LOIS DE LA DISTRIBUTION DE8 VITESSES

Le tracé précité fait reconnaître que le maximum de vitesse était de 4*78, et qu'il avait lieu à une distance de la surface liquide, comprise entre 20 et 22 pieds. La partie de la courbe qui est située au-dessous de ce point, et qui comprend les -j- de la hauteur d'eau totale, peut être représentée par l'équation

les mesures étant exprimées en mètres, et z représentant les distances à la surface du courant.

43. M. Darcy a entrepris en 1855, près de Dijon, des recherches expérimentales pour la solution des questions relatives au mouvement de l'eau dans les canaux ; préparées avec le concours de MM. Baumgarten et Ritter, puis exécutées avec celui de M. Bazin, ces recherches ont été continuées par ce dernier ingénieur après la mort de M. Darcy, survenue en janvier 1858.

La rigole où se faisaient les expériences était raccordée en amont, par une portion trapézoïdale, à un réservoir communiquant avec le canal de Bourgogne par l'intermédiaire de quatre vannes de prise d'eau qui, ayant une largeur d'un mètre, faisaient jaillir, dans ce réservoir relativement peu étendu, des courants assez puissants pour en agiter la masse liquide; en outre, à l'origine du raccordement précité, on avait fixé un barrage transversal percé de douze orifices carrés de m 20 de côté, sur le seuil desquels on maintenait en amont une charge d'eau de m 80, orifices qui servaient pour régler et jauger le débit des divers canaux où se faisaient les observations.

Les circonstances principales de ce dispositif paraissent de nature à faire ressortir l'utilité des considérations et des préceptes exposés aux n" 35, 36 et 37 ; il est facile de voir, en effet, qu'indépendamment des fluctuations imprimées à la masse du liquide du réservoir par la prise d'eau, les veines de m 20 de côté qui jaillissaient, avec une grande vitesse, de la totalité ou d'une partie des douze orifices précités, produisaient dans les courants en expérience, des chocs intérieurs et, par conséquent, des agitations tumultueuses; cette influence anormale est, d'ailleurs, mise en évidence par les ondulations considérables des profils longitudinaux. En outre, on lit dans la description du mode de procéder suivi 1 : a la plupart des expé-

1 Voir l'ouvrage intitulé Recherches hydrauliques entreprises par M. Darcy et continuées par M. Bazin (i re partie. Paris, 4865).

40 NOTIONS NOUVELLES d'bYDRACUQCE.

riences ont été faites en ouvrant successivement un, deux, trois... douze orifices : la chaire étant toujours la même, chaque série comprenait ainsi douze expériences faites avec des débits parfaitement invariables, ce qui facilitait beaucoup la comparaison des résultats... ». Or, pour ces débits successifs, la pente superficielle des courants n'était pas et ne pouvait être la même, de sorte que l'une des conditions essentielles du régime uniforme n'était satisfaite que quand cette pente superficielle s'est trouvée égale à celle du fond du canal, coïncidence qui s'est rarement produite.

Pour la mesure des vitesses, on a employé un tube de Pitot à la construction duquel M. Darcy avait apporté de notables améliorations complétant celles qui avaient été antérieurement proposées par l'ingénieur Mallet; les dispositions adoptées ont rendu l'emploi de l'instrument beaucoup plus commode pour l'observateur, mais elles n'ont pu faire desparattre l'incertitude résultant des oscillations de la colonne liquide l ; en rétrécisssant l'entrée du tube pour diminuer l'amplitude de ces oscillations, on a diminué la sensibilité de l'instrument et rendu sa tare variable avec la vitesse à mesurer : c'est sans doute pour éviter ces inconvénients que les anciens hydrauliciens avaient jugé utile de disposer l'entrée du tube en entonnoir.

M. Bazin a reconnu Y impossibilité de représenter par des formules précises les variations des vitesses obtenues, en exceptant toutefois deux cas particuliers qui vont nous occuper.

1* En ce qui concerne les canaux à section rectangulaire, ce savant ingénieur, considérant les séries d'expériences dans lesquelles la profondeur du courant n'excédait pas 4" de sa largeur, admet qu'alors l'action des parois latérales sur la partie centrale était assez peu sensible pour que la loi de distribution des vitesses sur la verticale du milieu fût à très peu près la même que dans l'hypothèse où la largeur du courant serait infinie 3 , et il

1 Pour employer un instrument de ce genre à des recherches aussi délicates que celle des lois de la distribution de vitesses qui sont, comme je l'ai montré, périodiques, il faudrait observer, pour chacune de ces vitesses, le maximum et le minimum des hauteurs des colonnes liquides. Dans l'ouvrage précité, on ne trouve, ni ces hauteurs, ni même les valeurs obtenues des vitesses, mais seulement les rapports de ces valeurs à celle de la vitesse moyenne de chaque courant.

