PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES. H

la présenterai maintenant les remarques suivantes : 1° dans l'équation (4) comme dans l'équation (i), V — w est un facteur commun à toutes les valeurs du décaissement Y — v des vitesses depuis le filet principal jusqu'à une nappe quelconque; 2° cette quantité V — w est, comme on s'en assurera facilement, égale, dans tous les courants, à la somme des vitesses relatives des nappes successives, y compris celle qui se réduit au filet principal par un décroissement continu des dimensions transversales de ces nappes; 3* Pour des canaux et des rivières dans lesquels les positions relatives du filet précité et de la ligne qui contient les centres de gravité des sections liquides, seraient les mêmes que dans les tuyaux, on aurait l = o et p = 2, c'est-à-dire que le coefficient

de V — w, serait .un nombre invariable comme dans le cas des tuyaux, où sa valeur est 1,00.

Ces considérations font ressortir un second théorème général, savoir que

Dans les canaux, les rivières et les tuyaux de conduite, toutes les valeurs de T excès de la vitesse du filet principal sur celle dune nappe, ont pour faeteur commun une quantité proportionnelle à la somme des vitesses relatives des nappes successives, dans un rapport qui dépend des positions relatives du filet principal et de la ligne des centres de gravité des sections liquides. On voit que ce rapport varie, non seulement avec les dimensions de la section transversale des courants, mais encore avec la figure du profil de cette section.

74. Loi générale des pertes de chute. — On a vu précédemment (59 et 68), que, dans les tuyaux de conduite, l'expression de la perte de chute i sur l'unité de longueur des courants, en fonction du décroissement total V — w des vitesses, est

Considérons maintenant les canaux et les rivières: parmi les nombreuses pesuresde vitesses que Bf. Bazin a effectuées, de Tannée 1858. à 1860, dans des canaux d'expérience dont le dispositif est examiné au n* 43* les

résultats des huit séries correspondant au cas où la surface des courante restait au-dessous du seuil des orifices d'alimentation, n'ont pu èlre sensiblement troublés par le jaillissement des veines liquides lancées par ces orifices; en outre, dans l'ensemble de ces séries, la perte de chute a varié de 4 à 6 ; en conséquence, nous pouvons nous appuyer avec sécurité sur les résultats dont il s'agit : or, ces résultats s'accordent avec ceux de mes expériences de l'année 1845, pour faire voir que, dans l'équation (2), le facteur

de z 1 est proportionnel au produit de s/ i par une fonction p des dimensions transversales des courants; nous avons donc

V — w + c=\i. tfT, d'où nous déduisons, après avoir substitué à c son expression générale (3),

'"Hwyr (T " ; -

Cela posé, on remarquera que les formules (5) et (6) assignent le même rôle au décroissement total V — w des vitesses depuis le filet principal jusqu'aux parois, ainsi qu'aux fonctions ? et n des dimensions transversales des

courants : quant au facteur de — , pour un canal où les positions relatives

du filet principal et de la ligne des centres de gravité des sections liquides transversales, seraient les mêmes que dans les tuyaux, on aurait, comme je l'ai déjà fait remarquer, * = o et p = 2, de sorte que l'expression (6) deviendrait

formule entièrement analogue à la relation (5) que j'avais déterminée pour les tuyaux de conduite.

En conséquence, nous pouvons regarder comme établi, le théorème suivant :

La perte de chute des courants liquides à régime uniforme est proportionnelle au carré du décroissement total des vitesses de translation de leurs nappes , dans un rapport qui dépend des dimensions transversales de chaque

PROPHÈTES GÊKÉRALES* 73

courant, rapport qui varie en outre avec les positions relatives du filet principal et de la ligne des centres de gravité des sections fluides. 75. Corollaire. — Pour le cas des tuyaux de conduite,

de sorte que, comme conséquence du théorème général précédent,

t=~(V-U)*, expression qui équivaut à

Pour les canaux et les rivières, soit h la distance verticale à la surface liquide libre, du point inférieur d'intersection de la nappe principale et du thalweg : en faisant s = A dans l'équation (2), et nous appuyant d'ailleurs sur les propriétés déjà établies, nous avons la relation

i(i JLV

(8) T - w " il/l JLV Cr " ll) '

Or, en conséquence de cette relation et de la formule (6)

(9) . ^ | | |i / ÏJS (2U V)y v

— — est d'ailleurs, d'après le théorème établi au n° 72, la chute suivant la- 2flf

quelle la pesanteur agissant seule engendrerait la vitesse du centre de gravité du corps liquide, dans les tuyaux comme dans les canaux et les rivières. Pour ces deux catégories de courants, le facteur fonction des vitesses du

la centre de gravité et du filet principal est le même, et les facteurs — f-

— \- ont la même signification : quant au deuxième facteur, qui est égal à

M HOTIOHS HOUVELLIS »*HTMACUQUt.

funitèdansle cas des tuyaux à section circulaire, H est facile de voir que, pour les courants découverts, la valeur

qui doit lui être attribuée, se réduirait à un nombre constant, si les positions relatives du filet principal et de la ligne des centres de gravité des sections liquides, étaient invariables comme dans les tuyaux de conduite.

