DES AXES PARALLÈLES

faitement tournées, qui roulaient ainsi Tune sur l'autre. On peut donc employer ce moyen pour des machines légères et précises.

De* eB|^eB»g«s.

189. Engrenage à coin. — M. J. Minotlo» ingénieur piémontais, a imaginé récemment un dispositif dont nous donnerons la théorie mécanique dans une autre partie des leçons» et que nous nous contenterons de décrire ici.

Aux rouleaux cylindriques doDt il vient d'être parlé, il substitue deux rouleaux, dont l'un présente une gorge creusée en forme de coin, et l'autre une saUlie de même forme entrant dans la première. Lorsque ces deux rouleaux sont serrés l'un contre l'autre, ce qui exige que Taxe de l'un d'eux soit mobile, le contact des surfaces annulaires latérales s'établit, et quand l'un d'eux tourne, il entraîne l'autre dans son mouvement.

Mais il faut remarquer que dans ce mouvement il y a inégalité de vitesse entre les arcs en contact. Si, par exemple, les circonférences oh et o'b^ qni se touchent au point 5, se développent dans la rotation de la même manière que si elles roulaient l'une sur l'autre sans glisser, de sorle que les nombres m et m' de tours des rouleaux faits en l' soient en raison inverse des rayons de ces circonférences, on aura pour ces circonférences : *

m X cire. oh=:w!>i cire. o'ft.

Hais il est évident que l'on aura aussi

m X cire. Oa>m' X cire. O'a puisque l'on a

Oa>06 et 0'a<0'6.

Par conséquent les points de la circonférence 06 de la roue 0, glisseront en avançant sur les points de la circon-

314 1>£S ENGAENAfifiS.

férence O'b de la roue 0' de la quantité qui, pour une minute,

sera

m X cire. Oa — m! cire. O'a ;

de même, comme on aura

mxcirc. Oc<m'Xcîrc O'c, attendu que

Oc<OaetO'c>0'^,

les points de la circonférence O'c de h roue O" glisseront, en avançant sur les points de la roua 0, d*une qumtité qui, pour une minute, sera

m' X cire . O'c — m X cire. Oc.

Maïs, par l'effet de ces glissements, les parties qui y sont exposées s'usent assez Tite et cessent de se presser, de sorte qu'au })out de peu de temps le contact n'a plus lieu que sur lès chreonférences, qui se développent sans glisser l'une sur l'autre.

Ce dispositif donne uiie transmission fort douce et trèscontinue du mouvement, mais il n'est pas susceptible de la précision que l'on peut obtenir avec des rouleaux bien tournés, attendu que le rapport -7 des nombres de tours dépend

toujours des rayons Ob et O'b des cercles de contact, et que, par l'effet de l'usé inégal ou d'une cause accidentelle, ces rayons peuvent varier un peu sans qu'on s'en aperçoive.'

La nécessité de rendre l'axe de l'une des roues employées mobile, est aussi un inconvénient qui peut nuire à la ré^gularité de la transmission.

190. Dents (f engrenage. — Mais> en général, il ne suffit pas d'appuyer ainsi deux rouleaux l'un sur l'autre pour assurer la communication du mouvement entré les deux arbres, parce que ce moyen offre des chances de glissement qui peuvent donner lieu à des accidents graves*

Pour rendre la transformation du mouvement de l'une des roues à l'autre obligatoire, on garnît leurs circonférences de

parties saillantes» appelées dents (ïengrenagef qui» débordant les anneauxoncowonnes qui les portent, s'engagent les unes dans les intervalles ou creux qui séparent les autres; de sorte que quand Tune des roues tourne, l'autre est obligée de suivre le même mouYement. De deux roues qui engrènent ensemble» la plus grande prend le nom de roue ou r^uet, la plus petite celui depignm*

La position des centres est quelquefois donnée, ainsi que le rapport entre le nombre de tours respectifs de la roue conductrice et de la roue conduite; et alors on partage la distance des centres ce' en deux parties et et c'^ telles qu'elles soient entre elles en raison inverse des nombres de tours. Si, par exemple, la roue conduite doit £ure trds tours pour un tour de la roue conductrice, on fera et égal à trois fois: c't^ ou Ton partagera ce' en quatrei et on prendra et égal à trois de ces parties, et c't égal à uœ. Lorsque la distance des centres n'est pas donnée, do la choisit de manière à avoir des roues qui ne soient pas de dimensions dispropor» tionnées» et d'après la force et le nombre des dents que l'on doit adopter. En général, il ne convient guère de fiiire des pignons dont le rayon soit moindre que le quart ou le cinquième de celui de la roue, quoiqu'on puisse, au besoin, atteindre et dépasser ces limites. Des points c et e' comme centres, avec les rayons et et c't, on décrira ainsi des cercles qui seraient susceptibles de rouler l'un sur l'autre dans le rapport voulu; on les nomme cercles primitifs ou propor* tionneU, Ils sont la base du tracé de l'engrenage pour lequel on s'impose la condition que le mouvement soit transmis dans un rapport constant, comme si ces cercles roulaient effectivement l'un sur l'autre. Comme pour chaque dent de la roue conductrice il en passe une de la roue conduite, s'ensuit que les nombres des dents sont aussi proportionnels aux rayons, ou en raison inverse des nombres de tours dé^ roues.

On partage les circonférences primitives en un nombre de parties, égales entre elles, déterminé selon l'épaisseur que les

dents doivent avoir et selon le rapport des rayons, et cette portion de circonférence primitive correspondante à chaque dent, et qui comprend l'épaisseur d'une dent et le creux qui la sépare de la suivante, s'appelle le pas de Vengrenage.

La condition fondamentale à laquelle le tracé doit satisfaire étant de transmettre le mouvement comme si les deux cercles primitifs et et dt roulaient l'un sur l'autre à la manière des rouleaux décrits au n* 187, la géométrie enseigne des méthodes simples pour tracer le profil qu'il convient de donner aux dents. Nous indiquerons ici celles qui sont le plus en usage.

191. Conditions fondamentales du tracé des engrenages. — Soient deux courbes amb^ a'mb\ fixées respectivement aux cercles et et (ft, et satisfaisant, par hypothèse, à la condition imposée ; menons la normale commune à ces deux courbes en leur point de contact, et abaissons des centres c et c' des perpendiculaires ck et c'V sur cette normale. Dans un déplacement infiniment petit des courbes et des cercles, les points k et k' décriront de petits arcs de cercle qui se confondront avec la normale kk\ et qui seront évidemment égaux, puisqu'on peut, dans ce mouvement infiniment petit, considérer khf comme une tangente commune aux deux cercles de rayons ck et c'k\ et gui les conduirait à la manière d'une courroie en développant et en enveloppant sur chacun d'eux des arcs égaux.

