ÉTUDE 8UB LA RÉSISTANCE DES PAROIS
soit une fonction de la vitesse avec laquelle se produit l'accroissement des distances intermoléculaires, et si, d'après quelques-unes de mes expériences, cette vitesse parait avoir une influence sensible sur l'intensité de la résistance 1 , c'est quand faction extérieure est brusque ; or, cette condition n'a pas lieu dans le cas des molécules liquides en contact avec les parois des courants. D'après ces considérations, nous devons regarder la cohésion dont il s'agit comme indépendante de la vitesse de régime des molécules précitées, vitesse qu'elles ne peuvent, d'ailleurs, reprendre entièrement qu'après la rupture de cette cohésion. En conséquence, désignant par «' l'intensité, sur l'unité de surface, de la résistance qui nous occupe, nous représenterons para'cSw, pour l'unité de temps, son travail sur l'unité de longueur du courant.
Examinons maintenant s'il peut exister d'autres causes de résistance, dont l'intensité varierait avec la vitesse w. Telle n'est pas, assurément, l'action capillaire qui soutient un ménisque liquide le long des parois des courants découverts ; cette résistance est, d'ailleurs, insignifiante par rapport à la somme des autres, car la hauteur du ménisque n'est, en moyenne, que de m 0023.
108. Des pressions. — On sait que l'action retardatrice des parois est indépendante des pressions statiques qu'elles supportent dans les cas de la pratique : cependant nous croyons devoir faire observer que ces pressions pourraient avoir une influence indirecte, dans les rivières assez profondes pour que le poids de. l'eau pût comprimer le fond et la partie inférieure des parois latérales, influence qui se réduirait d'ailleurs à diminuer le coefficient de rugosité du lit.
109. Des attractions et de la chaleur. — D'après celles de mes expériences, qui sont relatées au n* 23, il y a lieu de penser que le frottement de l'eau sur les parois produit des attractions d'électricité, et que leur intensité varie un peu avec la vitesse du fluide, mais nous n'avons pas à cet égard de bases suffisantes de mesure précise: d'un autre côté, il faut remarquer que, si une attraction électrique des parois existe dans les
1 Dans ces expériences, un fil métallique était fixé, par Tune de ses extrémités, au milieu d'une des lames d'un dynamomètre solidement attaché par le milieu de l'autre lame, et je rompais ce fil, tantôt en exerçant une action lente, tantôt en produisant une traction brusque ; dans ce dernier cas, la flexion du dynamomètre était plus grande que dans le premier, les fils étant d'ailleurs sans différence appréciable.
f06 . ACTIONS WOCYELLKS D'HYDRAGLIQUI.
courants ordinaires, son action sur les molécules liquides voisines doit être neutralisée, au moins en partie, par une attraction en sens contraire de la masse liquide intérieure: nous ne pouvons que comprendre, en prévision de l'existence de ces deux forces, leur différence sans donte extrêmement faible, dans la valeur de «', valeur qu'on ne peut déterminer qu'au moyen d'expériences qui donneront des résultantes de la cohésion et de l'attraction.