76. Notions concernant la position relative de la nappe principale. — On a déjà vu que, dans les tuyaux de conduite à section circulaire, la nappe dont la vitesse de translation est égale à la vitesse moyenne du courant passe à une distance de la paroi, égale à 0,3113 R, ou un peu moins du tiers du rayon. Dans les canaux et rivières, les divers points de cette nappe sont à des distances différentes des parois respectivement voisines; celle qui a le plus d'importance pour nos formules relatives à la loi des vitesses, est la distance H — A au fond du lit, du point d'intersection de la nappe et de la tranche longitudinale du thalweg; or, nous pouvons avoir un aperçu de la valeur relative de cette distance, au moyen de mesures rapportées par M. Bazin dans l'ouvrage déjà cité, mesures qui concernent les canaux à section rectangulaire : les profondeurs d'eau H variant de m , 1 34 à 0", 495, et les vitesses moyennes, de m ,854 à 2",297 par seconde, les variations du rapport

~rr-, résultant des données de M. Bazin, ne présentent pas de loi précise ;

la moyenne de ce rapport est 0,79, et les valeurs diverses ne s'écartent pas beaucoup de celte moyenne d'après laquelle la distance H — h serait 0,2111, ou un peu plus du cinquième de la profondeur totale du courant.

Nouvelles considérations concernant les actions mutuelles des nappes

liquides.

Les forces dont nous allons nous occuper, étant proportionnelles, comme tous les hydrauliciens l'admettent, à l'aire des surfaces liquides sur lesquelles elles s'exercent, je considérerai leurs valeurs sur l'unité d'aire, valeurs que je nommerai, pour abréger, intensités.

77. Je désignerai par y l'intensité de la résistance au mouvement relatif

raonrihnts GtnftiALts. 7t

de translation de deux nappes consécutives d'un courant à régime uniforme.

De Tune à l'autre des deux nappes, il existe, entre les molécules dont elles sont respectivement composées, des actions mutuelles qui s'exercent suivant les lignes joignant entre elles chacune de ces molécules et celles de la nappe voisine qui sont comprises dans la sphère des actions in ter moléculaire* : soient, à un instant quelconque, <|* la résultante de ces actions sur l'unité de surface fluide, et p l'angle qu'elle fait avec la direction du courant : eu cet instant,

<p = | cos p.

Or, l'intensité 4> et l'angle p sont des fonctions des distances intermoculaires, distances qui varient d'un instant à l'autre par suite de la différence des vitesses des deux nappes; les actions intermoculaires sont des attractions, des forces répulsives, et des tensions intérieures d'élasticité analogues à celles dont on a mesuré les effets dans les corps solides, mais dont on ne connaît pas les lois pour les liquides; nous ignorons d'ailleurs l'étendue de la sphère d'activité de ces actions mutuelles; en un mot, il serait actuellement impossible d'évaluer la résultante I sans avoir recours à des hypothèses trop incertaines 1 . Pour obtenir des expressions de la composante longitudinale <p de cette force, il faut donc adopter une voie moins directe ; nous considérerons la résistance au mouvement relatif de deux nappes consécutives, comme faisant équilibre à la composante parallèle à cette résistance, du poids du cylindre fluide à formes diverses, limité par celle des deux nappes qui est intérieure à l'autre 3 : le cas des tuyaux de conduite, et celui des courants découverts, seront traités successivement, puis, des expressions obtenues, nous déduirons une propriété générale des courants à régime uniforme.

78. Tuyaux de conduite. — Il résulte de mes recherches exposées précédemment, que, pour ce cas,

m 3â * RS / dv V

1 Les hypothèses peuvent être utiles comme moyen provisoire d'investigation, mais elles ne nous paraissent permises que lorsqu'on s'est assuré qu'elles sont très probables, en s'appuyant sur des résultats d'observation.

* Voir, à la fin de cet article, la remarque générale concernant l'influence de la périodicité des vitesses sur les intensités des actions mutuelles des nappes liquides.

76 K0TI0KS NOUVELLES b'HYDRAUUQUE.

t^et y étant la vitesse et le rayon de la nappe qui est intérieure à l'autre ; on a vu d'ailleurs que

les coefficients a et b ne dépendant que de la matière et, surtout, de la rugosité de la paroi.

En prenant les valeurs numériques de la quantité y, que nous avons don* nées pour les quatre tuyaux en fonte sans dépôts intérieurs, nous obtenons :

Lorsque le liquide conduit est de l'eau, on peut prendre * = 1000 k , de

sorte que le multiplicateur de (—z — ) a respectivement, pour les quatre

rayons précités des tuyaux, les valeurs suivantes :

L'expression générale du facteur qui exprime l'influence du rayon est, d'ailleurs,

quantité qui n'a ni minimum ni maximum réel.

L'expression (1) de 9 est très différente de celles qui ont été proposées antérieurement, non seulement au point de vue de l'influence du diamètre de la section fluide, mais encore à celui du facteur variable dans un même tuyau, partie que je considérerai principalement. D'après une hypothèse posée en i 822 par Navier sur la résistance au glissement relatif de deux

filets voisins, le dernier facteur serait la dérivée —7— et non son carré; d'un

1 dy

autre côté, si l'on adoptait d'autres hypothèses qu'un savant analyste, M. Boussinesq l a ajoutées à celle de Navier, ce facteur serait

1 Essai sur la théorie des eaux courantes, Paris 1877.