On aura donc, en appelant a et a\ les angles kct et fcV(,

d'où

ck f a

Tk'T^''' Mais, par hypothèse, dans ce mouvement les cercles pri-

mîtîfs et et c't développent, l'un sur l'autre, des arcs égaux, et l'on a

d'où

et ck^ a .

ce qui indique que le point t appartient à la normale au point de contact; donc, dans tout engrenage qui satisfait à la condition que le mouvement ait lieu comme si les cercles primitifs roulaient l'un sur l'autre, la normnîe au point de contact des courbes passe par le point de contact des cercle^ primitifs.

On arrive au même résultat par la considération suivante, qui offre l'avantage d'indiquer une solution facile et générale du tracé de tous les engrenages.

Supposons que les deux roues c et (/ portent des courbes anib et a'm6' qui satisfassent à la condition que les cercles primitifs tournent comme s'ils roulaient l'un sur l'autre en développant des arcs égaux ; il suit de là que, réciproquement, si l'on suppose un de «ces cercles fixe, et qu'on fasse rouler l'autre sur celui-là> les deux courbes, dans toutes les positions, seront toujours en contact. Or m étant, à un instant quelconque, le point de tangence des courbes amb et c^mb\ lorsque le cercle c', qui porte a'mb\ roulera autour du cercle c sur lequel est fixé am6, il est clair qu'au premier instant tous les points de ce cercle c', et, par conséquent, la courbe a'mb\ tendront à tourner autour du point de contact actuel t des cercles primitifs, de sorte que la courbe a^mV tend à envelopper le petit arc de cercle décrit de t comme centre avec tm pour rayon.

Ce petit arc de cercle, étant d'ailleurs tangent à l'une des courbes au point de contact, le sera aussi à l'autre et aura la même normale commune, et sa normale est d'ailleurs le rayon tm mené de « en m; il s'ensuit donc que la normale commune aux deux courbes passe nécessairement par le. point m.

Réciproquement» cette condition étant remplie, les deux courbes se conduiront de manière que les cercles primitifs tournent comme s'ils roulaient l'un sur l'autre, c'est-à-dire en développant des arcs égaux.

Puis donc que la courbe a'mVy dans ses diverses positions, enveloppe la suite des petits arcs de cercles qui peuvent être pris pour les éléments de am&, il s'ensuit que la succession de ces positions formera, par ses intersections, la courbe amh elle-même.

JDe là résulte le moyen de tracer la courbe amh à placer sur le cercle c quand on s'est donné une axrtre courbe quel- "conque G!mh\ montée sur le cercle c'

Exécutons avec une planche mince les deux cercles primi* tifs c et c\ et fixons sur le cercle c la courbe donnée dimb^-^ lions les deux cercles par une verge rigide, en laissant au cercle d seul la faculté de tourner autour de son centre en roulant autour du cercle c : la suite des intersections fournies par les différentes positions de la courbe dmV formera l'enveloppe de la courbe cherchée amb^ ou la courbe elle-même.

192. Tract de la solution gêfièral'e. — Mais, il y a une construction graphique plus simple et plus facile à exécuter, qui est aussi la conséquence de ce que nous venons de dire. Nous avons vu que le petit arc de cercle décrit avec le rayon tm et du centre t était tangent aux deuk courbes en m, et que, par suite, la courbe amb était l'enveloppe de tous les arcs de cercle analogues tracés avec les différentes normales comme rayons et des points de contact successifs comme centres.

Or, la courbe ou dent du pignon étant donnée, il est facile, avec un compas, de déterminer le rayon tm de ce petit arc de cercle.

De môme, si des deux points «i et t\ des deux cercles primitifs de la roue et du pignon, choisis de manière que tf^^ = tt^, nous menons des normales tiu et ^Ui aux deux courbes amh et a'mh\ les normales devront être égales .: car, lorsque

les deux cercles auront marché de inanière que t\ et u soient en contact, les deux courbes parvenues en Oimihx et a\miVx,

auront pour normale commune la ligne tmi égale à dn et à f'i%; et, comme d'une ouverture de compas on peut Ix'ouver lin, puisque la courbe du pignon est donnée, si, de celte longueur comme rayon et du point ft comme centre, on décrit un petit arc de cercle, il sera tangent à la courbe amb cherchée. Cette courbe sera donc l'enveloppe de tous les arcs de cercle décrits avec les rayons tm, t^^ etc., et des centres U 4> etc. De làYésuUe la construction suivante, trèssimple :

Étant donnée sur le cercle c* la courbe quelconque a'mV dépassant, par exemple, sa circonférence en dehors et en dedans^ portons sur les deux cercles primitifs, à partir des points m et m\ équidistants du point t, des arc^ égaux en longueur ml, m2, ma, etc., etm'l', w'2', m'3',etc.; ce qui sera iacile, puisque les nombres de degrés qu'ils renferment se* ront en raison inverse des rayons des <5erckè dont ils font respectivement partie. Les points 1 et T, 2 et 2', 3 et 3', etc., passeront respectivement en contact quand les dents se conduiront.— Des points i', 2\ 3', etc., décrivez des arcs de cer-

cle tangents à la courbe donnée clmh\ et avec les rayons respectifs de ces arcs et des points correspondants 1, 2, 3, etc. du cercle ct^ comme centres, décrivez d'autres arcs : la courbe qui les enveloppera tous sera la portion de la dent à placer sur le cercle et pour conduire la partie mV; c'est ce que l'on a exécuté à partir dé m en ma. Il est d'ailleurs évident par la construction même, que cette portion ma de la courbe am6se trouve en dedans du cercle c^ et correspondra à la partie vtiV de la courbe dmV qui est en dehors du cercle c^u

La forme indiquée sur la figure pour la bourbe donnée dmV montre que les arcs de cercle tangents à la partie ma' qui se trouve en dedans de ce cercle primitif c'i ont leurs centres de l'autre côté de la ligne cW que ceux qui sont tangents à la partie m'6'. La construction de la portion de courbe à monter sur le cercle c pour conduire la partie ffial est tout à fait analogue. Des points l'i, 2'i, 3',, etc., de la circonférence o't, comme centres, décrivez des arcs de cercle. Prenez respectivement ces rayons pour ceux d*arcs de cercle décrits des points li, 2,, 3i...., comme centres : l'enveloppe sera la courbe mh cherchée. La construction montre que cette partie mh extérieure au cercle cl conduira la portion m'a' de la courbe donnée intérieure au cercle du

On voit d'ailleurs que, si c'est la roue o qui doit conduire c', la parfie am intérieure au cercle primitif cl de la courbe amh conduira avant la ligne des centres c(/la partie mV extérieure au cercle primitif c'i de la courbe a!mh\ tandis que la partie mh extérieure de la courbe am6 conduira après la ligne des centres cd la portion a'm intérieure de la courbe a'rn^'.

On nomme. /Z^anc d'une dent la partie qui se trouve en dedans du cercle primitif, et /ace la partie qui se trouve en dehors ; de sorte que le résultat que nous venons d'indiquer peut s'énoncer ainsi : le fiano d'mie dent conduit la face detavn tre, et réciproquement.