Les chocs multipliés et incessants de groupes moléculaires liquides contre les aspérités du lit, doivent engendrer de la chaleur, mais celle-ci ne peut être regardée comme constituant une force appliquée au courant liquide, et influant directement sur son mouvement : quant aux quantités de travail correspondantes aux vibrations thermiques, il suffit de remarquer que ces vibrations sont dues à une transformation interne de la force vive de translation relativement perdue dans les chocs, perte qui a déjà été exprimée, pour voir que nous n'avons, à ce sujet, aucun nouveau terme à introduire dans l'équation du travail»
HO. Remarque concernant les expériences de Girard et de M. Poiseuille. — Les résultats publiés par ces deux savants semblent, au premier abord, imposer l'introduction d'un terme proportionnel à la simple vitesse dans l'expression des résistances des parois, mais, indépendamment de la considération que certaines influences, telles que celle des phénomènes de la zone troublée (26), peuvent être prédominantes dans les tubes capillaires, tandis qu'elles sont relativement insignifiantes dans les courants à grande section de la pratique, il faut remarquer que les formules empiriques de ces deux auteurs, formules qui, d'ailleurs ne s'accordent pas entre elles 1 , concernent, non pas. la vitesse du liquide en contact avec les
1 Les expériences du docteur Poiseuille ont eu principalement pour objet, les mouvements du sang dans les vaisseaux des vertébrés, et TAcadémic des sciences a décerné en 1835 à l'auteur un prix de physiologie expérimentale. Le docteur Poiseuille produisait l'écoulement par l'action non continue dune pompe foulante, imitant celle du cœur : entre autres résultats d'observation, il a constaté au moyen du microscope que les globules du sang, même dans des veines d'un diamètre inférieur à un millimètre, ont des vitesses décroissant de l'axé aux parois ; le long de cellesci, il a observé une couche diaphane de sérum généralement privée de globules, couche dont l'épaisseur augmente, toutes choses étant égales d'ailleurs, soit avec la vitesse du courant, soit avec le diamètre du vaisseau, ou quand la température s'abaisse. Des phénomènes analogues ont été remarqués dans des tubes végétaux transparents, par le même observateur. Dans l'un et l'autre cas, il a vu des corps d'une extrême ténuité comme les globules du sang, parvenir exceptionnellement
ÉTUDt S0* U BÉSOTAlfCI DBS PA10B. fOt
ptfrois, Jnîs la vitesse moyenne d'écoulement par l'orifice de sortie de tubes peu allongés, de sorte qu'elles ne prouvent pas, même pour ceé tubes capillaires, qu'il existe dans l'expression de la résistance des parois en fonction de la vitesse qui la fait naître, un terme proportionnel à la première puissance de celle-ci. Quant à l'expression en fonction de la vitesse moyenne des courants, on verra plus loin qu'un terme analogue s'y introduit par suite de la relation binôme que j'ai établie entre cette quantité et la vitesse qui a lieu au contact des parois.
111. Equation générale pour les canaux et les tuyaux de conduite. — D'après ce qui précède, nous avons
*ûi= -j-pw + cS*'.
Pour exprimer la masse p, je ferai remarquer que l'aire de sa section transversale est celle que les aspérités des parois interceptent, de sorte que,
en désignant par — cS la partie correspondante du périmètre mouillé cS,
et par * la saillie moyenne de ecs aspérités, nous avons
f* = — • — - CS <T W.
9 P Substituant cette expression de p dans l'équation précédente, et désignant par Ri le rapport — que les hydrauliciens nomment rayon moyen, j'obtiens
(2) 8R, tss 8 — c — - + ca'.
relation dans laquelle -^— est la hauteur due à la vitesse du moyen mouvement de translation du liquide en contact avec les parois.
Les valeurs de *, p et c pourraient être déterminées, dans chaque cas, au moyen de mesures très précises, mais ces mesures seraient difficiles, et U nous parait plus pratique de grouper les facteurs qui dépendent de l'état
jusqu'au contact de la paroi, et s V arrêter momentanément, arrêt que Girard avait d'ailleurs observé en 1816 dans des tubes en verre de un à quatre millimètres de diamètre, donnant écoulement à de l'eau.
109 HOTIOHS ItOGVBLUS D HYDRAULIQUE.
des parois, sous forme de coefficients que Ton puisse facilement déduire des résultats d'expérience ; nous ferons
— c = 2to fi et cet! =<x P
de sorte que notre équation fondamentale sera
oc
(3) Rll - =pa ,2 + .
