DES QUESTIONS RELATIVES A L'ÉTABLISSEMENT DU RÉGIME UNIFORME
Le régime uniforme ou plus exactement, uniformément périodique, présente, dans beaucoup de cas, une grande importance pratique, parce que la chute nécessaire pour le transport des liquides y est un minimum relatif, les quantités de travail successives des réactions de l'inertie se compensant deux à deux. C'est le régime qui a lieu dans les tuyaux de conduite et les canaux bien établis ; en outre, la plupart des modifications introduites artificiellement dans le lit des rivières ne doivent pas être uniquement conçues, en vue de leur objet spécial, et il faut encore, pour que les ouvrages d'art ne soient pas exposés à des actions destructives, que le régime ainsi créé s'éloigne aussi peu que possible de l'uniformité. Les propriétés et les théorèmes nouveaux qui vont être exposés, concernent toutes les circonstances de cet état des courants coulant entre des parois; si quelque solution n'est pas complète par suite de l'insuffisance des résultats d'observation sur lesquels on peut s'appuyer avec sécurité, les bases en sont posées.
ta ROTMMS ROCVILLM D'iYDBAUUQUK.
Nouvelle théorie du régime uniforme des courants liquides.
29. Définition des nappes à égales vitesses et des filets liquides. — » La considération des courbes d'égale vitesse conduit à regarder les courants à régime uniforme comme composés de couches extrêmement minces ayant ces courbes pour directrices, et dont les génératrices sont parallèles au mouvement général de translation du courant. Cette notion pouvant être utile pour les calculs théoriques qu'elle simplifie, je vais la préciser en lui donnant un caractère physique.
Considérons, dans l'une des sections transversales c'est-à-dire perpendiculaires à la direction du courant, le système des molécules dont la vitesse expérimentale est v, puis les deux groupes analogues immédiatement voisins, dont l'un a une vitesse v r supérieure à celle-ci, tandis que l'autre se transporte avec une vitesse v" inférieure à v : en supposant même que les molécules liquides oscillent transversalement, elles doivent passer périodiquement par des positions moyennes ; nommons 7, l r et l' les lignes qui, respectivement, dans chacun des trois systèmes précités, joignent entre elles ces positions, et concevons une courbe A passant par le milieu de l'intervalle existant entre / et /", puis une seconde courbe A f équidistante de / et de t : ces deux courbes, dont l'intervalle est égal à la distance intermoléculaire moyenne p, comprendront entre elles les molécules animées de la vitesse de translation v. Concevons maintenant, dans la même section, deux éléments linéaires dont chacun soit normal aux deux courbes A et A', et dont l'intervalle soit égal à la distance intermoléculaire p r existant dans le sens tangentiel ; cette distance étant extrêmement petite, Faire du quadrilatère limité par les deux normales et par les arcs qu'elles interceptent sur les courbes A et A', peut être mesurée par le produit pp'. Cela posé, j'appliquerai la dénomination de filet liquide employée trop vaguement par leshydrauliciens, à l'élément prismatique du volume du courant, qui a pour section transversale cette aire et pour arêtes des lignes parallèles au mouvement de translation ; en outre, je regarderai les courants comme composés de groupes moléculaires ayant pour section transversale Taire comprise entre deux courbes telles que A et A' et pour génératrices des lignes parallèles au mouvement de translation ; je nommerai ces groupes nappes à égales vitesses, ou, pour abréger, nappes. En résumé, chacune d'elles est la somme
THtORifi ©c ntaim mnrouiB. If
des filets qui ont une même vitesse de translation, et le courant est la sommé des nappes à égales vitesses.
Les définitions qui viennent d'être posées, outre leur précision, presto* tent cet avantage que les proportions de la matière liquide et des intervalles qui n'en contiennent pas, sont les mêmes dans chaque filet ou dans chaque nappe que dans la masse totale, de sorte que les poids de ces éléments ont pour mesure exacte le produit de leur volume par la densité gravimétrique du courant.
30. Observations relatives au frottement des courants sur leurs parois. —~ On regarde généralement les pertes de vitesse de translation occasionnées par les parois comme entièrement dues à une résistance parallèle à ces parois, résistance que Ton nomme frottement ; mais cette manière de voir doit être modifiée, car, une partie des pertes dont il s'agit a pour causes les mouvements intestins, qui consomment une certaine portion du travail moteur dépensé sur le courant.
Pour préciser entièrement la distinction que nous établissons entre cette catégorie de causes des pertes de vitesse dues aux parois, et la résistance tan* gentielle que Ton considère ordinairement, il suffit de concevoir l'expérience suivante : si, sur la surface horizontale d'une masse d'eau en repos, on fait glisser, avec une vitesse constante V, un prisme en liège légèrement convexe à ses extrémités, la force de traction qu'il faudra employer sera due aux deux catégories de causes précitées, car les aspérités de la surface mouillée feront naître dans la masse liquide des quantités de mouvements intérieures; mais si, le prisme étant immobile, on fait mouvoir la masse liquide * avec la vitesse précédente V, la force qu'il faudra exercer parallèlement à cette vitesse pour le maintenir au repos, ne sera due qu'à la somme des composantes tangentielles des actions exercées sur les aspérités de la surface solide mouillée, et aux adhérences qui peuvent se produire entre cette surface et celle du liquide.