195. Du choix des courbes convenables. — La construction que nous venons de détailler, et qui se trouve dans le cahier

lithographie du cours de mécanique industrielle de M. Poncelet (1830), montre que le problème des engrenages est susceptible d'une infinité de solutions géométriques; mais il est nécessaire de. faire un choix parmi les courbes qui en

résultent. Il arrive en effet quelquefois que, la courbe amb' étant donnée, la courbe amb a une inflexion, et que son flanc est concave ; c'est le cas de la figure ci-dessus. Elle n'est pas pour cela d'une exécution impossible, mais elle présente quelques difficultés, et, déplus, ces courbes sont plus sujettes que d'autres à devenir des réceptacles de corps étrangers, de graisse épaissie, et ces considérations seules suffisent pour faire rejeter de la pratique toute courbe concave, et par conséquent celles qui ont des inflexions.

194. Les engrenages à lanternes et les engrenages intérieurs ne peuvent pas conduire avant et après la ligne des centres. — ha. courbe a'mb' que nous nous sommes domiée dans la figure du n" 192 n'a pas d'inflexion : elle agit toujours par sa convexité, et passe au point t de part et d'autre de la ligne des centres. Si elle était en entier d'un même côté de cette ligne, la construction serait la même; mais, dans certains cas, tels

que celui du fuseau circulaire d'une lanterne, on trouverait, par le tracé, que la partie de la dent de la roue qui devrait conduire le fuseau avant la ligne des centres tomberait en dehors du cercle primitif, et, par conséquent, du même côté que celle qui le conduit après cette ligne; de sorte que l'exécution matérielle d'un pareil engrenage serait impossible. Il faut donc opter, et faire conduire le fuseau avant ou après la ligne des centres seulement; et, comme d'ailleurs la partie qui agirait avant cette ligne serait concave, et qu'outre les inconvénients que nous avons signalés, il y en a d'autres, que nous examinerons plus loin, à faire conduire ainsi, on choisit l'autre solution.

On arrive à un résultat analogue pour les engrenages intérieurs, ainsi qu'il est facile de s'en. assurer ; et il n'est jamais possible de faire conduire ces engrenages avant et après la ligne des centres, à moins qu'on ne se contente de faire agir une dent toujours sur le même point de l'autre, et, d'après les motifs ci-dessus, on se borne à faire engrener après cette ligne. C'est donc à tort, et par suite de la routine, que l'on voit souvent, même dans les engrenages intérieurs faits par des constructeurs renommés, des dents qui ont à la fois des faces et des flancs d'une certaine longueur destinés à être conduits avant et après la ligne des centres.

En se donnant, aprion, une courbe quelconque pour Tune des dents, on n'est donc pas sûr, d'après ce que nous venons de voir, que la solution géométrique que l'on obtiendra n'offrira pas d'inconvénients pratiques, et l'on est obligé de chercher parmi toutes les courbes qui satisfont à la transmission du mouvement uniforme celles qui sont d'une exécution facile.

198. Solutions m usage. — Les géomètres sont parvenus à plusieurs solutions du problème ; nous allons les rappeler succinctement. Considérons d'abord Je cas d'une roue et d'un pignon dont les cercles primitifs sont et et (ft.

Nous avons vu, au n* 101, que, si Ton fait rouler întérieu-

rement dans le cercle et on autre cercle dont le diamètre soit égal au rayon et du premier, un point quelconque m de sa circonférence parcourra un rayon c*m. Il ne sera pas inutile d*en rappeler la démonstration, et, pour cela, supposons que f soit le point du cercle c't qui se trouvait primitivement en contact avec m, et t le point actuel de contact : puisque le cerde et a roulé sur c7 intérieurement, l'arc tif=tm; et, comme ils ont des rayons doubles l'un de l'autre, tm contiendra deux fois plus de degrés que tf; mais le nombre de degrés de tf est la mesure de l'angle uff, dont le sommet est au centre du cercle c', tandis que la moitié du nombre de degrés de l'arc tm est la mesure de l'angle te'm, dont le sommet est sur la circonférence oc'; donc ces deux angles ayant même mesure sont égaux, et, par conséquent, les lignes c't et cm se confondent. Le point décrivant est donc resté sur le rayon (ff.

Si maintenant on fait rouler extérieurement le même cercle ot sur la circonférence et, il résultera de ce mouvement une courbe, qu'on nomme épicyelolde^ et dont le tracé peut s*exécuter ainsi qu'il sait :

196. Génération de Tépicycl(Me. — Soit c*ot le cercle qui, en roulant sur la circonférence de rayon et, engendre par ^\ l'un de ses points , la

\ ^^ courbe que l'on veut

tracer ; et r le point de contact actuel, que nous prendrons pour le point décrivant :

supposons que, par le roulement, le cercle roulant soit parvenu à la position oï', il est clair que ce point décrivant i se trouvera en m, sur ce cercle, en une position telle que l'arc ffn

soit de même longueur que )*arc tf; et réciproquement le point du cercle roulant qui est venu au contact en f est un point t\ qui, avant le déplacement^ se trouvait à une distance «' égale en longueur à l'arc tf ; les deux arcs tt^ et tf sont donc égaux, ainsi que leurs cordes; et les deux triangles ctt et cmf sont aussi égaux, puisqu'ils ont, en outre, les côtés et et cf égaux et les angles ctf et cft' égaux comme composés, chacun, d'un angle droit et d'un angle formé par une tangente aux cercles égaux où et oT et par des cordes égales : donc, le point décrivant m se trouve après le déplacement à la même distance cm du centre c que le point t' avant ce déplacement. Or cette dernière distance et' est connue, puisque la position du point t' est déterminée par la condition que l'arc tt' égale en longueur l'arc uf' ; donc le point décrivant m, pour la position nouvelle du cerde roulant, doit se trouver sur le cercle décrit du centre c avec cm pour rayon. ^

D'une autre part, lorsque le cercle roulant, parvenu au contact en f , tend à continuer son mouvement, il est évident que le point m décrit un élément de courbe qui se confond avec le petit arc de cercle décrit du point f comme centre avec la corde fm = tt' comme rayon. Le point m se trouve donc à l'intersection des deux arcs de cercle décrits du centre c avec et' comme rayon et du centre f avec tf comme rayon. De là résulte la règle suivante pour le tracé de l'épicycloïde par points :

107. Tracé pratique de VèpicycMde. — A partir du point de contact t, correspondant à la position initiale, partagez le cercle roulant ot et le cercle et sur lequel il roule en parties ou en arcs de longueurs égales, et, par conséquent, d'un nombre de degrés en raison inverse des rayons. Numérotez les points de division des mêmes chiffres distingués par des accents 1, 2, 3, 4 Du point «comme centre, avec les rayons

'!> ^2, «3 , décrivez des arcs de cercle; des points r,2',

3', 4' , du cercle de rayon et comme centres, avec les

rayons n, t2, t3 , décrivez d'autres arcs de cercle» qui

couperont respectivement les premiers en des points qui appartiendront à la courbe cherchée.

