QUANTITÉS DB MOUVEMENT ET FORCES VITES

La quantité de mouvement de translation dans l'espace, des parties à régime uni forme des courants, est égale au produit de leur masse par la vitesse de translation de leur centre de gravité, ou par celle de leur nappe principale.

83. Je nommerai quantité de mouvement relatif, celle du mouvement des nappes qui composent le volume / Q, par rapport à son centre de gravité : pour l'élément de volume l dw, cette quantité est

de sorte que, pour le courant tout entier, sur la longueur /, nous avons

c'est-à-dire une valeur nulle. Or, à l'exception de la nappe principale, la quantité de mouvement relatif de chaque élément de volume ou de chaque nappe fluide, n'étant pas nulle, ce résultat prouve que la somme des quantités analogues prise pour la région du courant dans laquelle les différences v — U sont positives, se trouve numériquement égale à celle qui est afférente à l'autre région : comme, d'ailleurs, ces deux parties sont celles en lesquelles la nappe principale divise le courant, nous voyons que

Pour chacune des deux régions d'un courant séparées par sa nappe principale, la quantité de mouvement relatif considérée , soit par rapport à cette nappe, soit par rapport au centre de gravité, est la même en valeur absolue.

84. Quantité de mouvement totale. — Pour exprimer cette quantité de mouvement, il faudrait, en toute rigueur, ajouter à celle du mouvement de translation, la somme algébrique des quantités de mouvement non transi atoires engendrées au contact des aspérités des parois, et propagées, au moins en partie, par les communications latérales de mouvement qui ont lieu à l'intérieur des courants, dans le sens des plus petites aux plus grandes vitesses de translation. Or, je ferai remarquer d'abord que, dans un tourbillon, les composantes des quantités de mouvement soit parallèles, soit normales à la direction du courant, sont, deux à deux, de signes contraires et égales entre elles ou extrêmement peu différentes; quant aux déviations de tout genre, des molécules fluides, leurs composantes parallèles

SI K0TI0HS HOU V ELLES d'HVDBAUUQUE.

au courant contribuent à la quantité de mouvement de translation, et en ce qui concerne les composantes normales, si l'on conçoit des plans traversant la masse liquide d'une paroi à l'autre en passant par le filet principal, dans les deux parties de chacun de ces plans séparées par ce filet, les composantes dont il s'agit sont, au moins en grande partie, deux à deux, de sens contraires : en conséquence de ces considérations, la somme algébrique précitée ne peut être que très faible, et négligeable devant la quantité de mouvement de translation, dans tous les cas de la pratique, cas où la section des couranls n'est pas très petite. Nous pouvons donc dire que

La quantité de mouvement totale des parties à régime uniforme de la masse liquide des canaux, des rivières et des tuyaux de conduite ordinaires , ne diffère que par une quantité négligeable , de leur quantité de mouvement de translation.

85. Corollaire. — On voit par cette remarque et par le théorème concernant le mouvement de translation, qu'à égalité de masse, les quantités de mouvement de divers courants liquides qui ont le même débit, sont sensiblement égales entre elles, quelles que soient la figure géométrique de leur section et la rugosité de leurs parois.

Forces vives.

On sait que la force vive d'un courant liquide est plus grande que celle qui aurait lieu si les vitesses des filets étaient toutes égales à la vitesse moyenne de ce courant, mais, en l'absence d'une expression exacte, plusieurs auteurs ont négligé cette diflérence malgré sa valeur; d'autres ont proposé d'en tenir compte au moyen d'un facteur numérique, mais ce facteur est variable. Cet état de la question m'a engagé à établir les calculs et les théorèmes suivants.

86. La force vive de translation dans le lit des courants, est, pour un élément de volume /d«,

donc, en remplaçant v* par la quantité équivalente (V — v)* -f 2 Vv — V 1 dans laquelle V est la vitesse du filet principal, et désignant par F v la force vive de translation du courant sur la longueur /, nous avons

QUANTITÉS DE MOCVENENT ET FOÉCES VIVES. il

I \(V— t>)»<fto+2Vlt><fc> — ÛV* .

or,

2V VtHfe» = 2ÛUV

et, par conséquent,

\vdo> =

— 2QUV-OV*+I (V — »)■<*• I,

D'un autre côté, en vertu de l'un des théorèmes que j'ai établis précédemment,

y étant, pour les tuyaux de conduite comme pour les canaux et les rivières, la distance verticale au filet principal, du point d'intersection d'une nappe liquide dont la vitesse est v, et de la tranche longitudinale du thalweg; w désignant d'ailleurs la vitesse du fluide en contact avec les parois; donc,

\ (V — «)t dm = (V — w)* I /(y)* dm.

Or, d'après les expressions que j'ai déterminées, de f (y), celte fonction se réduit à zéro, comme % pour y = 0; de sorte que, en désignant par \f la plus grande valeur dey, valeur qui correspond à la nappe de vitesse w, et représentant par B la quantité f (y'f qui est, pour chaque courant considéré, une constante, nous avons

Jo