31. Remarque relative à la pente des courants. — Lorsqu'il s'agit des canaux ou des rivières, la dénomination de pente s'applique au sinus de l'inclinaison sous l'horizon, de la surface liquide libre, surface qui, dans le cas du régime uniforme, est sensiblement parallèle au fond du lit, et cet
l 'Ce mouvement peut étne facilement obtenu si l'eau est contenue dans une longue caisse prismatique posée sur une plate-forme horizontale par l'intermédiaire de roulettes ou galets.
ÎO KOTIOKS ROOVXIAKS D'HYDIAUUQOE.
élément de calcul peut être obtenu au moyen d'un nivellement. Cette opération est difficile, elle doit être répétée plusieurs fois afin qu'on puisse adopter une moyenne ; il faut d'ailleurs y employer des tiges verticales métalliques terminées par une pointe très fine que l'on amène lentement au contact de la surface liquide ; quand ces pointes pénètrent au lieu de toucher simplement, elles excitent des rides superficielles que les rayons solaires peuvent faire apercevoir.
Dans le cas des tuyaux, les hydrauliciens ont appliqué la dénomination de pente à la différence de niveau, sur l'unité de longueur du courant, entre les sommets des colonnes liquides de piézomètres insérés dans la paroi 1 , mais alors l'expression est défectueuse, car elle n'a pas, comme dans les cas précédents, une relation directe avec l'inclinaison du courant lui-même, inclinaison qui peut être nulle sans que la dénivellation piézométrique le soit. Or, dans l'une et l'autre des deux catégories de courants, la quantité dont il s'agit est la portion de la chute disponible qui est perdue par suite des causes qui viennent d'être indiquées, de sorte que la dénomination de perte de chute que j'ai adoptée, convient beaucoup mieux, attendu qu'elle représente, dans tous les cas, la réalité naturelle des faits.
32. Etablissement de F équation générale du régime uniforme* — On sait que le colonel du génie Du Buat, dans l'ouvrage intitulé Principes d'hydraulique, a posé en 4786 l'égalité entre la résistance des parois et la composante de l'action motrice parallèlement à la direction du courant, égalité qui a été jusqu'à présent l'unique base théorique de la solution de diverses questions importantes : or, cette relation n'implique aucune différence entre un système de molécules liquides et un prisme solide qui glisserait sur un plan incliné entre des surfaces directrices, et, si Ton peut la conserver, c'est à une double condition, savoir, de substituer aux mouvements réels de translation périodiques, les moyens mouvements qui ont été définis au n° 20 de cet ouvrage, et de considérer, non seulement ce qu'on nomme frottement sur les parois, mais en outre, comme on le verra à la suite de la nouvelle théorie, les résistances des forces constitutives du liquide aux mouvements
1 Les oscillations continuelles de ces colonnes liquides peuvent occasionner des erreurs qui sont, proportionnellement, d'autant plus préjudiciables, que les dénivellations sont plus faibles en valeur absolue ; au lieu de mesurer directement les hauteurs moyennes comme plusieurs auteurs Ton fait, il faut observer le maximum et le minimum de la hauteur de chaque colonne, pour en prendre ensuite la . moyenne.
THÉORIE DO RÉGIMB UKIFORMI. 21
intestins que j'ai définis précédemment, résistances dont les lois sont inconnues. Enfin, les molécules liquides, ou au moins une partie d'entre elles, se déplaçant dans différents sens, l'égalité précitée ne serait encore que la principale des six équations d'équilibre, en admettant que l'hypothèse de l'équilibre moyen des forces fût suffisamment approximative.
En conséquence, j'ai cru devoir prendre pour base, non plus la considération des forces, mais celle de leurs quantités de travail, ce qui, dans l'état réel des choses, m'a paru conduire plus sûrement à des théorèmes pratiquement applicables.