De ce que cette courbe doit être tangente à ces petits arcs de cercle décrits des centres 1', 2', 3', etc., avec les rayons fl, {2, tz, etc., il s'ensuit qu'elle les enveloppe tous, et qu'elle peut être obtenue en traçant, à la règle ployante, une courbe enveloppe de tous ces arcs. C'est, en effet, le moyen 'que Ton emploie le plus souvent; mais .la méthode que nous venons d'indiquer est plus exacte, puisqu'elle détermine les positions successives du point décrivant.

On remarquera de plus que les lignes tm et fm étant normales à la courbe cherchée et étant des cordes du cercle mobile menées par l'une des extrémités du diamètre, les cordes c'm, menées par l'autre extrémité, leur sont perpendiculaires, et, par conséquent, tangentes à la courbe. £n traçant donc la série de ces tangentes, elles devront envelopper la courbe extérieurement. On a ainsi la courbe déterminée par points, par enveloppe intérieure et par enveloppe extérieure.

Si maintenant nous supposons que sur le cercle et, on fixe en relief la courbe tm, et qu'en même temps le rayon et soit en relief sur le plan du cercle ot, il est clair que, quand le premier cercle tournera, la courbe poussera ce rayon de telle fiîçon que celui-ci restera toujours tangent à la courbe, et que, quand le cercle et aura décrit un angle tca, le point où la courbe coupera son cercle générateur ot appartiendra à la fois à la courbe et au rayon cWb du cercle c't et -sera, par conséquent, le point de contact de ce rayon avec la courbe, et la normale commune à. ces deux lignes sera la ligne tm\ puisqu'elle est perpendiculaire à cW. Les arcs ta et tb seront égaux entre eux, comme égaux tous deux à l'arc tm' : donc cette courbe et le rayon correspondant pourront être pris, la première pour la trace d'une dent montée sur le cercle et ; le second, pour le flanc d'une dent fixée sur le cercle e't^ puisque, dans le mouvement que la courbe produira à par-

226 DBS ENGRENAGES.

tir de la ligne des centres et aa delà, les deux cer* des primitifs se dëplaceroot comme s'ils roulaient Taa sur l'autre.

Réciproquement, si l'on fait rouler dans le cercle ct^ et extérieurement sur le cercle (ft un cercle dont le diamètre so|t ct^ le point t^ considéré comme point décrivant, engendrera dans le cercle et un rayon et, et sur le cercle c^t une épicydoide» qui jouiront des mêmes propriétés que les lignes précédentes, de sorte que, si l'on fixe sur le cercle et un rayon en saillie et sur le cercle c't la nouvelle courbe obtenue, le rayon pourra former le flanc d'une dent qui pousserait avant la ligne des centres, et jusqu'à cette ligne, la face de la dent formée sur l'autre roue par la courbe, en satisfaisant encore à la condition fondamentale.

198. Influence de Pépaissevr des dents et du pas sur le tracé. -^Nous nous occuperons, dans les leçons relatives à la résistance des matériaux, dé l'épaisseur à donner aux dents pour satisfaire aux conditions de solidité, et nous nous bornerons, pour le moment, à examiner l'influence de cette dimension sur le tracé. On nonmie pas de l'engrenage la distance qui existe entre les milieux de deux dents consécutives, ou entre la naissance d'une dent et celle de la suivante, mesurée sur la circonférence primitive. Lorsque les dents des deux roues qui engrènent ensemble sont faites de la même matière, elles ont même épaisseur, et, par conséquent, Vintervalle ou le creux^ qui sépare deux dents consé* cutives doit alors être au moins égal à leur épaisseur à la naissance ou au cercle primitif. Hais, dans la pratique et pour les engrenages ordinaires, afin de remédier aux défauts d'exécution, on fait le creux de ^ à ^ plus grand que le pleinj selon le degré de perfection que l'on peut donner à l'exécution. Il suit de là que le pas est donné quand on connaît l'épaisseur que doivent avoir les dents à leur naissance et qu'il est é.gal de 2,1 ou 2,067 fois cette épaîssear; et, comme cette dernière diniension ne dépend que de

DES £N6RfiNAG£S« 227

leur solidité, nous la supposerons quant à présent déterminée.

Il arrive souvent que les engrenages sont exposés à être contre«menés» c*est-^-dire que, si la roue o conduit ordinairement le pignon </, il y aura certains cas où^ au contraire, ce sera le pignon c' qui mènera la roue c. Gela peut être nécessité et avoir lieu périodiquement, par suite des mouvements à communiqiler ; mais en outre il n'est guère de machines où cet eJETet ne se produise par suite d'inégalités plus ou moins grandes dans la marche. C'est ce que Ton aperçoit facilement, par exemple, dans les machines à vapeur, dont la manivelle est animée de vitesses différentes en ses différentes positions, malgré la régularité que le volant tend à étaUir.

U faut donc que le tracé des engrenages et la (orme des dents se prêtent à conduire également bien dans lies deux sens opposés. A cet effet, ayant porté sur les cercles primitifs l'épaisseur à donner aux dents , on les termine des deux

côtés par des courbes pareiUes et par des flancs ; et l'on sent facilement, d'après ce qui précède, combien il importe de réduire le jeu de l'engrenage au strict nécessaire, afin que, dans les mouvements encens contraire, il y ait le moins de cliocs possible : aussi pour les engrenage bits avec soin, corn vient-il de réduire le jeu d'engrenage au ^ de l'épaisseur à la naissance.

Ayant donc tracé les deux courbes qui terminent les faces

de chaque dent et de ses flancs, il ne s'agit plus que de trouver sa longueur. Les courbes 6e et ce' se rencontrent en un point e, qui limite la plus grande saillie possible de la dent; mais on ne doit jamais leur donner toute cette longueur, parce que cette pointe s'userait promptement par le frottement et que la dent n'est plus aussi forte à cette extrémité qu'à sa naissance, et, en outre, parce qu'il convient de borner la durée de la prise de deux dents à ce qui suffit pour la continuité du mouvement. Beaucoup de praticiens croient, au contraire, qu'il y a avantage à avoir un assez grand non^bre de dents en contadt à la fois, pensant qu'alors la pression se répartit entre elles, et qu'elles fatiguent moins, ce qui permet de diminuer l'épaisseur. Mais il est pour ainsi dire impossible, même dans les engrenages le mieux, exécutés, que toutes les dents qui sont en apparence engrenées à la fois agissent réellement : car il faudrait, ou que le tracé fût géométriquement exact, ce que l'on ne peut se flatter d'obtenir, ou que les dents qui agissent d'abord fléchissent, pour que les autres puissent participer à l'effort, et l'on doit, pour la solidité des dents, les faire assez fortes pour éviter toute flexion sensible; on est donc, en. définitive, obligé de calculer leur épaisseur comme si une seule devait supporter tout Feffort de la roue, et, dès lors, tout l'avantage qu'on se promettait est perdu. Nous voyons donc qu'il suffit qu'il y ait toujours deux dents en prise à la fois, afin que, quand l'une d'elles cesse d'agir, il n'y ait pas d'interruption dans la conduite des roues.

