Î4 MOTIONS NOUVELLES D'HYDRAULIQUE

q u le débit de ce cylindre,

z n la perle de chute due à ses forces vives non transitoires, on obtient l'équation

(3) fy n t = X. + 8y n 5 .

Je m'occuperai maintenant de la zone troublée contiguë aux parois, tes observations et les considérations exposées au n° 27 prouvent que, quand les parois sont uniformément rugueuses, la zone dont il s'agit a une épaisseur uniforme, et qu'elle est limitée, du côté intérieur, par une nappe à égales vitesses. Cette nappe, qui appartient à la région principale du courant, exerce nécessairement sur le fluide de la zone, ou lui transmet, une action accélératrice dont je représenterai le travail dans l'unité de temps par Xo. D'un autre côté, la résistance opposée réellement par les parois au mouvement de transport du liquide, peut êlre regardée comme constante sur l'unité de surface des parois homogènes ou à peu près. Enfin, pour tenir compte de l'augmentation de surface due aux aspérités, je multiplierai le périmètre mouillé S résultant de la mesure ordinaire des dimensions transversales, par un facteur c dépendant de l'état des parois, et auquel je donnerai le nom de coefficient de rugosité.

Cela posé, en désignant par :

r la résistance que l'unité de surface des parois oppose au mouvement de transport du liquide,

w 9 la vitesse moyenne de la zone troublée, on peut représenter le travail, dans l'unité de temps, de la résultante des résistances qui se produisent sur l'unité de longueur des parois, par le produit cSw .

La quantité de travail moteur de la gravité dans le même temps est SQotioi, si l'on désigne par Oo l'aire de la section transversale de la zone troublée.

Au moyen de poussières flottant très près de parois présentant des aspérités visibles, on peut s'assurer que la portion de la zone qui n'est pas engagée entre ces aspérités a un régime sensiblement uniforme ; quant aux particules liquides qui les rencontrent, il peut sembler nécessaire de faire entrer dans les équations un terme représentant l'effet de leur inertie. En désignant par :

THÉORIE DU RÉGIME UNIFORME. î5

u f et u" les valeurs de leur vitesse absolue au commencement et à la fin du temps considéré,

p le poids du liquide qui passe dans ce temps, dans la région des aspérités, on a pour expression du travail d'inertie

quantité dont la valeur absolue se retranche du travail moteur ou s'y ajoute, selon que, dans le temps considéré, le mouvement vrai a été accéléré ou retardé. En définitive, l'équation relative à la zone troublée serait

(4) ta 9 w idbJL{u--ifl) =

= c S y t0 o -f- a Ûq t£> z — Xo

En faisant X n = Xo dans l'équation (3), puis éliminant Xo entre cette équation qui, après la substitution, s'applique à la région principale toute entière, et l'équation (4), on a

= c S y w + 8 (y. z. + Qq w z ).

On ne pourrait obtenir les valeurs du second terme du premier membre, mais il y a lieu de remarquer : 1° que la masse qu'il concerne n'est qu'une portion de la zone troublée, et, par conséquent, dans les conditions ordinaires, une très petite fraction de la masse du courant; 2° que les vitesses a' et u" doivent être faibles, les molécules liquides rencontrant incessamment des obstacles; 3° que ces molécules, en se déviant, (tassent dans les intervalles compris entre les aspérités, où elles doivent recevoir une certaine accélération succédant à un ralentissement produit par leur choc contre ces obstacles, en sorte que les effets de leur inertie, non seulement sont très faibles, mais en outre se compensent, sinon entièrement, au moins en partie. En conséquence, le terme dont il s'agit est parfaitement négligeable devant le travail total de la pesanteur représenté par le terme précédent. Gela posé, en désignant par :

Q le volume liquide qui s'écoule dans l'unité de temps par chacune des sections transversales du courant, ou ce que Ton nomme le débit de ce courant

fft NOTIONS NOUVELLES D'HYDRAULIQUE.

t = a (g D & + ùju) 9 z ) la partie du travail moteur dépensé dans ce temps; qui est consommée pour la production et l'entretien des mouvements intestins dans la masse liquide correspondante à l'unité de longueur du courant, l'équation précédente devient

(5) SQi = cS T «; + r

J'expose dans un chapitre spécial, des formules et des résultats numériques qui prouvent que, dans la plupart des cas, le travail intermoléculaire ? n'est pas négligeable.

Par suite de la substitution des chemins moyennement parcourus dans l'unité de temps, à ceux qui le sont réellement dans un nombre pair de périodes consécutives, substitution qui est, dans l'état actuel de la science, une nécessité pratique, l'équation (5) n'est qu'approximative dans tous les cas où la durée de deux ou d'un autre nombre pair de périodes n'est pas égale à l'unité de temps adoptée ; l'approximation des quantités déduites de cette équation sera, d'ailleurs, très suffisante, si les observations de vitesse ou de pente ne sont pas faites sur de courtes longueurs du courant, ou dans des temps courts : ainsi, la course des flotteurs doit être de plusieurs mètres, et le nombre de tours des moulinets doit être celui qui a lieu dans une minute au moins, si l'unité de temps adoptée est une seconde. On voit d'ailleurs, par les considérations précédentes, que le théorème suivant est exact et général :

Dans le temps dun nombre pair de périodes consécutives du régime dit uniforme des courants liquides, le travail moteur dépensé est égal au travail de la résultante des résistances des parois au mouvement de translation, plus celui des résistances intérieures aux mouvements non translatoires.

33. Remarques relatives au nouveau progrès théorique. — À ce qui a été dit au n* 32, page 20, relativement à l'équation d'équilibre posée en 1786 par le colonel Du Buat ', il y a lieu d'ajouter d'abord que l'ancienne théorie du régime uniforme ne tient pas compte de la plus essentielle des propriétés distinctives des courants fluides, savoir la grande mobilité de leurs molécules, et les mouvements intérieurs non translatoires qu'elle facilite : la théorie qui vient d'être exposée conduit, au contraire, à des résultats conformes au véritable état des choses.

1 Principes d'Eydraulique, 2 e édition.