se retarder.

Il est d'ailleurs situé au delà du premier quart de la circonférence, et correspond à la position où la bielle est perpendiculaire à la manivelle.

Pour reconnaître si le mouvement de la tige s'éloigne notablement d'être d'abord uniformément accéléré, puis uniformément retardé, si nous construisons à côté de la courbe précédente, et d'après la méthode du n° 24, les deux branches de parabole qui satisferaient à cette condition, nous voyons que, pour le cas actuel où la longueur de la bielle n'a été supposée que de trois fois celle de la manivelle, ces courbes diffèrent peu l'une de l'autre. La courbe

parabolique est au-dessus de la courbe de la manivelle; et , les tangentes de la première étant, dans la période d'accélération/ plus inclinées que celles de la seconde, il s'ensuit que la vitesse du mouvement uniformément accéléré est plus* grande que celle produite par la manivelle, tandis que le contraire a lieu dans la période de retard.

La manivelle se place ordinairement à l'extrémité de l'arbre qui la porte» et en dehors de ses points d'appui ou tourillons.

Lorsque l'arbre de rotation porte à son extrémité un anneau ou un plateau solide en fonte ou en bois, on peut se dispenser d'employer une manivelle propt*ement dite. On se contente de disposer sur l'un des bras de la roue, qui sert alors de manivelle, un bouton, auquel on articule une bielle. Quelquefois aussi l'on place deux ou trois boutons, h des distances différentes du centre , afin de se réserver la facilité d'attacher la bielle à l'un ou à l'autre pour varier la course de la tige, ou l'on engage le boulon dans une rainure ménagée au plateau, et dans laquelle il est maintenu par la pression d*un écrou à la distance du centre que l'on juge convenable. Cette disposition est particulièrement applicable aux pompes, dont elle permet de varier la course selon la quantité d'eau à élever.

i04. Manivelles doubles, — Lorsqu'un même arbre doit conduire deux tiges, on emploie deux manivelles, que, selon les circonstances, il convient de placer à angle droit ou dans le prolongement l'une do l'autre.

Pour discuter ce qu'il convient de faire, il faut distinguer deux cas : celui où la tige est à simple effet, c'est-à-dire où elle n'agit utilement que

114 DE LA TftANSFORMATKHf W MOCTSIfENT REGTaiGlIE

pendant que la manivelle parcourt Tune des daix demicirconférences qu'elle décrit; et le cas où elle agit utilement dans ses deux courses» ce qui fait dire qu'elle est à dorMe effet. Le premier cas est celui des pompes ordinaires» qui n*élèrent ou ne refoulent l'eau que pendant l'une de Tears courses; le second est celui des machines à Tapeur ordinaires et des locomotiTes, où la vapeur agit alternativement sur les deux faces du piston, ainsi que celui des pompes à double effet, qui aspirent et refoulent alternativement l'eau pendant chacune des courses de leurs pistons.

105. Premier cas. Supposons d'abord que, les pompes étant à simple effet , les deux manivelles soient dans le prolongement l'une de l'autre, et qu'ainsi, Tune étant au point mort supérieur marqué , l'autre soit au point mort inférieur marqué 10 : les quantités d'eau élevées ou refoulées par la pompe étant proportionnelles à la surface du piston et à sa course, on voit que, pour le premier piston, elles iront en croissant pendant que la manivelle ira de à 10 (flg. du n*» 105) , et qu'elles seront proportionnelles aux ordonnées de la première branche de la courbe située à droite de jusqu'à l'ordonnée 10-10'.

Passé ce terme, pour avoir les chemins totaux parcourus par ce premier piston depuis qu'il a quitté le point mort

t 1 3 s à fi « 7 8 9 It 11 12 13 14 iS 16 17 18 19 20

supérieur, H Eaindrait ajouter ses courses correspondantes à

CONTINU EN REGTILIGNE ALtERNAÎlF, ET VICE VERSA. 115

la seconde demi-réyolution à sa course totale dans la première, c'est-â-dîre à l'ordonnée 10-10'. Or les courses de la seconde demi-révolution sont pour les points symétriquement placés à droite et à gauche de la verticale du centre exactement les mêmes que celles delà première. On obtiendra donc les points il', 12', 13', ..., 20' de la courbe qui donnera les chemins totaux cherchés, en portant au-dessus de l'horizontale lO'-M les hauteurs respectives des points 9', 8', 7', . . ., au-dessous de cette ligne.