199. Danger des arc-bautements. — Nous avons vu que la courbe d'une dent de roue pousse le flanc de celle du pignon, à partin de la ligne des centres et au delà, tandis que le flanc de la première pousse la courbe de la seconde avant la ligne des centres et jusqu'à cette ligne. Dans ce dernier mouvement, la somme des lignes cm! et eW, qui joignent le point de contact avec les centres c et c\ étant évidemment plus grande que la ligne des centres cc\ il est clair

que les dents glissent l'une sur Tautre en se poussant ; et que» si par suite de quelque inégalité ou aspérité dans leur surface elles s'accrochaient» il en résulterait un arc-boutement et peut-être rupture partielle ou totale. Au contraire» dans le mouvement après la ligne des centres, les points de contact tendent à se séparer en s'écartant» et le glissement des dents Tune sur l'autre ne peut éprouver aucune diffi* culte. C'est ce danger des arc-boutements qui a engagé beaucoup de mécaniciens à proscrire l'engrenage avant la ligne des centres; mais cet inconvénient, qui était grave dans les anciennes machines» où les dents» étroites dans le sens de l'axe et très-épaisses à la circonférence» avaient beaucoup de longueur pour que deux dents au moins fussent en prise à la fois, est presque nul dans les constructions actuelles» où l'on diminue l'épaisseur des dents en augmentant leur largeur» et où l'on ùe fait engrener à la fois que deux dents plus courtes : aussi l'usage a-t-il prévalu de faire prendre les dents autant avant qu'après la ligne des centres.

200. Longueur des dents. — D'après cela, sauf les cas analogues à ceux de la lanterne et des engrenages intérieurs, pour lesquelsily a impossibilité matérielle» on peut admettre que l'engrenage a lieu avant et après la ligne des centres ; et» puisque l'on se borne à avoir deux dents en contact à la fois» il suffira qu'une dent commence à prendre quand celle qui la précède est arrivée à la ligne des centres» et qu'elle cesse de pousser quand celle qui la suit est parvenue à cette ligne; ou» ce qui revient au même» que la conduite ait lieu» avant et après la ligne des centres, pendant un arc égal au pas mesuré sur la circonférence primitive de l'un ou de l'autre cercle. Cette condition détermine la longueur ou la saillie des dents; en elSet, soit (figure du n"" 198} l'arc tf égal au pas pris sur la circonférence dt' ; menons (ff : le point de contact du flanc du pignon, arrivé dans cette position et de la courbe de dent de la roue, sera» d'après ce que nous avons vu»àl'in« tersection du rayon dt* et du cercle dont c't est le diamètre»

OU en m; et, puisque pom- cet écartement, la roue doit cesser de pousser le pignon, il faut supprimer la portion de cette dent qui excède le point m ; si donc do centre e et d'un rayon égal à cm, nous décrivons une circonférence, eUe limitent toutes les dents de la roue de la manière conTenable. De même, si le flanc des dents de la roue ne doit commencer à pousser avant la ligne des centres qu'à partir cTun écartement tf égal au pas, nous mènerons ett, et son intersection m* avec le cercle dont et est le diamètre nous donnera le point m' de contact, qui sera le premier point par lequel le flanc de la dent de la rotte doit pousser la courbe de la dent du pignon; et, en traçant un cercle du centre & et avec le rayon (fm'y il terminera tontes les dents du pignon de la manière convenable.

Il sufBra ensuite , pour terminer le »creux des dents de a roue et du pignon, de tracer des centres c, c', avec les rayons cm et cW, augmentés de 3 à 5 millimètres, des arcs de cercle, qui, rencontrant la ligne des centres en des points i et h, détermineront les rayons c'i et ^ch de circonférences qui formeront le fond des creux du pignon et de la roue.

L'appKcation de la méthode de tracé indiquée ci-dessus montre que, même pour des roues de grandes dimensions, les deqfs auront toujours fort peu de longueur, et que les arcs de courbes épicycloîdes ont une très-petite étendue.

La règle que nous venons de donner pour déterminer les longueurs des dents est convenable pour les proportions ordinaires des engrenages; mais il convient de la modifier, d'une part, pour les roues qui ont un très-grand nombre de dents de peu d'épaisseur, et, de Tautre, ppur les roues qui ont peu de dents assez épaisses.

Dans le premier cas, les dents que Ton obtiendrait seraient un peu courtes, et, pour éviter le danger que les roues ne désengrènent dans le cas où les axes s'éloigneraient un peu, il convient d'augmenter leur loi^eun

Dans le second cas, au contraire, la longueur deviendrait

DES ENGMNAGES. 231

quelquefois trop grande et les dents trop faibles à leur extrémité.

Voici la règle que Ton ; substitue dans plusieurs ateliers. On donne aux dents une saillie proportionnée à leur épaisseur et aux flancs des dimensions qui permettent de les aroir de même longueur, en laissant au fond du creux un jeu pi)DporUonnel aussi à l'épaisseur des dents. Ces diverses conditions sont remplies par les formules suivantes, dans lesquelles :

S, représente la saillie totale de la dent sur la couronne;

By l'épaisseur des dents mesurée à la circonférence primitive;

F/..M la longueur du flanc ) de la dent dans le sens

Fa..., la longueur delà faceJde son axe de symétrie....

S= l,2Bàl,30B; PZ = 0,57S; Fa =43 S; ce qui donne pour le jeu au fond du creux

la saillie des d^its sur l'anneau qui les porte peut atteindre, mais ne doit pas excéder, 1,5 fois leur épaisseur, mesurée sur le cercle primitif.

901. Inconvénients de Fmgrenage à épicyclcMes. — Noi^ n'ayons examiné jusqu'ici que les applications de l'épicycloïde aux engrenages plans de différents genres, et nous avons vu que cette courbe et ses variétés satisfaisaient trèsbien aux conditions géométriques du mouvement; mais on doit observer que, dans la conduite après la ligne des centres, la normale commune aux courbes de dents varie d'indinaîson, et fait avec cette ligne un angle de plus en plus petit à mesure que le point de contact s'en éloigne. Sans entrer ici dans des détails, qui ne seraient pas à leur place.

sur la grandeur des efforts exercés, nous nous contenterons de dire qu'il en résulte que l'effort d'une dent sur l'autre est beaucoup plus grand vers la fin du contact qu'à la ligne des centres. L'effet inverse a lieu dans la prise avant cette ligne ; mais, dans les deux cas, on voit que les pressions des dents l'une sur l'autre sont variables, et que, par conséquent, elles doivent s'user inégalement. Nous verrons de plus, à l'occasion du frottement des engrenages, que la quantité dont le point de contact glisse sur les dents, ou le chemin parcouru par le point frottant, augmente à mesure que le contact a lieu plus loin de la ligne des centres. Il en résulte que la pression, et par suite le frottement, augmentent en même temps que le chemin parcouru par le point d'application de cette résistance, ce qui produit une grande inég*alité dans le travail consommé par le frottement et dans l'usé des dents : aussi remarque-t-on que les dents s'émoussent àjlextrémité et se creusent vers les flancs, ce qui altère leur forme primitive et par suite la régularité de la transmission du mouvement.

