LOIS DE LA DISTRIBUTION DKS VITESSES

46. Expression de la modification de la loi des vitesses dans la région supérieure des courants. — La sensibilité que j'avais fait acquérir à mes instruments d'observation m 1 ayant permis de reconnaître un fait qui jusqu'alors n'avait pas été aperçu, savoir que, du filet principal à la surface, la loi des vitesses se trouve modifiée, j'ai cherché à exprimer cette modification. Pour la région dont il s'agit, région dont la profondeur est proportionnellement faible, les résultats d'expérience sur lesquels on peut s'appuyer sont très peu nombreux, mais ils appartiennent à deux cas aussi distants entre eux que possible, c'est-à-dire, d'une part, un petit canal à faible ou médiocre vitesse, et, d'autre part, un fleuve immense et rapide.

Remarquant que l'influence de la résistance des parois solides doit s'exercer, sur la profondeur tout entière du thalweg, suivant la même loi, el désignant par v t les vitesses des filets de la région supérieure, v celles que ces filets auraient si la relation obtenue pour la région inférieure s'étendait jusqu'à la surface, j'ai cherché la loi des différences v — v t . Considérant d'abord, dans les résultats de mes expériences (40), ceux qui concernent le courant de m ,206 de profondeur, j'avais cinq valeurs exactes de v„ savoir :

Vt = 0-591 - 0,600 — 0,606 — 0,611 — 0,615 z = 0-000 — 0,014 — 0,024 — 0,034 — 0,044

En prolongeant jusqu'à % = o l'application de la formule

démontrée précédemment pour la région inférieure, j'ai reconnu que les différences t> — 1>. étaient proportionnelles aux distances — z des filets considérés au filet principal, de sorte que la relation auxiliaire cherchée est ici

Ce|a posé, soit V la vitesse superficielle; pour z = o cette relation doit donner t;,— V'; d'un autre côté, l'équation (2) donne v = V-f c, de sorte que, ••"•.,

11 en résulte, pour exprimer la loi des vitesses de là région supérieure, la fQrmule

46 HOTHWS TOCTELtCS afaYMAOlJQtK. ~

Cette relation se trouve confirmée par la série de résultats concernant le fleuve Mississipi, série pour laquelle on a

V » 1-372, Vs= 1-458, d'où V— V + cs 0-0967,

en effet, si Ton prend en outre, d'après ce qui a été dit précédemment, 6 «6", 543, on obtient :

Vitesses expérimentales. . . 1-372 — 1-388 — 1-403 — 1-452,

— calculées 1-372 — 1-385 — 1-400 — 1-446,

Celle des vitesses calculées, qui s'écarte le plus de la vitesse expérimentale correspondante, n'en diffère que de •—.

Pour comparer entre elles les deux lois de décrotssement qui ont lieu de part et d'autre du filet principal, je désignerai par y la distance verticale à celui-ci, d'un filet quelconque, et je ferai jj=y + o dans la formule (î) f »=>• — y dans la relation (4) : après cette substitution, on peut écrire ces deux formules comme il suit :

(5 ) v-t,«c.j£+2cX

En conséquence, à des distances égales du filet principal, \m riteautae diffèrent entre elles, dans les deux régions séparées par ce filet, que de la quantité

et, comme les deux valeurs extrêmes de cette quantité sont 0,00 et V— V r «-3c, on voit que les différences sont très faibles; on comprend donc qu'elles aient échappé aux observateurs qui m'ont précédé, et qui employaient des instruments peu sensibles.

47. Explication physique. — Le décaissement des vitesses dans la par- . lie supérieure des courants découverts, a été attribué vaguement à la résistance provenant du frottement de la surface liquide sur la couche d'air su-

LOIS M LA WSnUBBTlON DBS VITE88ES. 47

perposée, considération dont l'insuffisance est démontrée par l'expérience rapportée page 34. 11 nous paraît d'autant plus utile de donner l'explication du résultat que nous venons de préciser par des formules d'évaluation, que, suivant plusieurs auteurs français, la résistance de l'air serait insignifiante, tandis que, d'après des ingénieurs étrangers, elle serait équivalente à belle d'une paroi solide.

On sait que l'eau en contact avec l'atmosphère absorbe de l'air, et, d'un autre côté, je rappellerai que les vents qui glissent sur une surface liquide se chargent d'humidité en proportion croissante avec leur rapidité, toutes choses étant égales d'ailleurs; il existe donc, entre une couche d'eau et une couche d'air en contact, une action mutuelle qui augmente avec leur vitesse relative. En conséquence, on ne saurait douter que la couche supérieure d'un courant liquide produit une communication latérale du mouvement dans la partie inférieure de l'atmosphère ; or, les quantités de mouvement ainsi communiquées à l'air sont perdues par l'eau, une fraction du travail de la gravite étant continuellement employée à les produire. Quant à la valeur de la perte de vitesses, les résultats de nos observations montrent qu'elle est faible, et on le comprendra facilement en remarquant que la densité de l'eau est 813 fois environ celle de l'air : cette densité est, d'ailleurs, un peu diminuée dans la région supérieure des courants, par la proportion de l'air absorbé, cause permanente d'affaiblissement de l'action motrice.

48. Expression de la position relative du filet principal. — Désignons par

U la profondeur totale du courant 1 dans le thalweg,

w la vitesse de fond.

En faisant % = H dans l'équation (2), nous avons

d'où nous déduisons

wzzV—c-çr +c,

<"■-.■ T"Vt=

1 En toute rigueur, H* ne devrait être prise que jusqu'à la zone troublée (21) du fond ; mais, sauf de rares exceptions, la profondeur, au thalweg des cours d'eau, est suffisante pour que l'épaisseur toujours faible, de cette zone, soit relativement négligeable. Pour mesurer H dans le cas des petites profondeurs, on emploiera une tige métallique terminée par un disque qui s'appuiera sur les aspérités du fend, :-:..■-.

48 NOTIONS NOUVELLES D*HVDRACLIQUI.

et, dans les cas où c = 0,0107,

49. Lois des vitesses en fonction de la profondeur des courants. En substituant, dans les équations (2) et (4), l'expression de * déduite de la formule (7), nous ayons

v = V + c -(Y-w + c)-^, et, pour la région supérieure du thalweg

50. Expression générale de la quantité c. — soient X la distance verticale du filet principal à la ligne qui contient les centres de gravité des sections transversales du courant,

H la distance de cette ligne à la surface liquide supérieure,

p et en substituant l'expression de e donnée par la relation (7),

équation d'où nous déduisons

(8) C= /l lv* CT— )■

Quoiqu'une vérification de cette formule ne soit pas nécessaire, je vais l'appliquer à mes deux courants de Tannée \ 845, courants à section rectangulaire (39) pour lesquels on connaît la position de la ligne des centres de

gravité, c'est-à-dire — = -^— P 2 Pour le premier, nous avons H = m ,20Ô, • = O'VOSO, X = 0*053,