Dans le cas d'un seul piston à simple effet, la pompe ne produisant que dans une des demi-courses , la course descendante, par exemple, on voit que la seconde branche de la courbe du produit sera inutile , et qu'il y aura intermittence du produit de ce piston pendant toute sa durée. Mais s'il y a deux manivelles dans le prolongement l'une de l'autre, conduisant chacune un piston à simple effet, le se« cofMl sera précisément arrivé au sommet de sa course quand le premier sera au bas de la sienne. Le produit de ce second piston ^'ajoutera à celui du premier, et étant déterminé par une courbe identique avec la branche 0, T, %\ 3', . . . , 10', il suffira de reporter cette courbe au-dessus de rborizontale lO'-M, pour avonr la courbe du produit total pendant la durée d'une révolution entière. On voit que dans cette disposition des manivelles le produit est nul quand elles sont aux points morts^ mais qu'à l'exception de ces positions , il y a ccmtinuité dans le produit»

Si les manivelles étaient d'équerre, et que» par exemple , la première étant au point mort supérieur, la deuxième itX en arrière au quart de la circonférence, il est clak que pendant le premier quart de la révolution la première produis rait s^le, et que le produit serait donné par la partie de courbe 0' 1' 3' 4' 5'. À la fin de ce premier quarl, le deuxième bouCoD étant au point mort supérieur et te piston qu'il conduit commençant à deseeudre^i le pttodait de celui-ci s'ajo»» ferait au pred«ût da pnfmier dan» le deutiène quart de la révolution, et on aurait la courbe du pfeduil en ajoutant

les ordonnées 0, I-T, 2-2', 3-3', 4-4', 5-5', respectivement aux ordonnées 5-5', 6-6', 7-7', 8-8', 9-9', 10-10'. On obtient

ainsi la branche de courbe 5' 61 7i 81 9i lOi. Mais quand la deuxième manivelle a parcouru le premier quart de la demicirconférence de droite, le premier piston est au point mort inférieur, et entre dans sa course ascendante, où il ne produit plus» et le produit ne s*accrolt plus que de celui du deuxième , qui est alors au quart de la demi-circonférence de droite.

On obtient donc la courbe du produit en portant respectivement au-dessus de la ligne lO'^^M les hauteurs des points 6' 7' 8' 9' 10' au-dessus de la ligne 0-20, et sur les ordonnées correspondantes aux points 12, 13, 14, 15, de la base.

Quand le deuxième bouton est arrivé au point mort inférieur, son piston cesse de produire aussi , et l'autre piston , n'ayant pas encore achevé sa course ascendante, ne produit rien non plus, de sorte qu'il y a interruption dans le produit des deux pompes. Gela dure ainsi pendant un quart de révolution ; après quoi , les boutons étant revenus à leur position initiale, tout recommence comme précédemment.

On voit donc que l'on obtient plus de continuité dans le produit en plaçant les boutons de manivelles des pompes à simple effet dans le prolongement l'un de l'autre, qu'en les mettant à angle droit.

CONTINU EN RECTILIGNE ALTERNATIF, ET VICE VERSA. Ii7

106. Second cas. Lorsqu'il s'agit de pompes à double effet , on arrive à des résultats différents. Si d'abord nous

«élu

1 2 s k a 6 7, 9 9 10 il 12 13 1^ 15 U ir 18 19 20

supposons que les manivelles soient dans le prolongement l'une de l'autre, il est facile de voir que, les produits des deux pistons s'additionnant, la courbe du produit sera obtenue en ajoutant aux ordonnées 0, 1-1', 2-2', 3-3', . . . , 10-10', les hauteurs des points 10', 1 1', 12', 13', . . . , 20' au-dessus de l'horizontale lO'-M, et qu'on aura ainsi d'abord la branche de courbe 0, li, 2i, 3i, ..., lOj, correspondante au produit pendant la première demi -révolution. Quant à la Seconde demi-révolution, les choses se passeront de la même manière, et il suffira de reporter la même courbe au-dessus de l'horizontale lOi-R pour compléter la courbe du produit relative à la révolution entière.