Abstraction faite de toute autre considération, l'engrenage à épicycloïde a l'inconvénient de ne pas permettre de conduire^ avec une même roue des pignons de diamètres différents, soit simultanément, soit successivement, en satisfaisant aux conditions imposées. En effet, dans cet engrenage, la courbe de la dent de la roue est déterminée par le mouvement d'un cercle ayant pour diamètre le rayon du pignon et roulant sur la circonférence primitive de celte roue ; si donc on avait des pignons de différents diamètres, on aurait des courbes distinctes correspondantes à chacun d'eux, et la même roue ne pourrait les conduire convenablement. On y parviendrait cependant en ne donnant à la roue que des flancs qui pousseraient avant la ligne des centres les courbes engendrées sur les circonférences primitives des pignons, par le roulement d'un cercle dont le diamètre serait égal au rayon du cercle primitif de la roue; mais on n'éviterait un inconvénient que pour tomber dans

un autre, puisque alors Tengren^e n'aurait lieu qu'avant la ligne des centres, et nous avons indiqué les défauts de cette disposition. On voit par là que, si l'on a adopté l'engrenage épicycloïde, on ne peut, avec la même précision, faire con* duire par une même roue des pignons de diCTérents diamètres, et, dans le cas où cela est indispensable, il faut recourir à un autre tracé *.

202. Engrenage â développantes de cercle. — Si l'on mène par le point t de contact des cercles primitifs une ligne kk'y

inclinée sur la ligne des centres ce', que des points c et c' on abaisse des perpendiculaires ck et c'k' sur cette normale, et qu'on décrive, des rayons ck et c'k\ des circonférences de

* Un autre défaut que Ton reproche à l'engrenage épicycloîdal étant l'inégalité de pression , on a cherché à obtenir des courbes de dents telles, . qu'elles exerçassent pendant toute la durée de leur contact un effort constant Tune sur l'autre.

Or, il est facile de voir qu'en appelant P la force constante qui agit à la circonférence primitive de Tune ou de l'autre roue , la pression normale exercée suivant mt a pour expression

^T PX ct P X <ft

d'où l'on voit que cette pression ne saurait rester constante sans que ck ou i^ le soient aussi, c'est-à-dire sans que la normale commune soit invariable de position; ce^qui revient aussi à la condition que le point de contact m reste toujours sur cette normale kk^^

cercle qui seront tangentes à kk', puis qu'on enroule sur cette circonférence les deux portions tk et îkf de la tangente^^eonstante en longueur et en direction, et qu'on les déronle, leurs extrémités traceront des développantes de cercle qui satisferont à la condition de se toucher sans cesse en un pœnt de la tangente khf.

En effet la normale commune à ces deux courbes devant, comme normale à chacnne d'elles , être tangente au cercle dont eUes sont respectivement les développantes, il s'ensuit que cette normale est la tangente commune aux deux cercles; et que, par conséquent, le point de contact qu'elle contient se trouve sur cette tangente commune, qui passe toujours par le point de contact t des deux cercles primitifs; d'où il résulte que ces courbes satisfont à la condition de transmettre le mouvement comme si ces cercles roulaient l'un sur l'autre *.

On voit , à l'inspection seule de la figure, que, dans l'engrenage à développantes, les dents se conduisent avant et après la ligne des centres de la même manière que dans le tracé général que nous avons indiqué au n* 191 , c'est-à-dire que le flanc d'une dent , ou la partie intérieure à son cercle primitif, conduit avant la ligne des centres la face de la dent de l'autre roue , ou la partie extérieure au cercle primitif de celle-ci, et réciproquement.

"^ On fait voir aussi que les déTelo{^)antes considérées comme oourlMs de dents satisfont à la condition d'égalité de pression; mais, ainsi que l'a ob- * serve M. Poocelet dans ses Leçons de mécanique industrielle de 1830, il ne s'ensuit pas pour cela , comme l'ont cru plusieurs auteurs , que les dents s'useront également. En effet , les chemins parcourus par les points frottants ne sont pas égaux, à toutes les distances de la ligne des centres, quand les arcs décrits sont les mêmes ; au c(»itraire, les dents glissent d'autant plus Tune sur l'autre que le contact a lieu plus loin de la ligne des centres. 11 s'ensuit que le travail du frottement est plus grand quand l'extrémité d'une dent pousse la naissance de l'autre que quand elles se conduisent près de la ligne des centres ; d'où résulte encore qu'elles s'useront davantage au bout et à la racine qu'au milieu.

On conçoit cependant que , puisque la pression 4st constante, on doit obtenir par l'emploi des développantes plus d'égalité dans Tiisé des dests, et que, sous ce rapport, il y ait avantage à s'en servir.

905. IncHnaison de la tangenie eomnmne aux cercle$ dévôloppés. — La direction de la ligne M/, qui doit être la normale commune aux dents pendant toute la durée du contact, est la base du tracé ; mais elle n'est pas arbitraire , et il conyi^mt de lui faire faire-^avec la ligne des centres le plus grand angle possible. En effet , les dents devant être dispo* sées , diaprés ce que nous avons vu , de manière que le pignon puisse au besoin conduire la roue au lieu d'être conduit par elle, on leur donnera une forme symétrique sur leurs deux faces ; et, pour que les deux courbes ne conven-' gent pas trop rapidement Tune vers l'autre, ce qui tendrait à affaiblir les dents vers leurs extrémités , il est nécessaire qu'elles aient la plus foible courbure possible , ou , ce qui revient au même , que la normale khf fasse le plus grand angle possible avec la ligne des centres.

D'après cela , voici la manière de déterminer la portion de cette ligne hk\ tangente commune aux deu» cercles à développer. Nous supposons qu'on connaisse le pas , ou la distance de la naissance d'une dent à celle de la suivante, et

qu'on l'ait déterminé d'après les cond^ions de solidité, en prenant le creux égal à 1,1 ou 1,067 de Tépaisseur de la dent; de plus, nous admettons qu'on veut avoir à la fois deux dents en contact, et qu'elles doivent se conduire, avant et après la ligne des centres, d'une quantité égale au pas, mesuré sur la circonférence primitive des deux roues.

Cela posé, portons sur le cercle primitif du pignon un arc îf égal au pas à partir de la ligne des centres, j6ignon8 l' et c', et du point l abaissons sur (ff une perpendiculaire tk' : il est clair que cette ligne tk prolongée sera, de toutes les directrices [lossibles, celle qui fera le plus grand angle avec la ligne des centres ; car.

pour toute autre ligne moins inclinée , la perpendiculaire abaissée du centre c' intercepterait un arc plus petit que le pas sur la circonférence du pignon; de sorte que le pignon ne serait pas conduit par la roue au delà de la ligne des centres d'une quantité égale au pas , puisque la naissance de sa courbe de dent serait en dedans de cet arc*.

