MOUVEMENT DANS LES TUYAUX DE CONDUITE
suite de la continuité du décroissement des vitesses depuis Taxe jusqu'à la paroi, il y a nécessairement une de ces zones dont la vitesse effective est égale à la vitesse moyenne U du courant; cela posé, soient
y le rayon d'une nappe quelconque dont la vitesse est v,
r celui de la nappe dont la vitesse est égale à U,
V — U Y la valeur du rapport — ^=— .
La relation qui exprime la loi des vitesses doit être telle, qu'en y faisant y = r, on ait v = U ; sa forme est donc
le dernier facteur étant une fonction de -^— , qui devient nulle pour y = o, et qui se réduit à l'unité pour y = r : or, ces deux conditions conduisent à
'(■f)-(f)"+°Kf )'-(*»
ou à
et, si Ton observe que y est plus petit que r dans une partie de la section transversale du courant, tandis que le contraire a lieu dans l'autre partie, on voit que la première de ces expressions n'est pas admissible. Nous sommes donc maintenant assurés que la relation entre les vitesses et les rayons des nappes liquides est, en désignant par n un exposant à déterminer,
au moins pour les cas analogues à ceux de la pratique, où les diamètres des tuyaux ne sont pas très faibles. Ce qui a été dit précédemment (n°* de 21 à 26), au sujet de la zone troublée, doit faire prévoir quelque modification pour le cas des très petits calibres, modification que j'indiquerai plus loin. 58. Expression générale de la vitesse moyenne. — Soient R le rayon des tuyaux, et* le rapport de la circonférence au diamètre. Le volume liquide qui s'écoule dans l'unité de temps est*R'U; d'un autre côté, l'aire de la section transversale d'une nappe de rayon y étant l*ydy, le
56 NOTIONS NOUVELLES d'hYDBAULIQUB.
volume élémentaire qui passe dans le même temps par cette section est iicydy.v, de sorte que nous avons,
Or, en substituant à v son expression en y donnée par l'équation (1), puis effectuant l'intégration entre les limites o et R, nous obtenons
(2) u-Y-^i-or—j,
w désignant la vitesse de la nappe liquide en contact avec la paroi, nappe pour laquelle on peut, ici, faire y =R.
Remarquant que Y — w est la somme des vitesses relatives des nappes du courant, y compris celle qui se réduit, par un décroissement continu, au filet principal, nous voyons que :
La vitesse moyenne d'un courant liquide remplissant un tuyau de conduite ordinaire, est égale à la différence entre la vitesse effective du filet principal et une quantité proportionnelle, dans un rapport invariable, à la somme des vitesses relatives des nappes.
59. Troisième propriété. — IL résulte de l'expression (2) et de la première propriété, que
T tf7 — -i— (V— »).
Soient : y, pour la latitude et l'altitude où se trouvent les conduites, le nombre qui exprime la vitesse imprimée dans l'unité de temps par la gravité agissant seule,
A, le quotient de %g par (n + 2)\ c'est-à-dire un nombre qui est constant dans le lieu où l'on se trouve, nous avons
En conséquence, dans les tuyaux de conduite à régime uniforme,
La perte de chute sur r unité de longueur du courant est proportionnelle d
la hauteur due à la somme des vitesses relatives des nappes, dans un rapport
qui ne varie qu'avec le rayon et la rugosité de la paroi.
vouvnraiT dans les totaux de conduite. si
La perte de chute augmentant nécessairement, toutes choses étant égales d'ailleurs, avec la rugosité de la paroi, on voit que le décaissement total V — w des vitesses augmente plus rapidement que la quantité t.
60. Quatrième propriété. — En faisant, dans l'équation (1) v = w et y =R, puis comparant la valeur de * qui en résulte à celle qui est donnée par l'expression (3), on déduit
c'est-à-dire que :
Le rayon de la nappe dont la vitesse de translation est égale d la vitesse moyenne du courant, est proportionnel dans un rapport invariable, au rayon du tuyau.
61 . Loi des vitesses. — En portant dans l'équation (1) la valeur de r» tirée de la relation (4), nous obtenons, pour l'expression de la loi des vitesses dans les tuyaux de conduite,
62. Cinquième propriété. — Il est facile de déduire des relations précédentes, que
Nommant, pour abréger, nappe principale, celle dont la vitesse est égale à U, nous voyons que :
Le décaissement des vitesses, depuis Taxe Sun tuyau jusqifd la nappe principale, est proportionnel, dans un rapport invariable, à celui qui a lieu depuis la même nappe jusqu'à la paroi.
63. Expression de la vitesse d la paroi. — En éliminant Y entre la relation (2) et la première du n° 59, on a, pour exprimer la vitesse de la nappe liquide en contact avec la paroi,
(6) w =\J-^y)Tr
et Ton voit combien est erronée l'hypothèse de la proportionnalité entre w et U, admise en 1 809 par Prony pour établir une relation pratique entre le rayon moyen, la pente et la vitesse moyenne des courants, hypothèse qui se
