NOTIORS NOUVELLES d'BYDBAULIQUB

trouve maintenue implicitement dans la formule proposée en 1857 par H. Darcy, pour le cas des tuyaux.

64. Détermination rationnelle du degré de l'équation aux vitesses. — M. Darcy a obtenu, par des calculs empiriques, la valeur 4 de l'exposant de sa formule; mais pour une détermination de ce genre, les vitesses observées ne pouvaient conduire à la cerlitude : en effet, par suite de la symétrie de la loi de distribution relativement à Taxe des tuyaux, elles ne fournissaient, pour chaque courant, que deux valeurs de Y — v réellement différentes entre elles, et, en outre, elles ne correspondaient qu'aux deux premiers tiers du rayon. Aussi, des doutes se sont-ils élevés à l'égard de cet exposant, d'autant plus que ses conséquences pour les actions mutuelles intérieures sont en désaccord avec une opinion exprimée en 1822 par Navier 1 , opinion qui semblait d'ailleurs confirmée par les résultats d'observation concernant les canaux. Enfin, l'équation aux vitesses donnée par M. Darcy n'exprimait pas la véritable influence du rayon des tuyaux, et ne tenait aucun compte de la rugosité des parois. Ces diverses considérations, et notamment celle qui concerne les actions mutuelles intérieures, rendaient nécessaire une détermination de l'exposant n de la formule (5), qui fût entièrement indépendante de toute valeur particulière des vitesses.

Soit, sur l'unité d'aire de la surface d'un cylindre liquide dont le rayon est y, ? l'intensité moyenne de la résistance intérieure qui, parallèlement au mouvement de translation, fait équilibre à la composante du poids de ce cylindre : nous avons, pour exprimer cet équilibre moyen, c'est-à-dire une condition mécanique du régime uniforme, la relation

(?) ? =.— «yt,

en désignant par a la densité du liquide qui peut être regardée ici comme une constante. D'un autre côté, comme on sait que ? varie avec la dérivée

—j — , l'équation (5) différentiée fournit une seconde base, savoir : C> Tf E= T*' » = "•

1 Mémoire sur le mouvement des fluides; voir le tome VI des Mémoires de l'Institut.

MOCVEMIMT DANS LK8 TtJYAVX Dl CONDUIT*. 59

Considérons un même tuyau : la perte de chute i Tarie d'un courant à un autre, et, pour un même courant, y est la seule variable daus le produit tyt ; or, si, pour les substituer successivement dans la relation (7), on lire de l'équation (8) y, puis t, la première de ces substitutions donne

et la seconde,

•(i+«)rj *3 U > .

Or, le second facteur, en R et y, de chacune de ces deux expressions de l'intensité ?, représente l'influence du rayon et de la rugosité des parois, de sorte qu'il doit avoir, dans l'une et dans l'autre, des valeurs identiques

entre elles pour un même tuyau, ce qui exige que - = î,oun=— ,

condition par suite de laquelle, d'ailleurs, les expressions précédentes deviennent toutes deux

/m 32 . R» /<to\»

65. Conséquence pour la loi des vitesses. — La valeur -j- de n étant maintenant à l'abri du doute, nous voyons que la loi des vitesses de translation est

do) «=v— Z. YV nr(x)-!-

ou, en élevant au carré,

66. Recherche du facteur t. — En construisant, pour les quatre tuyaux en fonte sans dépôt intérieur, la courbe dont les coordonnées sont T et R, j'ai reconnu qu'elle ne pouvait passer par l'origine de ces coordonnées ; j'ai donc posé

(14) TB5 a + «fR« + *'RP + etc.,

en remarquant d'ailleurs que, même dans l'hypothèse abstraite de R = o,

60 ROTIONS NOUVELLES D'hYDRAGUQG*.

la relation V — U — y /Test satisfaite sans qu'il soit nécessaire que Y = o, puisque, dans cette hypothèse extrême, U, V et s sont nulles. En substituant l'expression (il) dans l'équation (10) et mettant en évidence l'influence du rayon sur le décaissement des vitesses de translation, nous avons

Cela posé, je ferai remarquer que les causes dynamiques de ce décaissement sont, la résistance des parois parallèlement à la translation, et les mouvements intestins du courant : or, l'influence du rayon R sur l'effet de la première cause, qui est la principale, se borne évidemment à celle de la variation du périmètre mouillé, de sorte que cette influence doit être repré-

sentée par un terme proportionnel à R; soit a' R* " "*" ce terme, il faut donc que m — y = 1,00, d'où m = -y- En ce qui concerne la seconde cause, l'influence du rayon serait représentée dans l'équation (12) par

Pour se rendre compte de cette seconde influence, il faut remarquer que : 1° les mouvements intestins n'étant pas translatoires, les vitesses v s'en trouvent diminuées, de sorte que le décroissement Y — v est augmenté par suite de l'existence de ces mouvements, attendu que la vitesse maxima Y n'en peut être affectée, la vitesse relative étant nulle pour le filet principal : 2° les mouvements intestins ayant leur origine dans la zone fluide en contact avec les aspérités de la paroi, leur nombre est proportionnel àR: 3° quand R augmente, une nappe fluide de rayon déterminé, est plus éloignée de celte paroi, de sorte que l'activité des mouvements intestins qui peuvent être propagés s'y trouve plus affaiblie. Nous voyons par ces considérations, d'abord, que la fonction P est toujours positive; puis, que les termes qui, dans cette fonction, croissent avec R, ont un même exposant 1 ,00, ce qui donne encore p=T> e °fi n > qu'elle doit contenir un terme décroissant quand R augmente,