Après avoir déterminé , comme nous venons de le dire , cette inclinaison minimum de la normale, on abaissera des centres c et d des perpendiculaires ck et c'ft' sur cette ligne, et on développera les cercles décrits avec ces rayons et des points c et c' comme centres. Le tracé de ces développantes n'offre aucune difficulté; il suffit, pour l'exécuter avec toute la précision désirable, de construire un segment de chacun des cercles ck et c'H avec une planchette mince, d'enrouler sur son contour un fil, dont une des extrémités y soit fixée , et d'armer l'autre d'une pointe à tracer ou d'un crayon, en déroulant Je fil de manière qu'il reste également tendu : la pointe ou le crayon tracera la courbe cherchée sur un papier ou une feuille mince de métal placée sous le cercle à développer. On découpera ensuite cette feuille de métal selon le contour tracé, et on aura un patron propre au tracé de toutes les dents.

Le même tracé donnera la développante qui formé la courbe de dent de la roue ; mais au lieu d'être égal au pas de l'engrenage ^ Tare à développer s'étendra depuis le point de tangence k de la perpendiculaire ck , menée du centre c sur la tangente commune kV ^ avec le cercle développé de

* On observera que le pied de la perpendiculaire tM abaissée de % sur €V se trouve à l'intersection du rayon d\! et du cercle dont c'^ est le diamètre; de sorte que la normale constante tV a la même longueur et la mêiÂe direction que la normale de l'engrenage à épicycloïde de même pas et dont l'amplitude de contact est la même. Par suite, le» bras de levier des efforts transmis dans la direction de ces normales sont égaux, ainsi que ces efiforts mêmes, si ceux qui sont exercés aux circonférences primitives ont la même intensité. Il suit de là que la plus grande pression qu'éprouve l'engrenage à épicycloïde est égale à la pression constante supportée par l'engrenage à développantes.

rayon ck jusqu'à une longueur hb égale à la portion tk de cette tangente. Le reste de la construction est entièrement analogue.

204. Autre tracé de la développante. — On peut aussi obtenir la développante par points au moyen de la construction suivante :

Ayant tracé la circonférence à dévelçpper, on la divisera en un nombre suffisant de parties égaies ab, bc, cd^ ed, dont

on calculera exactement la

longueur. Aux peints 6, c, d^

on mènera des tangentes aux

*2\^ ° cercles, et sur chacune d'elles

on portera des longueurs 51 c2 d% égales à autant de fois Tare aib qu*il y aura d'arcs égaux compris entre le point a et le point de tangence correspondant.

205. Tracé d^exécutûm. — Après avoir obtenu le tracé des courbes de dents, on partagera sur la circonférence. primitive de chacun des cercles le pas en deux parties, l'une égale à l'épaisseur donnée pour la dent d'après les règles de la

stabilité, l'autre à cette épaisseur augmentée de — à t^, ou — , selon le degré de perfection de l'exécution pour la facilité du jeu de Tengrenage. Des points de division on tracera des courbes identiques aux premières et disposées symétriquement, par lesquelles les roues se pousseront si elles ^doivent marcher en sens contraire.

Cela fait, il ne reste plus qu'à terminer les dents, de manière qu'elles se prennent et se quittent à une distance de la ligne des centres égale au pas. On connaît le point k\ naissance de la dent du pignon et point de contact de deux dents quand elles sont parvenues à l'écartement voulu de la ligne des centres. Par ce. point k' et du centre c, avec le rayon ck\' décrivez un arc de cercle; il coupera toutes les

238 DES EIVORENAGES.

dents de la roue à la longueur con?enaUe , et , l'une des dents de la roue touchant encore enkf^ la suivante sera, d'après la construction même, en contact à la ligne des cen* très en ^ et la seconde en arrière sera à une distance de cette ligne égale au pas. Par le point m, où la tangente commune kk' coupe la courbe de cette dernière dent , avec le rayon c'm, et du point c', comme centre, décritez une circonférence de cercle ; il est clair qu'elle limitera toutes les dents du pignon de manière qu'il ne soit en prise avant la ligne des centres qu'à partir de la distance voulue.

Quant au creux, on le terminera par des arcs de cercle de et (fe' , concentriques à chacune des deux roues , et qui, près de la ligne des centres, laissent, entre la circonférence de chacune d'elles et l'extrémité des dents de la roue opposée , un intervalle de deux à trois millimètres pour le libre passage des dents. Des rayons ad et a'cf , fe et f e, menés des naissances a et a\ f et f^, et tangentiellement aux courbes, réuniront les faces au fond du creux par de petits flancs en ligne droite , qui n'ont d'autre objet que la facilité du jeu de l'engrenage.

206. Cas où Von veut faire conduire plusieurs pignons différents par une même roue. — H est facile de voir que, si l'on doit faire conduire par la roue plusieurs pignons de diamètres différents successivement ou simultanément , il faudra déterminer rinclinaison de la directrice hk' d'après le plus petit de ces pignons, et que, cette ligne étant donnée, les dents de la roue resteront les mêmes. Pour obtenir le cercle à développer pour les dents d'un autre pignon , otf portera sur la ligne des centres, à partir du point t, une longueur égale au rayon du cercle primitif de ce pignon ; puis, de son extrémité cooune centre, avec un rayon égal à la perpendiculaire abaissée de ce point sur Jla directrice , on décrira un cercle dont la développante sera la courbe de dent cherchée. Le reste de la construction est entièrement analogue à ce qui précède.

207. Inconvénients de Vmgrmage à développantes. — Si l'engrenage à développantes offre , sous le rapport de l'égalité de pression» un avantage sur celui où l'on emploie des épicycloïdes » il présente aussi quelquefois des inconvénients qui-le rendent inapplicable , et dont Tautre est exempt.

Ainsi , quand le pas déterminé par là résistance à vaincre est assez grande et que le rapport du rayon du pignon à celui de la roue est petit, les deux courbes symétriques qui terminent les dents convergent rapidement Tune vers Tautre , et les dents se trouvent beaucoup trop faibles à leur extrémité ; il peut même arriver qu'il ne soit plus possible de conduire avant la ligne des centres d'une quantité égale an pas ; c'est, par exemple , le cas de la figure qui représente à une certaine échelle un engrenage dont le pas serait de 45 millimètres environ et les rayons de 0",10 et 0",60.

Quand même les dimensions ne seraient pas aussi exagérées que dans cette figure, il arrive souvent que, dans la

iMA

^iù^ f.:

• prise avant la ligne des centres , les dents se renconlreronl sous un assez grand angle, et qu'il y aura lieu de craindre les arc-bontements , et si, pour les éditer, on veut se borner à faire agir les dents après la ligne des centres , ce qui est

facile en limitant convenablement les dents du pignon , on ne pourra pas prolonger Ip contact au delà d'une distance égale au pas sans risquer de trop affaiblir les dents. De plus , il est bien difficile d'éviter que le pignon ne soit par« fois contre-mené , et l'on retombera dans l'inconvénient de Tarc-boutement. Dans des cas pareils , si l'on voulait employer l'engrenage à développantes, ce qu'il y aurait dfi mieux à faire serait de se borner à faire conduire les dents à une distance égale à la moitié du pas, avant et après la ligne des centres , comme l'indique la figure.