La seconde partie de cette théorie a pour objet l'élimination de la vitesse w 9 vitesse qui n'est pas connue quand on veut établir un courant, et qui, s'il s'agit de calculs relatifs à un courant existant, ne peut être observée que dans le cas des canaux et des rivières. Deux des propriétés générales que j'ai découvertes et exposées précédemment sont respectivement représentées par les relations
y désignant la distance au filet principal dont la vitesse estV, de la ligne inférieure d'intersection de la tranche longitudinale du thalweg et d'une nappe quelconque de vitesse v ; K étant une fonction des dimensions de la section liquide transversale, fonction qui varie avec la figure géométrique de eette section, et dont les coefficients dépendent de la rugosité des parois : soit y t la valeur de y pour la nappe dont la vitesse est égale à U; l'équation (4) donne
(6) V-U = (V-w)/\yi).
Or, en éliminant V au moyen des relations (5) et (6), nous obtenons et la substitution de cette expression générale dans l'équation (3) donne relation qui diffère considérablement de la formule en usage
ÉTUDB SUE LA fttSlSTANCB DES PAROIS. 109'
Rlt^rAU + BU»,
établie en 1803 par Girard et Prony, formule que M. Darcy a maintenue soixante ans après, en améliorant les coefficients À et B d'après les résultats de ses expériences 1 . Ayant signalé précédemment les erreurs qui ont conduite cette ancienne relation, je compléterai mon étude en faisant des applications et des vérifications de la théorie qui vient d'être exposée.
4(2. Application de F équation théorique générale , au cas des tuyaux de conduite. — D'après la théorie de la distribution des vitesses dans les tuyaux, que j'ai exposée précédemment, on a, en désignant par R le rayon intérieur,
et K =b 49 ^
Y étant une fonction de R, croissante avec ce rayon et avec la rugosité de la paroi; Or, il résulte de ces expressions que
de sorte que la relation (7) appliquée aux tuyaux de conduite, devient
(8) R,i=pu* |-p TU v'T + ^ ï »pi + -^.
Pour vérifier cette équation, je considérerai d'abord les principales propriétés qui résultent des expériences de M. Darcy, plus étendues et plus précises qu'aucune de celles qui ont été faites sur les tuyaux de conduite.
113. Vérifications. — J* J'ai constaté que les valeurs du rapport -p=.
déduites directement de celles de la vitesse moyenne U et de la perte de chute t que M. Darcy a observées, augmentent, pour un même tuyau, avec cette perte de chute : or, il est facile de déduire de l'équation (8) dans laquelle R 1= ~R
1 M. Darcy n'aurait san3 doute pas conservé la formule de Prony, s'il avait remarqué qu elle est incompatible avec la loi de distribution des vitesses dans les tuyaux, déduite par lui-même des résultats de ses observations.
110 ROTIONS HOUraUS D'BTDIAVLIQCI*
(9) 7r = ~ Y+ VT(T-â7)
relation qui exprime la propriété expérimentale précitée, attendu que; poui un même tuyau, i est, dans le second membre, la seule variable.
2° M. Darcy a reconnu dans les limites pratiques de ses observations, que, pour une même vitesse moyenne et un même état des parois, la résistance de celles-ci sur l'unité de surface augmentait lorsque le rayon des tuyaux diminuait ; or, cette seconde propriété est encore contenue dans l'équation (8) : en effet, on peut écrire celte équation sous la forme
*R,«=8p[u*--fYrr(u-!- Y *nr)]+ cc
comme, d'ailleurs, j'ai démontré que la vitesse w du moyen mouvement de translation du fluide en contact avec les parois, est égale à
le facteur
est toujours positif, de sorte que l'expression théorique de la résistance pré* citée crott à mesure que la fonction de y diminue pour une même valeur de U : or, cette fonction décroît avec <?, et, par conséquent, avec R, jusqu'à un minimum qui a lieu pour des rayons très faibles 1 , et qui indique une limite à l'accroissement précité de la résistance des parois. 3° M. Darcy ayant, pour une partie dé ses expériences, observé la vitesse
1 Le minimum de la fonction -i- y ^ * (U — -y- T ^"0> a H eu pour y ^T es — U, et, en substituant cette valeur dans l'équation (8'), on obtient R= 9 -~, o», pour le cas des tuyaux neufs en fonte, R = ft 00 ? ** , et, pour celui d'un dépôt inté* rieur, R = . ■. On conçoit, d'ailleurs, que l'influence du rayon se modifie qpaad
il est petit, la zone dans laquelle les mouvements intestins sont engendrés, occupant alors une partie proportionnellement notable, de la section liquide.