1 On ne voit pas pourquoi l'influence des parois latérales dépendrait tellement du rapport de la profondeur à la largeur, que cette influence pût être regardée comme

nulle à une distance d'un mètre, quand ce rapport n'excède pas — . L'hypothèse de

LOIS DE LA DISTHIBUnOlt DBS VITBSSES, 41 .

donne, pour ce cas, une formule empirique qui, eu conservant les notations employées précédemment, peut être écrite comme il suit :

v = V-K\ThÏ -^-,

I étant la pente du canal, et K un coefficient numérique invariable, auquel il attribue la valeur de 20,6 d'après les résultats de buit séries d'expériences, Y n'est pas précisément la vitesse maxima, mais une vitesse mesurée, suivant l'expression de l'auteur « ... en un point aussi rapproché que possible de la surface ... ». C'est sans doute l'état de perturbation des couches liquides supérieures qui a empêché l'auteur de donner les vitesses superficielles dans ses tableaux, lesquels ne contiennent pas d'ailleurs les éléments nécessaires pour la détermination de la position du maximum de vitesse.

La possibilité qui s'est produite, dans les conditions dont il s'agit, de représenter par une formule les données obtenues à partir d'une hauteur de 0",03 environ en dessous de la surface de courants dont la profondeur totale n'a pas atteint 0™,40, peut être expliquée sans qu'on ait recours à une hypothèse, en remarquant que l'influence perturbatrice des orifices d'amont était alors très faible et ne devait affecter que les couches liquides supérieures, le seuil de ces orifices ayant été établi à 0*40 au-dessus du fond du canal. Relativement au coefficient K, le tableau de ses valeurs présente entre elles de notables écarts, qui paraissent principalement dûs aux différences de l'état des parois; ainsi, dans cinq des huit séries considérées, ces parois étaient recouvertes de litaux dont l'espacement a varié de 0«,0i à n ,05.

Cette disposition ne correspondant, ni à aucun état physique naturel, ni à aucune des circonstances qui peuvent se rencontrer dans la pratique, nous ne considérerons que le cas ordinaire des parois des canaux; or, sur les trois séries relatives A ce cas, il s'en trouve une très régulière pour laquelle la pente superficielle 0,0049 du courant était égale à celle du fond du canal; les données expérimentales sont :

H. Bazin est d'ailleurs infirmée par des expériences sur le Mississipi, où les vitesses variaient sur toute la largeur de ce grand fleuve, quoique le rapport précité fût

inférieure-—.

41 MOTIONS NOUVELLES D'hYDBAULIQCE.

La profondeur du courant était m 269.

Cette série peut être représentée par la relation

2° Le second des cas particuliers pour lesquels M . Bazin a donné une formule de distribution des vitesses, est celui d'un canal à section demi-circulaire, cette formule est

R désignant le rayon du demi-cylindre et r la distance à son axe, des filets liquides dont la vitesse est v. D'après cette formule, les filets équidistants de l'axe du canal auraient une même vitesse, mais le tracé des courbes d'égale vitesse donné par l'auteur ne satisfait à cette condition que pour la région voisine de la paroi.

I»ois des vitesses maxlma dans les canaux et les rivières.

44. Définitions. — Les résultats d'observation montrent que, dans chaque plan parallèle à la surface et mené d'une rive à l'autre, il n'y a qu'une vitesse maxima. J'appliquerai, pour abréger, la dénomination ancienne de thalweg que les hydrauliciens avaient employée d'une manière vague, à la tranche longitudinale qui, dans le sens de la profondeur d'un courant, est le lieu de ces vitesses maxima. Dans les canaux ordinaires, cette tranche est plane et verticale, et elle divise le courant en deuxparties symétriques : dans les rivières, cette symétrie peut ne pas avoir lieu, et la tranche du thalweg peut n'être pas plane. Parmi les filets du thalweg, il en est un dont la vitesse est la plus grande de toutes celles du courant, je le nommerai filet principal.

, 45. Lois de la distribution des vitesses, depuis le filet principal jusqu'au fond du lit. — Les observations faites, à diverses époques, par Woltmann, par l'ingénieur Défonlaine, et par le colonel d'artillerie Hennocque, au moyen de moulinets, puis par moi-même en employant concurremment des appareils perfectionnés, enfin par la savante commission américaine, et, en dernier lieu, une partie de celles de M. Bazin, tendent à prouver qu'en l'absence de notables causes d'anomalies, la loi qui va nous occuper est parabolique, et représentée d'une manière générale par la fonction

LOff DS LA DVtBIMJWMt dbs viratss. 43

caA-Bi» (4)

En outre, aucune considération rationnelle ne tend à infirmer cette relation, et même, au point de vue de la forme générale, elle se trouve d'accord avec diverses théories. Je l'ai donc définitivement adoptée, et il me restait à déterminer les quantités À et B.

