INTÉRIEUR POUR LES SYSTEMES ISOTROPES

37. Equations indéfinies, — Les six fonctions (N, T) doivent vérifier les trois équations (5) du n° 9; dans ces équations, les quantités Xq, Yq, Zq représentent, rapportées à l'unité de masse, les forces extérieures qui sollicitent le point M et elles comprennent,

{ 35) si le syslèiue se déforme ou vibre, les forces d'inertie

I 1 d'^u d^v d^w f^ qui ont alors pour valeurs — -j-- y — -j— , -j-^» hn

dégageant les forces d'inertie et représentant encore par Xo, Yo, Zo les composantes des forces extérieures qui agissent sur la masse du point M, les équations (5) deviennent

cTTa „ d^u

dNi dx

dy, dy

p étant la densité du système au point M.

En substituant les valeurs (4o) et en ayant égard à l'expression (4i) de 6, on obtient les trois équations suivantes :

, rfe fd'^u d^u diii\ ^ d^u

, rfe /d^v d'^v d^v \ ,, d'^v

^^Ty-^^\d^^ ^dyi ^Siij-^P^^^^P^'

Tz-^^Kd^^-d^-^-dJ^-r^^'^^-dF'

L'expression dilïérentielle

d^¥ dy? ^ ^ dôc^ ^ dy^ "^ dz^

est ce que Lamé a appelé le paramètre différentiel du second ordre delà fonction F. Nous représenterons ce paramètre par AF, en posant symboliquement

dx^'^ dy^'^ dz^ '

(36) el les équations (43) prennent ainsi la forme simple

(44) ^ (X + jx) — + }xA^' -f-p\o=p ^^,

Ces équations^ dites indéjiniesy sont applicables, indistinctement, à tous les points du système.

38. Equations définies, — - En général, des efforts extérieurs donnés agissent sur la surface du système que l'on considère. Il en résulte de nouvelles équations qui doivent être satisfaites aux limites du corps, c^està-dire sur la surface seulement. On obtient ces nouvelles équations, dites équations définies ou équations à la surface, en écrivant que, pour un point quelconque de la surface limite, l'elFort extérieur s'exerçant sur un élément plan de cette surface a la même grandeur et la même direction que la tension correspondante.

Soient, pour un point quelconque (^x^y^z^ de la surface limite,

F l'effort extérieur par unité de surface ;

/, m, 72 les cosinus directeurs de la force F \

a, p, Y les cosinus directeurs de la normale extérieure à

la surface ; X, Y, Z les composantes de la tension.

Les équations à la surface sont

(37) OU bien, en remplaçant X, Y, Z par les valeurs (7) du n« 10,

(45) I Fm:=T3a-i-N2fi-f-T,Y, ( Fn =T2a + T,p-hN3Y.

Les premiers membres de ces équations, ainsi que a, [3, Y, doivent être considérés comme des fonctions données de X, ^, z. En remplaçant les (JV, T) par leurs valeurs en fonction des 11^ v, «^, spécialement par les valeurs (4o) dans le cas des milieux isotropes, on a trois équations auxquelles doivent satisfaire sur la surface limite les déplacements u, p», w, fonctions de x,/, 2r, t.

Les mêmes fonctions doivent satisfaire, dans tonte retendue du milieu, aux équations indéfinies (44)-

39. Equilibre d^ élasticité, — Quand il s'agit de l'équilibre, les fonctions u, p», w sont indépendantes du temps et les seconds membres des équations (44) sont égaux à zéro.

Si l'on suppose de plus que les seules forces extérieures sont celles qui s'exercent sur la surface du milieu, les quantités Xq, Yq? Zq disparaissent des équations (44) qui se réduisent aux suivantes :

(A-i-(x) ^^ + {aAm = 0,

(46) { (X-f-{x) — H-{xA(; =0,

On a ainsi trois équations différentielles auxquelles satisfont les déplacements u, v, w fonctions de x, j\ z et il s'agit de trouver des solutions de ces équations telles que les équations à la surface (45) soient également satisfaites.

(38) 40. Cas particulier, — Supposons que les déplacements soient les dérivées partielles d'une fonction des coordonnées

d9 d^ dz>

aa? dy dz

On en lire

et, par suite,

" dx^ ^ dy^ ' dz^ *^^' dx dx ' dx

On a donc, dans ce cas particulier,

d^ ^ d^ , rfe

dx dy dz

et, en supposant \ -h 2 [x différent de zéro, les équations (46) se réduisent aux suivantes

dx~~ ^ dy ~ "^ dz~ '

Pour qu'elles soient satisfaites, il faut et il suffit que ladilatation cubique soit constante dans toute V étendue du système déformé.