ÉTUM SU* LA RÉSISTANCE DES PAEOIS. Ui
V du filet situé dans Taxe des tuyaux, j'ai constaté que le rapport -— déduit
directement des résultats qu'il a publiés, augmente, pour une même conduite, avec •; or, cette propriété est également indiquée par notre théorie; en effet, la relation fondamentale
donne, pour les tuyaux de conduite comme pour les canaux,
et, d'un autre côté, en conséquence de mon principe général des pertes de chute,
v-. + V^T de sorte que, dans le cas des tuyaux de conduite,
expression théorique dont il résulte
7f=WT(f R -i7)-
Je présenterai maintenant des résultats numériques. En substituant dans l'équation (8), pour chaque tuyau considéré, une série de valeurs expérimentales simultanées de U et de i, on obtient des équations en p, -2- et r,
dont il est facile de déduire successivement les valeurs de ces quantités : les résultats numériques des expériences précitées fournissent amplement les données nécessaires pour effectuer ces calculs et les vérifier. Ayant, depuis plusieurs années, obtenu, au moyen de la loi
que j'ai découverte, les valeurs du facteur y pour les tuyaux neufs en fonte de 0* 188 et de 0*500 de diamètre, et pour un tuyau de même métal dont la
ifî NOTIONS NOUVELLES D'HYDEàULIQUB*
paroi intérieure était recouverte d'un mince dépôt calcaire, j'ai considéré ces conduites. Relativement aux deux premières, les valeurs de .V sont, respectivement, 1,973 et 3,789; j'ai trouvé p = 0, 00035 et -J- = 0, 000018: pour la troisième, dont le diamètre était de 0* 2432, r = 2,324, et j'ai obtenu p = 0,00084, -y = 0, 000009.
Un considérant, dans la théorie générale, la signification du facteur p, on voit que son accroissement est une conséquence de celui de la rugosité, effet ordinaire des dépôts : d'un autre côté, une cause de diminution de résistance se manifeste dans les valeurs de -y- , et cette cause, qui est évidemment indépendante de la rugosité, ne peut être attribuée qu'à la différence des matières solides en contact avec le liquide des courants ; le dépôt avait, probablement, obstrué en partie les pores de la fonte. Quoiqu'il en soit, en substituant dans la relation (9), pour ce cas des dépôts intérieurs, qui est le
plus fréquent, les valeurs correspondantes de p et — , avec une série de
valeurs expérimentales de i, j'ai obtenu des valeurs théoriques de —, puis
d'un autre côté, j'ai calculé celles qui résultent immédiatement des vitesses moyennes et des pertes de chute observées. Le tableau suivant contient les données et les résultats de ces deux séries de calculs :
u l théorique ... 10 ,247 — 10 ,232 — 10 ,223 — 9 ,932 s]~ \ expérimental. 10 ,248 — 10 ,246 — 10 ,224 — 10 ,057
En considérant les grandeurs relatives des variations de t, et construisant un lieu géométrique, on voit que, dans la série des valeurs expérimentales
du rapport -=, la partie décimale de la seconde est un peu trop grande;
aussi peut-on dire qu'à l'exception du cas de mouvement lent, l'exactitude de la relation (9) se trouve vérifiée par l'ensemble des valeurs numériques et de la concordance des lois de variation indiquée précédemment. Quant aux plus petites pertes de chute, telles que 0, 00202, l'écart entre le résultat théorique et celui que l'observation fournit directement, bien que sensible,
