PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES. 7T

I dv

or, de Tune ou de l'autre de ces deux proportionnalités, on déduirait des lois de décroissement des vitesses, très différentes de celle qui résulte, sans hypothèse, des expériences de M. Darcy et des considérations rationnelles que j'ai exposées: ainsi, d'après M. Boussinesq, l'exposant de y dans l'équation aux vitesses serait 3, tandis qu'il a été démontré que cet exposant est —• L'auteur suppose qu'un courant fluide est toujours le siège d'une agitation tourbillonnai™ , puis, que celle-ci se concentre, dans les tuyaux, à mesure que le rayon des surfaces fluides diminue, et, enfln que cet accroissement d'agitation a lieu dans le rapport de R à y : or, si les tourbillons qui peuvent être excités dans la zone troublée se propagent vers l'intérieur du courant, on ignore suivant quelle loi. L'idée d'une agitation tourbillon naire a pu être suggérée par des observations faites dans des courants découverts, près de notables obstacles comme les piles des ponts, ou dans des parties irrégulières des cours d'eau rapides, principalement en temps de grandes crues; mais le régime uniforme est plus calme, et c'est un de ses avantages pratiques, au double point de vue de l'économie du travail moteur et de la conservation des rives en matières érosibles.

79. Canaux et rivières. — Dans les courants découverts, la plupart des cylindres 1 liquides ne sont pas uniquement limités par une nappe à égales vitesses; leur surface supérieure appartient à celle du courant, sa largeur varie depuis celle de ce courant jusqu'à être nulle, et les vitesses y sont inégales. Or, on ne connaît pas les lois précises de l'action retardatrice de l'air, de sorte que l'on ne pourrait exprimer d'une manière générale, comme pour les tuyaux, l'équilibre d'un de ces cylindres liquides, sans supposer que la résistance de la partie correspondante de la paroi atmosphérique est négligeable par rapport à celle de l'eau, hypothèse qui paraît, d'ailleurs, très approximative, non seulement par suite des notions physiques précédemment exposées, mais encore parce que la dernière résistance, due à la cohésion du liquide, s'exerce sur une superficie plus étendue que celle qui reçoit l'action de l'air. Quant aux cylindres les plus intérieurs, qui

1 Nous employons encore ici l'expression de cylindre, parce que, dans les parties à régime uniforme des courants, les génératrices des nappes sont sensiblement parailèles entre elles.

78 HOTIOIW MM7VELUS B*HTDBAULIQCB.

sont entièrement limités par des nappes liquides, comme ils enveloppent le filet principal, la vitesse commune à tous les points de leur surface peutêtre exprimée par l'équation

(2) ^v + c-nvTr^

que j'ai établie précédemment, et qui donne, pour un courant déterminé,

Soit r t le rayon moyen pour le cylindre intérieur considéré, nous avons

(4) <p =3ri i

L'élimination de i entre les équations (3) et (4) donne

l H* n / dv\*

9 — 4 |*« z* \ dz / • Comme, d'ailleurs,

en éliminant s 5 au moyen de l'équation (2) après avoir substitué cette valeur, nous voyons que l'expression précédente de ? équivaut à

Le rapport de r, àV + c — v est variable dans un même courant, mais, comme l'équation qui exprime la loi des vitesses est du premier degré en t>, sa dérivée ne contient pas celte variable, de sorte qu'il y a, sous ce rapport, indépendance entre la variation du facteur

dv et celle de —r- : en conséquence, nous voyons que l'influence de la dérivée de la fonction qui représente le décroissement des vitesses de translation s'exerce encore ici proportionnellement au carré de cette dérivée.

80. Propriété générale de F action mutuelle de deux nappes liquides. — Soient

a la vitesse relative de deux nappes consécutives,

PBOtMfcTiS GÊKÊ1ALBS. 79

P la plus petite longueur des distances variables entré les molécules vow sines, de Tune à l'autre de ces nappes :

De la première à la seconde du côté des parois, y devient dans les tuyaux, y + p, et, dans les canaux, % devient % + p, attendu que toutes les nappes liquides coupent normalement la tranche du thalweg : en conséquence, d'après la série fondamentale de Taylor, v devient

. L dv . 4 dv

soit t> t— p, soit t; r- p f

dy dz J

en négligeant les termes de cette série, qui seraient affectés des puissances de p supérieures à la première : le dernier facteur des expressions (1) et (5)

de f est donc égal à -^-, et nous pouvons poser le théorème suivant :

Dans les courants liquides à régime uniforme, r influence de la vitesse relative de deux nappes consécutives sur r intensité de la résistance à leur mouvement relatif de translation, s' exerce proportionnellement au carré du rapport de cette vitesse relative à la plus courte des distances variables qui ont lieu y de l'une à F autre des deux nappes, entre les molécules dont elles sont respectivement composées.

Le rapport — peut d'ailleurs être considéré comme la valeur de la vitesse relative, qui serait estimée en prenant pour unité de mesure la plus courte des distances intermoléculaires.

Remarque. — J'ai démontré que les mouvements des molécules des courants sont, en général, périodiques, et il peut en résulter une périodicité de la résistance intérieure qui nous occupe : à cet égard, nous ferons remarquer que, dans un même courant à régime uniforme, les différences de périodes ne peuvent être que négligeables pour deux nappes immédiatement voisines, ce qui permet de regarder comme constante, la vitesse relative de ces deux nappes : cela posé, dans les tuyaux de conduite, l'intensité <p est indépendante du temps ; mais nous ne pouvons affirmer qu'il en soit ainsi pour les courants découverts, par suite de la différence des vitesses Y et w. Ces considérations n'ont d'ailleurs qu'un intérêt purement théorique : au point de vue des moyens mouvements de translation, qui est celui qu'on doit adopter pour les applications, les vitesses sont constantes, et la formule (5) exprime une moyenne valeur de ?•

40 KOTIOKS ROUTSLLE8 D'HYDRAULIQUE.

Notions concernant les quantités de mouvement et les forces vives des courants liquides à régime uniforme, et le travail moteur de la gravité.

81 • — Continuant à réserver pour des éludes spéciales les bifurcations et les coudes brusques, qui se rencontrent d'ailleurs rarement, je désignerai par:

Q, U et $ la section transversale, la vitesse moyenne, et la densité d'un courant,

l une longueur sur laquelle on peut considérer son régime comme uniforme.

» Taire de la section d'un cylindre liquide composé, comme le courant, de nappes minces ayant pour directrices les courbes d'égale vitesse, aire qui croît d'une manière continue, depuis le filet principal où Ton peut la regarder comme nulle, jusqu'aux parois,

v la vitesse de translation d'un élément de volume ld<*.

82. Quantités de mouvement de translation. — Nous considérons d'abord celle qui a lieu dans l'espace : pour l'élément de volume, celte quantité de

mouvement est v

pour chaque cylindre liquide

vdt*

et, pour le courant tout entier, sur une longueur /,

le produit vcL étant le volume liquide qui passe, dans l'unité de temps, par l'élément de section, et û U étant le débit total du courant dans le même temps.

En se rappelant la définition de la nappe principale, et l'égalité, démontrée précédemment, entre la vitesse moyenne U et la vitesse de translation du centre de gravité d'un volume liquide /û, on voit que