II. — Déplacement général d'un système de points
16. Formules fondamentales, — Considérons un système de points infiniment rapprochés rapporté à trois axes rectangulaires. Concevons ce système déplacé de telle manière que les projections u, ^, w du déplacement d'un point quelconque M soient des fonctions continues des coordonnées primitives x, y^ z de ce point.
Pour un point N(x -h A, 7^ 4- A", z -f- /), infiniment voisin de M, les projections du déplacement sont
du , dx
du dy
dv ^ dx
dv
dw , dw , dw , ■w = w -h -r- h -f- -=— k -\- ->— /.
dx dy dz
Imaginons, par le point M, des axes parallèles à OX, OY, OZ; par rapport à ces axes, les coordonnées de N sont A, A, / avant le déplacement; après le déplacement, ces coordonnées deviennent
!h' = h-{- u' — w, k'= k-h v'—v, /'= l -hw' — Wj
c'est-à-dire, d'après les formules (1 3),
, , / du\ . du , du ,
'' = \:^d^)'':^Ty''^dz^^
/ . X ) / / dv . / dç\ . rfp
dw dw / dw \
" dx ~^ dy "^ ^ \ dz I '
( «9) Ces expressions sont linéaires en /i, /, /; par suite, les points N situés, dans le voisinage de M, sur une surface F(/i, A, /)= o, seront après le déplacement sur une surface du même degré. Ainsi, les points d'une sphère viendront sur un ellipsoïde ; les points d'un plan sur un plan 5 de même, les points qui étaient sur une droite restent sur une droite.
17. Dans ce qui suit, nous considérerons exclusivement des déplacements tels que les différences h' — A, V — k, l' — / soient très petites par rapport a A, A, /. Dans cette hypothèse, les neuf dérivées partielles qui entrent dans les formules (i3) et (i5) ont des valeurs très petites que nous traiterons comme des infiniment petits. Nous désignerons par 8 la variation très petite qu'éprouve une quantité quelconque par suite du déplacement et nous traiterons les 8 comme des différentielles.
18. Décomposition du déplacement. — Les formules (i3) montrent que le déplacement d'un élément entourant le point M est déterminé par les valeurs que présentent en ce point les neuf dérivées partielles de u, v^ w par rapport à x, j^ z.
On peut substituer à ces dérivées neuf nouveaux coefficients dont l'interprétation géométrique est plus commode \ en posant
du
dv
dw
dw dv dy dz
du dw
, dv du
2 fc>3 = - - H- -— ,
dx dy
dw dv P'-- dy ~"dz'
du dw
dv du ^P'-^di-Ty'
( =^o) les expressions (i3) peuvent s'écrire
(17.) ^ ^' == ç -^p^ii^p^i ^ h^h -ha^k-hbil,
w-¥-pik —pih -h bih-i- bik -\- a^l.
On en conclut que le déplacement («/, v\ w') du point N s'obtient en composant :
1° Le déplacement («/, ç^, w); 2° Le déplacement dont les composantes sont
IUi=pil —psk, vi = pzh—pil, wi=pik — pfh;
3^ Le déplacement dont les composantes sont
IU2= ctih-t b^k -{- b^l, ç^= bzh-h a^k -\- bil, W2= b^h -h bik -h a^ l.
Le premier de ces déplacements composants est identique au déplacement du point M.
Le deuxième est une rotation, aux composantes angulaires (/?i,/?2, pz) autour d'un axe passant par le point M.
Le troisième peut se représenter comme il suit.
19. Soit la série des surfaces ho mo thé tiques ayant pour équation
(20) «1 ar* H- «2^* -i- «3-3*+ 261;^^ -i- ib^zx + j.b^xy = X.
Supposons le centre au point M et considérons celle de ces surfaces qui passe par le point N, ce qui détermine ).par la condition
(21) aih^ -ha^k^ ^ a^l^-^ ib^kl -\- xh-Jh -\- ib^hk = 1.
D'après les valeurs (19), le plan tangent à cette surface au poînt N a pour équation
Par suite, le déplacement (^2^ ^2? ^2) du point N est normal à la surface qui passe par ce point. De plus, si l'on désigne par 2 la grandeur de ce déplacement et par m la perpendiculaire abaissée du point M sur le plan tangent, ou a
Ts = — — . — = -^ :
v/w| -h vj -\- wl °
d'où il résulte que la grandeur du déplacement est donnée par la formule 8 = - •
20. En résumé, on peut dire que le déplacement d'un élément environnant le point M se compose d'une translation, d'une rotation autour d'un axe et d'une déformation.
La translation est déterminée par les composantes u^ V, wp du déplacement du point M.
La rolation est déterminée par les quantités /?i, /?2i/^3i que nous appellerons rotations élémentaires,
La déformation est déterminée par les six quantités a4, «2> ^3> ^1) ^21 ^3> q^e nous appellerons déformalions élémentaires.
Les rotations et déformations élémentaires sont définies par les relations (16).
11 est à remarquer que, d'après ces relations, les rota tions disparaissent lorsque z/, v^ w sont les dérivées par tielles d'une fonction ^{x,j^ z) des coordonnées.