On voit que le produit est assez continu, mais qu'il est nul

aux points morts, et qu'il éprouve des variations indiquées par les inflexion^ de la courbe.

Si , au contraire , les boutons des manivelles sont à angle droit, et que, par exemple, le premier soit au point mort supérieur quand le second est au premier quart de la demicirconférence de droite, il est facile de voir d'abord que les chemins simultanément parcourus dans le premier quart de tour par les deux pistons seront les ordonnées 0, 1-1', 2-2', 3-3', 4-4', 5-5', pour le premier, et pour le second les hauteurs des points 5', 6', 7', 8', 9', 10', au-dessus de l'horizontale 5'-P, qui indique la hauteur à laquelle se trouvait ce second piston quand le premier était au point mort supérieur. Pour le second quart de tour, les ordonnées relatives au premier piston seront successivement 5-5', 6-6', 7-7', 8-8', 9-9', 10-10', et, pour le deuxième, les hauteurs des points 10', 11', 12', 13', 14', 15' au-dessus de la même ligne lO'M. La construction donnera ainsi la courbe U 2s 3i . . . , qui se rapproche beaucoup d'une ligne droite, mais qui montre que le produit de cette demi-révolution, ou plutôt que la somme des courses simultanées est plus grande que le double d'une course totale de piston; ce qui tient à ce que le second piston a parcouru la demi-circonférence inférieure, et que, par l'effet de l'obliquité de la bielle, la course du piston , dans chacun des quarts inférieurs de circonférence est plus grande que le rayon de la manivelle, tandis que le contraire a lieu dans les quarts supérieurs.

Pendant le troisième quart de la révolution, les courses totales du deuxième piston sont les hauteurs des points 15', 16', 17', 1?', 19', 20', au-dessus de l'horizontale 0-20, et celles du prenyçr piston sont les hauteurs des points 10', 11', 12', 13', 14', 15', au-dessus de Tborizontale 5 -P, qui correspond à sa position initiale; l'addition de ces courses donne la portion de la courbe du produit 10, l U 12s 13s 14s 15s. k la fin du troisième quart, le premier piston continue à s'élever, et le deuxième commence à descendre. Les ordonnées de la courbe des produits s'augmentent donc d'abord, pour le

premier piston» des hauteurs des points 15', 16', 17', 18', 19', 20', au*dessQS de rhorisontale 15-Q, et pour le deuxième, des ordonnées 0, Kl', 2-2', 3-3', 4-4', 5-5', ce qui fournit les points 15i 16, 17, 18, 19, 20,,

Le tracé montre que la somme de toutes ces courses partielles pour les deux pistons est, comme il était d'ailleurs évident à priori , égale à quatre fois la course de la manivelle.

Si l'on compare cette courbe du produit 0, 1„ 3,, 4,,..., 19„ 20^» relative au cas où les manivelles sont d*équerre avec la courbe 0, It, 2», 3i, ..., 19i, 20i, qui se rapporte à celui où les manivelles sont dans le prolongement Tune de l'autre, on voit de suite que , dans le premier cas , le produit n'est nul à aucun instant de la révolution , tandis que, dans le second, le produit est nul au commencement de chaque demi-révolution. On Toit, de plus, que la courbe relative au premier cas se rapproche beaucoup de la ligne droite qui donnerait une loi de produit uniforme, et que d'un instant ou d'un 20« à Yauix^ de la révolution, les produits consécutifis diffèrent moins entre eux que dans le cas des manivelles placées dans le prolongement l'une de l'autre.