Nous remarquerons en outre que l'usage des développantes ne peut s'appliquer aux engrenages intérieurs , puîsquMl n'est pas possible de mener une tangente commune à deux cercles contenus l'un dans l'autre , et que , si l'on développe l'un des cercles primitifs, la courbe que l'on obtiendra ne pourra pousser que le point de contact, des cercles primitifs pendant toute la durée de son action-» ce qui produirait l'usé rapide de cette partie toujours en contact. *

Enfin, l'inspection des figures construites de grandeur naturelle pour un pignon et une roue dont les cercles pri-* milifs seraient les mêmes montrerait que, même en réduisant à son minimum l'inclinaison de la tangente kk' sur la ligne des centres, ce qui rend la saillie de l'engrenage la plus petite possible, la longueur des dents en épicycloïde est toujours plus petite que celle des dents en développantes, ce.qui est un avantage pour la solidité ; et que les faces de la première convergent dans tous les cas moins rapidement, ce qui tend à leur conserver encore une résistance plus uniforme*.

* Nous avons vu, de plus, que rinclinaison maximum de la normale sur la ligne des centres dans l'engrenage à épicycloïde est égale à rinclinaison* constante de cette ligne dans Tengrenage à développantes, quand cette dernière est réduite à son minimum, et que, par conséquent, les dents du premier ont à supporter nn effort dont la valeur maximum est au plus égale à celle de l'effort constant que doivent soutenir celles du second ; de sorte que, pour une même résistance, et dans le cas le plus favorable de l'engre-

Le plus grand avantage de l'engrenage à développantes , et ce qui nous parait devoir lui faire donner la préférence quand on a besoin de précision dans la transmission du mouvement, c'est qu'il conserve la propriété de transmettre le mouvement dans un rapport constant , même lorsque les deux roues ne sont pas à leur distance primitive , soit par suite de négligence dans la pose, soit parce que les supports ont été déplacés. Il résulte en effet de la forme des dents que la normale commune au contact est toujours la tangente aux deux cercles développés*.

Il est facile de vpir que l'engrenage à épicycloîde ne jouit pas de la même propriété ; et, comme il est bien difficile d'obtenir des monteurs assez d'exactitude dans la pose pour être sûr que les axes seront rigoureusement à la distance voulue» il en résulte un avantage réel en faveur de l'emploi des développantes quand il s'agit d'engrenages pour lesquels on a besoin d'une grande précision.

Cependant les épicydoldes, et surtout le tracé pratique que nous allons indiquer, sont plus généralement adoptés par les constructeurs à cause de la facilité d'exécution et de tracé, et de la généralité de son application. C'est au mécanicien que nous laisserons le choix, selon le degré d'exactitude qu'il croira devoir apporter à ses constructions.

nage à développantes, on peut adopter pour tous deux la même épaisseur de dents ) et que, dans le cas où la tangente commune n'a pas le minimum d'inclinaison, on peut faire, toutes choses égales d'ailleurs, les dents de l'engrenage à épicycloîde plus faibles que celles de l'autre , avantage dont nous apprécierons l'influence quand nous calculerons le travail consommé par le frottement des engrenages. )

Joignons à ce qui précède la remarque déjà faite au sujet de l'usé des dents, qui n'est pas uniforme comme on l'avait cru.

* Par conséquent aussi , les efforts exercés sur les deux cercles pour les faire tourner ont des bras de levier qui sont dans un rapport constant , quoique différent de celui qui avait é^ réglé par le tracé primitif , puisque la taôigente commune a pris une inclinaison différente. Le seul inconvénient qui résulte de ce déplacement des axes , c'est que la durée du contact est diminuée quand ils se sont éloignés, et un peu augmentée quand ils se sont rapprochés.

9U8. Tracé pratique par lequel on remplace VépicyeUnde. — II suit da peu de déyeloppement de la partie utile de Pépicycloîde qu*eUe se confond sensiblement ayec l'un des arcs de cercle dont elle est l'enveloppe, et qu'en substituant à cette courbe Tun des arcs intermédiaires entre celui qui correspond à sa naissance et celui qui appartient à son extrémité utile m on m', on aura une approximation bien suffisante pour la pratique. C'est au reste ce que montrent à Fœil, d*1me manière très-satisfaisante, des tracés de grandeur naturelle faits avec le plus grand soin. Nous sommes donc conduits à la règle pratique ^vante, très-simple, et entièrement dégagée de toute construction au ddà de la portée des artistes le moins instruits :

Ayant déterminé le pas de l'engrenage égal à 2,1 fois ou 2,067 fois Vépaissewr que doivent avoir les dents à la circonfé^ rence primitive des deux roues d'après les règles pratiques de la résistance des mMériauXy partagez sur chacun des cercles primiFtifSy à partir de la ligne des centres, le pas- en quatre parties aux points 1, 2, 3, et dont les deux premières soient égales à la moitié de V épaisseur de la dent^ et les autres à la moitié du creux; prenez les points ~o et 2 pour les naissances des deux cœirbes; des points 3 comme centres, avec une ouverture de compas égale aux cordes des arcs o3, décrivez de part et d^autre des arcs de cercle; à la rencontre de l'arc om avec la circon' férmce dont c't est le diamètre et qui touche le cercle d au point 4, limitez les courbes des dents de la roue; du point c, commue centre ^ et du rayon cm, décrivez une circonférence d$ cerclCy elle limitera V^trémilé utUe des dents.

Ce simple tracé est celui qu'on emploie le plus souvent dans la pratique; mais on voit que, pour rendre suffisante l'approximation qu'il fournil, il éiait nécessaire de prendre pour centre des arcs de cercle qu'on substitue aux courbes un point intermédiaire entre les centres de ceux qui correspondent aux petits arcs élémentaires tangents à leurs extrémités, et l'on a choisi le troisième ptrint à partir de la naissance, ou le milie^ du creux, parce que le point de con-

D£S BKOaENAGfiS. 243

tact se déplace d'autant plus rapidement sur la courbe qu'il est plus loin de la naissance. Au reste, en exécutant rigoureusenient les épicycloïdes, puis en les comparant dans leur partie utile avec les arcs de cercle qu'on leur substitue, on trouYe que la différence entre les deux formes de dents n'est pas de l'épaisseur d'un trait de tire-ligne très-fin ; et certes, il n'est pas de mécanicien qui, dans la construction des machines industrielles les plus soignées , ne se contente d'une pareille exaetitnde.

200. Précaiaians contre le retrait du métal. — La figure des dents obtenues par la méthode ci-dessus sera celle du modèle, auqud il oonTient de laisser toujours un léger excès de dimensions pomr pouvoir retoucher les pièces au burin ou à la lime, ce qu'on nomme en termes d'atelier laisser du gras; mais, quand il s'agira de finir l'engrenage, nous avons vu que le creux devant être plus fort que l'épaisseur

de la dent de — à -- ou -^j îl faudra prendre Tare 0, 2, de

— à Yô pi^ grand que l'ave 3, a» ; ou, œ qui revient au

9 11 même, prejidre pour l'épaisseur de la dent g^ou —, et