Dilatation linéaire. — On appelle dilatât io7i
linéaire le rapport de raccroissement d*une longueur à sa valeur primitive.
Cherchons la variation très petite de la distance r du point M au point N dont les coordonnées relatives sont /i, A", /. De la relation r^ = h^ -i-k^-+- Z^, ou tire
r8r = AS/14- >t8A:-f-/8/.
Les relations (i 4) et (17) donnent
( 23 ) i Ik = p^h — Pli -^ b^h -^ a^k -¥■ b\l,
( 0/ =p\k — p^h-h bih-h bik -h a^lj
et Ton a, par suite,
(24) r 8r = ai A* -h «2 ^* -+- «3 ^^ -+- ib^kl-^ ib^lh-^ ib^hk.
Désignons par a la dilatation linéaire et par a, p, y les cosinus directeurs de MiV', on a
et la formule (24) devient
(25) a = aia*H- a^^^-h a^^^-h ib^ Py -^ ib^^a 4- ^^aap.
Cette formule donne la dilatation linéaire dans la direction (a, p, y). La dilatation se réduit aux valeurs «1, «2? «3 lorsque la direction (a, p, y) devient successivement parallèle aux axes OX, OY, OZ.
22. Dilatation angulaire. — Soient Ni, N2 deux points infiniment voisins de M 5 désignons par les lettres r, A, A% /, affectées des indices i et 2, les distances de ces points au point M et leurs coordonnées relatives. En
( ^3 ) appelant V Tangle N1MN2, on a
Ti Tj cos V — hihi-h kl k^ -f- /j /j;
d'où, par différentiation,
cosV8(rirs) — riTssinV.SV
Cette formule se sînipliGe lorsque Tangle V est droit et, en ayant égard aux formules (17), il vient alors
— ïrir2.8V = aihihi-h a^kik^-h a^l\h -f- ^i ( Ati ^2 H- ^1^2) -h 62(/iA2-+-^i^2)H- ^3(^1^2-+- ^1^2)
ou, en posant — ^8V = i et en introduisant les cosinus directeurs de MN4, MN2,
Cette formule donne la moitié de la diminution qu'éprouve, par la déformation, l'angle primitivement droit des deux directions (a4, ^i, Y4), (a,, ^2» Y2)-
Cette quantité se réduit à b^, h^^ b^ lorsque les deux directions dont il s'agit sont successivement parallèles à (OY, OZ), (OZ, OX), (OX, 0Y>
23. Dilatations et glissements, — Ces propositions définissent la signification géométrique des six déformations élémentaires.
Imaginons un parallélépipède élémentaire dont les arêtes soient parallèles aux axes coordonnés; le déplacement général du système transporte ce parallélépipède en le déformant. Il résulte de ce qui précède que les quantités ai, ^2, «3 représentent les dilatations des arêtes et que les quantités 2^4, 2/;2) 2^3 représentent les
diminutions des angles, primitivement droils, compris entre les arêtes prises deux à deux.
On appelle fréquemment dilatations les quantités a< , «2» ^3 et glissements, ou distorsions, les quantités 261,
24. Surface des dilatations. — Reprenons la formule (25) qui donne la dilatation linéaire dans une direction quelconque. Si Ton porte, à partir du point M, dans la direction (a, p, y), une longueur MA égale à la valeur absolue de la dilatation a et si, le point M étant pris comme origine, on appelle x,j^, z les coordonnées du point A, on a
le signe étant -h ou — , suivant que a est positif ou négatif. En éliminant a, p, y entre ces équations et l'équation (26), il vient
(27) axx^-^ «27"^ -f- «3^^ -t- '^b\yz -+- 262^^ + "i-bzxy =±1,
de sorte que le lieu du point A est une surface du second degré. Cette surface est un ellipsoïde s'il y a, en tous sens, ou dilatation ou condensation autour du point M. S'il y a dilatation dans certaines directions et condensation dans d'autres, l'ellipsoïde est remplacé par deux hyperboloïdes conjugués.
25. Dilatations principales. — Si Ton prend pour axes coordonnés les axes principaux de la surface des dilatations, les rectangles disparaissent de son équation, de sorte que l'on a è| = o, ^2=0, ^3 = 0. Donc, en tout point d'un système qui subit une déformation, il existe trois directions rectangulaires telles que les an-
( 25) gles de ces directions, prises deux à deux, J^eslent droits après la déformation.
Les dilatations, dans ces directions, sont dites principales,
26. Formules de transformation des déformations élémentaires, — Quand on change la direction des axes coordonnés, les déformations élémentaires «i, «2» ^3> l>\'i ^21 ^3 deviennent a'^ , a'g, «3, b\^ b',^^ b'^. Pour avoir les nouvelles valeurs en fonction des anciennes, il suffît de transformer l'équation (27) de la surface des dilatations par la substitution
X = ai x' -h CL^y -f- «3 ^\
^ = Yia7'-t-Y2y^-Y3V.
Les coeffîcients de Téquation transformée donnent, pour les nouvelles déformations élémentaires, des expressions qui ne diffèrent de celles que l'on a obtenues, au n° 15, pour les (N', T'), que par la substitution de (a, i)à(N,T).
Il est à remarquer que les formules que Ton obtient ainsi donnent la relation
(28) a'i H- a'j H- «3 = at H- «2 H- «3,
de sorte que la somme des dilatations suivant les axes est un invariant.
27. Dilatation cubique, — La déformation change le volume d'un élément environnant le point M. Le rapport de Taccroissement de ce volume à sa valeur pîmitive est la dilatation cubique au point M. Tout volume étant
( =^6) décomposable en tétraèdres, il suffit d'évaluer la dilatation d'un tétraèdre.
Considérons avec le point M trois points infiniment voisins N|, Na, N3. Désignons leurs coordonnées relatives par les lettres h^h, l affectées des indices ly 2, 3. Le volume du tétraèdre dont ces quatre points sont les sommets est
Al Ati /j
ht k^ I2
«3 ATa /s
En désignant par (//, A/, /') les valeurs de (A, /r, /) après la déformation, ce volume devient
En ayant égard aux formules (i5) qui expriment (/i', A', /') en fonction de (A, A", /), on voit immédiatement, par la règle de la multiplication des déterminants, que V est le produit de V par le déterminant
du
du
du
-^Tx
dy
dz
dv dx
dv
dy
dv
dz
dw
~dbD
dw d^
dw dz
On a donc V'=:. VA, et la dilatation cubique 6, égale à — ^ — j est donnée par la formule
Cette expression, ne dépendant pas de Torientation du
(^7) tétraèdre, s'étend à un volume quelconque; elle s'applique à des déplacements quelconques m, v, çv, sans restriction relative à Tordre de grandeur des neuf dérivées partielles.
Quand ces dérivées sont très petites, Texpression trouvée se réduit à la suivante :
~~ dx dy dz
28. Cette dernière formule peut s'établir comme il suit : soit un élément parallélépîpédique, ayant un sommet au point M, dont les arêtes soient dans les directions des dilatations principales. Désignons par a^ , a'^, ^3 ces dilatations principales.
Par la déformation, les arêtes sont respectivement multipliées par i -f- «'^ , i -h a'g , i -f- a'3 ; de plus les angles restent droits. Donc le volume de l'élément est multiplié par (i -h «', ) (i -+- «2) (i -h «3), ou par H- a'^ -h a'j -h a!,, en négligeant les quantités très petites d'un ordre supérieur au premier. Il en résulte que la dilatation cubique
est
On a donc, pour un système d'axes quelconques, d'après la relation (28),
6 = ai+ «2-1- ûta, ce qui donne la formule (3o).