A cet effet, j'ai remarqué d'abord que les valeurs numériques de la première étaient toutes un peu supérieures à la vitesse V du filet principal, et j'ai posé A = V+c.

Soient maintenant, mV (figure 5), Tare de parabole qui représente l'équation (4), m le point de cet arc qui correspond au maximum V des vitesses ; rnS le prolongement géométrique de la courbe ¥m jusqu'au point S où elle rencontre la surface E du courant; E et G les axes des coordonnées rectangulaire v et z ; Dm = V, et Cm = OD sera désignée par o.

Menons en m la tangeante ml et la normale mP prolongées jusqu'à leurs intersections T et P avec E. Le point S est le sommet de la parabole FmS, et la droite E en est Taxe ; en conséquence, P G est égale à la moitié du

paramètre, c'est-à-dire ici, à-^-; or, le triangle PmT, rectangle en m, doone

cm« = JLcr.

Cela posé, je ferai remarquer que, le point S correspondant à * = o, OS = A= V + c; de sorte que CS=c : comme, d'ailleurs, la parabole donne

CT = 2CS = 2*, on a en définitive

o étant la distance verticale du filet principal à la surface.

Je calculerai maintenant les valeurs numériques de la quantité c, fournies par les résultats d'expérience précédemment cités.

Ces valeurs numériques étant très faibles, si Ton employait les différences A— Y, il suffirait de légères inexactitudes dans les observations pour occasionner ici de» erreurs proportionnellement notables ; en conséquence, j'ai procédé comme il suit.

^4 NOTIONS NOUVELLES 1>'HYDRACL!QOTL

Considérant d'abord les deux courants à section rectangulaire de 0",206 et m ,348 de profondeur, (40), dont le régime était uniforme, et pour lesquels des instruments d'observation perfectionnés avaient été employés concurremment, nous avons

j'ai obtenu pour le produit Bô 1 , dans le premier cas, la valeur 0,0107, et, dans le second, 0,01072.

Quant aux rivières, d'après les observations effectuées par le colonel Hennocque dans le thalweg d'un bras du Rhin, B = 0,0652, et la distance a était comprise entre B ,40 et m ,41 ; or, la valeur du produit BQ* correspondant à la première de ces deux limites est 0,01043, et pour la seconde, c'est 0,01096, valeurs dont la moyenne est 0,0107.

La série relative au fleuve Mississipi (42), effectuée dans le thalweg où la profondeur cTeau était de 32 œ ,025, plaçant le maximum de vitesse à une hauteur fl en dessous de la surface, comprise entre 6 m ,10 et 6 m 71, et donnant B=0,00025, les limites du produit Bô 2 sont 0,0093 et 0,01 13, limites entre lesquelles se trouve compris le nombre 0,0107 précédemment obtenu *•

La coïncidence remarquable qui se manifeste entre des conséquences déduites d'observations faites sur des courants dont les profondeurs varient de 1 à 155, pour lesquels les ordonnées o varient de 1 à 134, et les valeurs du paramètre des paraboles, de 1 à 10460, indique des similitudes essentielles entre ces courants. La formule générale de la quantité tr, que je donnerai plus loin, fera voir quelles sont, outre celle du régime des moyens mouvements de translation, ces similitudes.

1 Les résultats des observations citées au n* 43 ne comprenant, ni les vitesses superficielles, ni celles qui avaient lieu près de la surface aes courants, je n'ai pu m appuyer sur la série citée page 41, quoique, dans cette série, la surface liquide fût parallèle au fond du canal, ce qui est une des conditions du régime uniforme, et qu'elle fit partie de celles dans lesquelles l'influence perturbatrice du mode d'alimentation devait être faible ; mais il n'est pas inutile de faire remarquer que cette série vient à l'appui delà conséquence que j'ai tirée des résultats d'observation cités ci-dessus. En effet, si l'on fait r=0 m ,0107, on déduit de l'équation 5 du n« 43, et de la relation AœV-^c, V=3 m ,023 — 0*,0107=3 m ,0123, valeur qui ne diffère ^que d'une quantité relativement insignifiante, de la plus grande des vitesses expérimentales de cette série; en outre, la relation BG 2 = 0,0107 donne 6 =30™ ,0309,

ordonnée qui ne diffère que de -— de celle du point auquel cette vitesse expérimentale est attribuée.