Je m'occuperai d'abord de la région principale (21) des courants. Dans des temps correspondant à un nombre pair de périodes consécutives, la variation totale de la force vive de translation est nulle, puisque l'accroissement de vitesse produit dans une période d'accélération est égal au ralentissement qui a lieu dans la période suivante : or, en attendant que l'observation ait conduit aux lois de la périodicité, on sera toujours, dans les applications, forcé d'adopter, pour les calculs numériques, les vitesses indiquées par les flotteurs, les moulinets, ou les autres instruments hydrométriques; mais, si ces indications correspondent à des temps suffisamment prolongés, les valeurs des vitesses ainsi obtenues ne pourront différer que par des quantités relativement négligeables, de celles des moyens mouvements précédemment définis, et, dans une unité de temps telle qu'une minute ou plus, la compensation entre les variations de la force vive de translation pourra être regardée comme suffisamment complète. On peut d'ailleurs, dans chaque cas, avoir un aperçu de la durée de la période, en observant les oscillations d'un pendule composé d'un fil fixé à sa partie supérieure et d'une boule lestée que l'on immergera, ou celles de la colonne liquide verticale d'un tube recourbé dont la branche horizontale, immergée dans la direction du courant, soit terminée par un évasement courbe pour que l'eau y entre sans contractions
Considérant l'unité de longueur d'une nappe N à égales vitesses, je désignerai par
v la vitesse du moyen mouvement de translation commun à toutes ses molécules,
» l'aire constante de la section transversale de cette nappe,
t la perte de chute,
s le poids de l'unité de volume du courant.
ft NOTIONS HOnVELLW d'HYMAUUQOI.
La quantité de travail moteur produite, dans l'unité de temps, par la gin* vite, est &»w.
D'après les résultats d'observation, le système des nappes enveloppe un filet intérieur animé de la vitesse maxiraa, et les vitesses de ces nappes décroissent de Tune à l'autre d'une manière continue jusqu'à la zone taôttblée : en conséquence, la nappe quelconque N que nous considérons est située entre deux masses liquides auxquelles elle est liée par des forces intérieures, et dont l'une tend à retarder son mouvement, tandis que l'autre tend à l'accélérer : je désignerai par X t la quantité de travail, dans l'unité de temps, de l'action retardatrice, et par X celle de l'action accélératrice.
Quant aux mouvements intestins dont chaque nappe peut être le siège, principalement par voie de propagation, les liaisons intermoléculaires leur opposent des résistances, car tous les mouvements analogues que leur amplitude rend observables s'affaiblissent progressivement lorsqu'ils ne sont pas entretenus par une force appliquée, et l'on peut même augurer que la viscosité joue ici un rôle important, attendu que cet affaiblissement est d'autant plus rapide que les liquides sont plus visqueux. Comprenant dans un seul terme les quantités de travail dépensées par la gravité pour l'entretien de ces mouvements intestins qui ont une relation nécessaire avec la différence des vitesses de translation des nappes, je désignerai par X la perte de chute correspondante, de sorte que ce terme sera exprimé par le produit &*»(.
Les parties à régime uniforme des courants, étant exemptes de causes d'irrégularité, telles que des obstacles intérieurs, des coudes brusques ou à petit rayon, des variations notables de dimensions transversales, etc., les périodes successives du mouvement de translation de chaque élément liquide doivent être égales entre elles sous tous les rapports : or, dans on semblable régime, les effets de l'inertie se compensent. D'un autre côté, le travail de compression du liquide est nul ou parfaitement négligeable, et, enfin, aucun fait connu ne nous autoriserait à supposer ici un travail thermodynamique.
Cela posé, l'équation du régime uniforme d'une nappe à égales vitesses quelconque de la région principale des courants est
THfiOMB WJ BÉ61ME UKIPORMI. f£
Soient maintenant :
v t la vitesse de transport de la nappe N s qui est immédiatement voisine de la nappe N du côté des parois,
«s Taire de sa section transversale,
Ci la perte de chute correspondante aux mouvements intestins de cette seconde nappe,
X, le travail de la résistance que la masse liquide située entre elle et les parois oppose à son mouvement relatif.
L'action retardatrice appliquée à la surface externe A de la nappe N peut être regardée comme une réaction de la nappe N„ opposée à Faction accélératrice exercée ou transmise par la première à la surface interne de cette seconde nappe, surface qui diffère extrêmement peu de A. On a donc, pour la nappe N„ l'équation
$ lût Vl t sas Xl — Xf + 8 *>] Vi Cl-
Chacune des nappes suivantes donne lieu à une équation analogue, et, si l'on spécifie par l'indice n les quantités qui se rapportent à celle à laquelle on s'arrête, la dernière équation est
£ tt) B Vn l = X n Xo-1 + $ <0 D V n Cu»
L'addition de ces équations successives élimine les indéterminées X^,
X„.i ,X| et a pour résultat une équation générale du régime uniforme
d'une portion de la région principale du courant, comprise entre deux
nappes : or la somme des produits »t>, »i v 7 « n v n est le volume liquide
qui passe dans l'unité de temps par les sections transversales de cette portion du courant, c'est-à-dire son débit que je désignerai par q : d'un autre côté, la somme des produits tels que fr>t>C est égale au travail moteur qui est consommé pour l'entretien des mouvements intestins, ou, si l'on veut adopter cette expression, des farces vives latentes de la même partie considérée du courant : en désignant par z la perle de chute correspondante, on a donc
(2) tyi = X D — X + Sqz.
En appliquant les considérations précédentes au cylindre liquide qui, limité par l'une quelconque des nappes à égales vitesses, comprend le filet intérieur animé de la vitesse maxima, et désignant par :
