V. — Exemples d'équilibre

a, — Compression normale et uniforme,

41. Soit un système élastique soumis, sur toute sa surface, à une pression normale et uniforme P. La direction (/, m, n) de cette pression étant opposée à la direction (a, P, y) de la normale extérieure, les équations définies (45) deviennent

/ Pa = N,ofH-T3p-4-T2Y,

(47) -PMTaa-^-N^p-r-TiY,

( — Py = T2a-i-T,?-i-N3Y.

( 39 ) Supposons maintenant que, l'origine des coordonnées restant fixe, les déplacements u^\^^ w soient représentés par les valeurs

(48) w= — ax, v = — a^, w=—azj

a étant un coeflScient à déterminer.

Par ces valeurs, les équations indéfinies (4^) sont évidemment satisfaites^ les T sont nuls et les ]N se réduisent à — (31 4- 2[jl). Donc, pour satisfaire aux équations (47), il suffit de prendre

~ 3X-1- 2[JL

Les déplacements (48) satisfont alors à toutes les conditions de l'équilibre d'élasticité.

b, — Extension longitudinale d*un prisme.

42. Considérons un solide prismatique dont les arêtes soient parallèles à OZ : soit F la traction, rapportée à l'unité de surface, qui agit sur chacune de ses bases. Nous allons vérifier que, dans l'équilibre d'élasticité, les déplacements peuvent être représentés par les valeurs

(49) u~ — aXy v= — ay, w = cz,

a el c étant des constantes convenablement déterminées.

En effet, ces valeurs vérifient d'abord les équations (46)*, de plus, d'après les formules (4o)> elles donnent, pour les T, des valeurs nulles et, pour les N, des valeurs constantes dans toute l'étendue du milieu

Or N,, N2 sont nuls à la surface latérale du prisme et N3

est égal à F sur les bases ^ on a donc les équations

le — ^(X -H {jL)a = o,

(X -h 2|jl)c — îiXa = F,

iroù l*on tire

3X-i-2(x' ' ^ 2 3X-f-2fJL

Avec ces valeurs, les déplacements (49) satisfont à toutes les conditions d'équilibre.

c. — Equilibre d'une couche sphérique.

43. Soit un solide liomogène et isotrope limité par deux sphères concentriques. Ce solide est soumis, sur chacune des surfaces sphériques, à une pression normale et uniforme ; on se propose de déterminer l'état d'équilibre.

Plaçant l'origine au centre de figure, considérons un point quelconque M 5 désignons par x^ j^ z ses coordonnées dans l'état naturel et par rsa distance à Torigine, de sorte que

Les forces appliquées au solide sont évidemment telles que, par suite de la déformation, le point M se déplace sur le rayon mené de l'origine à sa position primitive et la grandeur du déplacement £ est la même 'pour tous les points primitivement situés à la même distance de l'origine. On a donc

(32) Mr=£ — , p=££, «; = £-,

£ étant une fonction de /• à déterminer.