ÉLASTIQUE DÉFORMÉ
29. Expressions des (N, T) en fonction des («, b), - Nous appellerons état naturel d'un système matériel
( 28) celui OÙ il n'existe aucune tension. Si, à partir de cet état, on déforme le système par l'application de forces extérieures, les tensions cessent d'être nulles par suite de la variation des forces intérieures.
L'hypothèse fondamentale de la théorie de l'élasticité consiste à admettre que Vaction mutuelle de deux points matériels devient insensible dès que la distance de ces points dépasse une limite très petite.
Par suite de cette hypothèse, la valeur que la tension, sur un plan quelconque, en un point quelconque M, acquiert après le déplacement de ce point, dépend uniquement de la déformation subie par la portion du système comprise dans un volume très petit autour du point que l'on considère. Or nous avons vu que la déformation de cet élément est complètement déterminée par les valeurs que présentent au point M, par suite de son déplacement, les six déformations élémentaires (a, b); donc les (N, T) sont des fonctions des (a, b).
Supposons que ces fonctions puissent être représentées par la série de Maclaurin et ne conservons, à cause de la petitesse des variables, que les termes du premier ordre. En remarquant en outre que, dans l'état naturel, les tensions sont nulles avec les déformations, on est conduit à ce résultat : lorsqu'un système élastique subit une petite déformation à partir de son état naturel, les six composantes (N, T) sont des fonctions linéaires et homogènes des six déformations élémentaires (^a^ b),
30. Les coefficients de ces fonctions, au nombre total de 36, dépendent de la constitution du système, autour du point M, avant la déformation. Ils peuvent être, si cette constitution est variable d'un point à un autre, des fonctions des coordonnées x^y^ z de ce point. Ils se ré-
( 29) duisent à des constantes si, comme nous le supposerons dans ce qui suit, le système est homogène.
Nous écrirons comme il suit les valeurs des (N, T) :
( N = cp(ai, «2, «3, ^1, ^2, Ô3), j T = ^{au «2, «3, ^1, ^2, 63)»
en nous rappelant que les caractéristiques cp et ^y que nous aflbcterons successivement des indices i, 2, 3, représentent des fonctions linéaires et homogènes.
Le nombre des coeflScients se réduit beaucoup, lorsque le système possède, dans son état naturel, certains éléments de symétrie.
31. Principe de la réduction, — Supposons que le système présente, dans son état naturel, la même disposition par rapport à deux systèmes distincts d'axes coordonnés (S) et (S'). Il est évident que, relativement à (S'), les expressions des (N', T') en [a\ V) doivent être les mêmes que celles des (N, T) en (a, è), relativement
Pour exprimer les conditions que cette identité de forme des fonctions impose aux variables dont elles dépendent, on opère comme il suit :
1** On exprime les (N', T') en fonction des (N, T) par les formules de transformation du n® 15.
2® Dans les expressions ainsi obtenues, on substitue aux (N, T) leurs valeurs (3i)^
3" On remplace enfin les («, è) par leurs valeurs en fonction des (a', V) en se servant des formules de transformation du n"* 26.
Les expressions fournies par ces trois opérations doivent se confondre, quand on supprime les accents, avec les formules (3i) qui donnent les (N, T) en fonction des (a, è).
(3o) Nous allons appliquer cette méthode h quelques cas particuliers.
31. Plan de symétrie. — Supposons d'abord que, dans Tétat naturel, le système soit distribué symétriquement, autour d'un point quelconque M, par rapport à un plan mené par ce point dans une orientation déterminée. Prenons Taxe des x perpendiculaire à ce plan; puis, conservant les axes OY, OZ, remplaçons Taxe OX par son prolongement. Les relations qui lient les (iN', T') aux (N, T) deviennent
T'i = Ti, t; = -Tj, T'3 = -T3.
On a de même, entre les (a, b) et les {a\ b')y les relations
bi=b\, b^ = — b\, bz=-b\.
Donc les relations (3i) doivent rester les mêmes quand on y change à la fois les signes de T2, T3 ; ij, ^3. Il faut, en conséquence, que les coefficients de b^t bit soient nuls dans N< , N2, Nj, T^ et que les coefficients de «4, a27 ^89 bi soient nuls dans T2, T3.
On a ainsi les formules suivantes, qui sont à vingt coefficients,
INi= 'fi(ai,a2, «3,^1), Ti= ^liai^a^j «3, 61), N,= cp2(ai,a2,a3,6i), T2= (^2(^2, ^3), N3= ^3(«i, «2, «3,61), T3 = ^i(b^, 63).
32. Trois plans de symétrie. — S'il y a, au même point M, un second plan de symétrie perpendiculaire à OY, les équations (82) doivent rester les mêmes quand on y change à la fois les signes de T| , T3 ; i| , £3. Cela montre qu'il y a alors nécessairement un troisième plan
(3. ) de symétrie perpendiculaire à OZ, et les formules se réduisent aux suivantes^ qui renferment douze coefficients,
iNi= cpi(ai, «2, «3), Ti = Al 61, N2= ïp2(«l,«2, «3), T2= ^2^2,
7zf, 722, ^^3 désignant des constantes.
