SS

t, dt t dr r

et Ton a, par conséquent, en désignant par c une constante, ^

dr r

L'intégrale générale de cette équation est

(57) s = cr-h~,

b étant une nouvelle constante arbitraire.

Par cette valeur des, les déplacements (52) satisfont

aux équations indéfinies; nous allons maintenant déterminer b et c, de manière à satisfaire aux équations définies.

45. Substituant à cet effet les valeurs (Sa) dans les expressions (4o) des N, T, il vient

l ' \r^ dr r^ / ' ' r^ \ dr r J

On simplifie l'étude des tensions autour d'un point en faisant passer par ce point l'axe des x, on a ainsi X = r^ y =z o^ ^ = o et les valeurs (58) donnent

N|— 3Xc-f-2{JL-7->

^ dr N2= N3=3Xc + 2(xi.

Les composantes tangentielles étant nulles, on voit que les tensions N<, Na, N3 sont principales; la condition N2 = Nj montre que Fellipsoïde des tensions est de révolution autour du rayon mené du centre au point considéré.

En remplaçant enfin e par sa valeur (5^), les expressions des tensions N deviennent

Désignons maintenant par /'o, /'< les rayons des surfaces sphériqueS' qui limitent intérieurement et extérieurement le solide et par Pq, Pj les pressions qui s^îxercent

normalement et uniformément sur ces surfaces-, en exprimant que N< se réduit à — Pq sur la surface intérieure et à — P< sur la surface extérieure, on a deux équations

( (3X-i-2{x)c-^ = -Po,

qui déterminent A, c, et, par les valeurs que l'on obtient ainsi, toutes les conditions d'équilibre sont satisfaites. On tire des équations (60)

et, en portant ces valeurs dans les formules (^7) et (59), on obtient la solution complète du problème.

d. — Équilibre d'une couche cylindrique,

46. Soit un solide homogène et isotrope limité par deux cylindres de révolution concentriques et par deux plans perpendiculaires aux arêtes. Ce solide est soumis, sur chacune des surfaces cylindriques, à une pression normale et uniforme, et sur chacune des bases à une traction parallèle aux arêtes^ on se propose de déterminer l'état d'équilibre.

Plaçant Porigine au centre de figure, prenons Paxe OZ parallèle aux arêtes^ soient, dans Pétat naturel, jr, r, z les coordonnées d'un point M du solide et r la distance de ce point à Paxe OZ, de sorte que

Par suite de la déformation, le point M se déplace évidemment dans le plan méridien passant par sa position primitive, et l'on peut décomposer son déplacement en

deux : l'un £ suivant la direction de la distance /', Tautre w parallèle aux arêtes.

Nous supposerons que e ne dépend que de r, et que w est proportionnel à z. Posant, en conséquence,

(63) M=£ — , 9=:£.l-, W = CZ,

nous allons vérifier que Ton satisfait à toutes les conditions de l'équilibre par des valeurs convenables de la fonction s et de la constante c.