De cette discussion Ton doit donc conclure que, pour les pompes à double effet, il est préférable, sous le rapport de la régularité du produit , de placer les manivelles d'équerre plutôt que dans le prolongement l'une de l'autre ; et comme d'ailleurs on fera voir plus tard que sous le rapport de la régularité de l'action motrice et du mouvement on arrive à la même conséquence, il en résulte que cette disposition est préférable sous tous les points de vue.

i07. Manivelles triples. — Pour transmettre simultanément à trois tiges un mouvement rectiligne alternatif au moyen d'un mouvement de rotation continu, on est obligé de couder l'arbre, de manière à former trois manivelles, dont les directions partagent la circonférence en parties égales.

ni

Ce dispositif présente de TavaDtage pour la régularité du mouvement ; mais il exige des précautions dans l'ajustage ;

dans le travail de la forge il faut apporter les plus grands soins pour que» dans les angles rentrants formés par les coudes U I de Tarbre , le fer ne

soit pas altéré et n'offre pas de solution de continuité. A cet effet , tous ces angles doivent être arrondis.

On peut, aussi facilement que pour les manivelles doubles, se rendre compte de l'effet des manivelles triples par une construction graphique, en distinguant toujours les deax cas où les tiges conduites sont à simple ou à double effet.

Premier cas. Les pompes à trois corps , dont les pistons sont presque toujours à simple effet, sont conduites par des manivelles triples, dont les boutons partagent la circonférence en trois parties égales, et sont par conséquent distants de ^ de circonférence ou § de demi- circonférence.

Gela posé , si Ton suppose toujours la circonférence décrite par les boutons développée en ligue droite et partagée en vingt parties égales numérotées de 1 à 20, lorsque le premier bouton sera au point mort supérieur représenté par 0, le second sera en avance à la position 13.33 dans le demicercle de gauche, et le troisième sera à la position 6.67 dans le demi-cercle de droite.

Les courses du piston conduit par le premier bouton et les produits de ce piston seront représentés par les ordonnées de la branche de courbe CI' 2^ 3' 4'.... 10'; passé le point 10 ou l'ordonnée 10-10', ce piston ne produira plus rien, puisque la pompe est à simple effet.

En même temps que ce piston produit, le second, qui est dans le demi-cercle de gauche, ne produit rien, et le troisième, qui passe de la position 6,67 à 10, produit des quantités d*eau proportionnelles à ses courses. Ainsi, quand le premier était à et ne produisait encore rien, le troisième avait parcouru une course représentée par l'ordonnée correspondante à Fabscisse 6.67, et ainsi de suite; de sorte que les courses utiles correspondantes et simultanées de ces deux pistons devront être ajoutées, et que, pour avoir le produit de la pompe depuis Tinstant où le premier bouton part du point mort supérieur jusqu'à celui où il est revenu à cette position, il faudra porter l'une au-dessus de l'autre les courses et les accroissements de course, ainsi qu'il est indiqué ci-dessous par sixième de tour.

^mlJiSaim Hauieurs utiles tMrcourues iimulianément . ou ordonnées détour Te la courbe du produit,

1 1*' piston de à 3,3 1 et 3* piston de 6,6 à 10 au-dessus de 6,6P.

2 1*' piston de 3,3 à 6,6 au-dessus de 3,3M.

3 1" piston de 6 ,6 à 10 au-dessus de 6 ,6P, et 2* piston de à 3 ,3.

4 2* piston de 3,3 à 6.6 au-dessus de 3, 3M.

5 2* piston de 6,6 à 10 au-dessus de 6,6P, et 3* piston de à 3,3.

6 3* piston de 3,3 à 6,6 au-dessus de a,3M.

Dans cette construction, les déplacements ou les courses de piston d'une ordonnée à l'autre s'ajoutent aux courses déjà parcourues. La seule attention à avoir, c'est de prendre les ordonnées qui se correspondent respectivement.

On obtient ainsi la courbe OA, qui représente la loi d'accroissement du produit pendant une révolution entière, et l'on voit qu'elle diffère bien peu d'une ligne droite , ce qui indique que dans les pompes à simple effet à trois corps , le produit n'est jamais nu/, et qu'il croit à fort peu près unifor^ mémera ou proportionnelkment aux angles décrits par Carbre des manivelles.

Second cas. On emploie peu de pompes à double effet

122 DE LA TBA9SF0RMATI0N DU MOUVEMENT REGTIU^NE

à trois corps; mais, si l'on appliquait la même méthode de discu&sion à ce cas, on verrait Hsbcilemimt que, pour

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