On voit que les composantes T^^ To, T3 s'annulent avec ^4, ^29 ^3; îl en résulte que, dans ce cas, les directions des tensions principales se confondent avec celles des dilatations principales,
32. Isotropie. — Pour un système isotrope, les relations (3i) doivent se transformer en elles-mêmes lorsqu'on substitue aux axes coordonnés tout autre système d'axes rectangulaires. Pour simplifier le calcul des conditions qui en résultent, nous attribuerons d'abord aux nouveaux axes certaines directions particulières, en remarquant de plus que les équations (33) doivent déjà comprendre, en particulier, celles qui sont relatives à Tisotropie.
33. Supposons d'abord que l'on permute circulaîrement les axes OX, OY, OZ. Ce changement d'axes produit les substitutions
/Ni, N2, N3, Ti, T2, TsX /ai, a,, a,, b,, b^, b^\ VN2, N3, Ni, Ta, T3, tJ' V«2» «3, «1, h, 63, bj
et les équations (33) doivent alors rester les mêmes.
Il en résulte d'abord que les trois constantes A^, h^^ hz ont une même valeur //, ensuite que N2, Na se déduisent de N en y permutant circulaire ment les varîa-
(30 bles^ de sorte que Ton a
N3= çp(a3,ai,a2), Tj^Aôs.
33. Supposons maînlenant que, conservant l'axe OX, on permute les axes OY, OZ, ce qui change «2, a^ en «3, a2. La valeur de N< devant rester la même, la fonction ^ doit être symétrique en «2» ^3 ^ elle est donc de la
forme
A ai -f- B ( «2 -+- as ),
ce que Ton peut écrire
B(ai H- a2-i- a3)-4-(A — B)ai OU bien
X6-H 2|Jiai,
en désignant par 6 la dilatation cubique et par X, y. deux constantes. Les formules (34) deviennent ainsi
/ Ni = X0 -+- 2 (JLai, Tj r= hbi,
(35) I N2=X0-h2|jiaj, T2=A62,
\ N3= X0-h2|jia3, T3=A63.
34. Supposons enfin que l'on fasse un changement quelconque d'axes coordonnés; on doit trouver les mêmes formes (35) et les mêmes coefficients pour les (N'j T') en fonction des (a', b'); par exemple, on doit avoir
(36) N'i = Xe-4-2fxa'i.
Or, en désignant par a,, ^^^ y^ les cosinus des angles que OX' fait avec OX, OY, OZ, on a (n° 15)
l N; = Niaî+N2p?-i-N3YÎ ^ ^^ l -l-2T,piYi4-2T2Yiai-H2T3ai?i
(33) et l'on a aussî (n® 26)
Cela posé, si Ton porte les valeurs (35) dans l'expression (37), on trouve
N\ = Xe-i-2|ji(aia|-f-a2pÎH-«3YÎ)
-h 2A(6ipiYi + ^âïi^^^i-*- ^saipi),
ou bien, d'après la relation (38), N'i = X6-4-2(Aai -l-2(A — 2|l.)(6lplYl^- 62Yiai-l- ^aaipO- Donc, pour que cette valeur se réduise à l'expression
(36), il faut que Ton ait h — 2jjl = o. Le calcul des
autres (N', T') conduit au même résultat.
35. En résumé, dans le cas des systèmes homogènes et isotropes, on obtient, pour les (N, T), les valeurs suivantes, renfermant deux coefficients constants \^ [jl,
INi = Xô-i-2{Jiai, Ti=2(jl6i, N2= XÔ4-2|Jia2, T2= 2{Jl62,
N3 = Xe -i-2(JLa3; T3= i]^h^,
La méthode qui a conduit à ce résultat repose sur les principes employés par Lamé dans ses Leçons sur la théorie mathémaUque de l' élasticité des corps solides (i856). Les expressions des tensions dans les milieux isotropes déformés ont été données pour la première fois par Cauchy (1827), en calculant directement la résultante des forces intérieures considérées comme fonctions des distances des points entre lesquels elles s'exercent. Cette autre méthode, qui permet de supposer que Tétat primitif ne soit pas ce que nous avons appelé un état naturel, conduit à admettre que, lorsque la déforoiation a lieu à partir de cet état naturel, ou a ). = [Ji, de sorte S. 3
(34) <jue les formules sont à un seul coefficient; mais ce point est encore l'objet de controverses.
36. Expressions des (N, T) en fonction des déplace^ ments u^v^w. — En remplaçant dans les expressions (39) les déformations élémentaires (a, b) par leurs valeurs (16) du n*" 18, il vient
N. = xe-..^g,
[dw dv\
^^-^\-dy^d.y
dy
^ (du dw\ ^^^^Kd-z^Tx)
N3= a6+ i\l -t--, ctz
, Idv du\
et l'on a, dans ces formules,
, , , . du dv dw
Ces valeurs des (N, T) se rapportent à la position du point M après son déplacement, c'est-à-dire au point dont les coordonnées sont x-hu, y-\-K^,z-^w^ mais, quand le déplacement est très petit, on peut, comme nous le ferons dans les calculs qui suivent, rapporter les composantes des tensions au point {x^j^ z).
