SYSTÈME HEXA-DIÉDRIQUE 017 DU DODÉCAÈDRE PENTAGONAL

Système cubique, à modifications para-hétniédriques.

CAAACTÉRE MY8IQUB DBS AXBS.

trois axes rectangulaires* 1s0f0laires, bilatéraux (a*). forme représentative de la molécule : le dodécaèdre pentagonal (fig. 20, pi. I).

Dans ce système, le cube fondamental (fig. 39) se comporte comme si les lignes ou files moléculaires 66, 6' 6', qui, sur la même face, sont parallèles aux arêtes et d'égale longueur, n'étaient pas physiquement identiques, et qu'en outre les lignes de même valeur 6 6, 66, ou 6*6', 6*6', sur deux faces adjacentes fussent à angles droits l'une sur l'autre. Il suit de là que le cristal n'est pas symétrique à l'égard du plan diagonal qui passe par deux arêtes opposées; que, par conséquent, la droite et la gauche de chaque arête ne sont pas semblables, et que la modification d'un bord ou d'un angle considéré à part aura lieu généralement comme si ce bord ou cet angle faisait partie d'un prisme rectangulaire à côtés inégaux. La notation qui convient à cette symétrie est celle de la figure 39, où chaque arête est représentée par les deux lettres 6 et 6', placées l'une à droite et l'autre à gauche. Les cubes qui appartiennent au cas dont nous parlons, sont fréquemment dans la nature striés sur leurs faces dans des directions parallèles aux lignes 66, ou aux lignes 6' 6', mais jamais aux deux sortes de lignes à la fois; il en résulte qu'il n'y a de stries pour chaque face que dans un seul sens, et que sur les trois faces adjacentes d'un même angle solide, les stries se croisent à, angles droits, comme le montre la figure 4<>.

A raison de la symétrie qui lui est particulière, le cube, dans ce système, n'est susceptible que d'un seul genre de modification

I %L UVAB I. CHAWWE IV.

simple sur les arêtes» et de deux genres de modifications amples sur les angles,

i° 5wr fes arêtes. Le cube (fig. B9) ne peut être modifié que par une seule facette, qui sera généralement inclinée d'une ma- - tttére inégale sur les deux faces adjacentes. Si 4a facette penche plus du côté 6 que du côté 6\ on a la modification fig. 4 1, et les nouvelles facettes, au nombre de douze, étant prolongées jusqu'à ce qu'elles s'entrecoupent, donneront Yhexa-dièdre ou dodécaèdre penlagpnal (fig. 4*). Ce solide est composé de douze pentagones égaux et symétriques, ayant deux sortes de côtés, savoir : un côté unique c, base du pentagone, et quatre côtés égaux b; les angles plans sont de trois espèces : l'angle opposé à la base est unique, les deux angles adjacents à la base sont égaux entre eux, ainsi que les deux autres angles intermédiaires (1).

£t la facette modifiante est inclinée de la même quantité, mais en sens contraire, de manière qu'elle penche plus du côté de 6' que du côté de b\ on a un nouveau dodécaèdre pentagonal, entièrement semblable à celui de la figure 4^, mais tourné* par rapport à lui de 900 autour de l'axe qui passe par les milieux de deux arêtes c opposées. La combinaison de ces deux dodécaèdres, placés comme nous venons de le dire, à angle droit l'un sur l'autre, donnerait Yhexa-tétraèdre (fig. 6) ; ainsi, le dodécaèdre pen-

(1) Si la cristallisation ne reconnaissait d'autre lot que la loi de symétrie, en pourrai*, en faisant varier arbitrairement l'inelinaison des laces du dodécaèdseà l'endroit des arêtes a, obtenir une infinité de ces solides qui tous seraient également possibles; mais, on Ta tu, il existe une seconde loi, d'après laquelle les faces de toute forme secondaire doivent couper les arêtes de la forme fondamentale dans des rapports simples et rationnels. Cette loi, qui réduit à un trèspetit nombre les espèces de dodécaèdres qui peuvent dériver du cube, donne les moyens de les calculer ou de les connaître a priori, puisqu'il ne faut pour cela que chercher ceux que l'on obtiendrait du cube, en le modifiant par les lois les plus simples de troncature. Cette remarque peut servir à expliquer somment on n'a encore observé jusqu'à présent que fort peu de solides de ce genre, et pourquoi il en est un qui se montre beaucoup plus fréquemment que les autres, et qui seul s'est offert isolé ; ce dodécaèdre est celui que quelques cristallographes ont appelé pyritoèdre, parce qu'il est la forme ordinaire et caractéristique de la pyrite commune : il dérive du cube par la loi la, pms simple possible, après celle qui donne le dodécaèdre rhomboidal, ses faces coupant les arêtes du solide fondamental dans le rapport de 1 à 2.

On pourrait se demander si, parmi tous les dodécaèdres pentaçonaux qui sont possibles, ne se rencontrerait pas, comme cas particulier, le dodécaèdre régulier de la géométrie. Haûy a montré par le calcul, que ce solide ne pouvait pas être produit de cette manière, parce qu'il ne pourrait être dérivé du cube que par une modification dont les plans couperaient les arêtes de cette dernière forme dans un rapport irrationnel.

BTUD» DES SWrètfES CHISrrâLUNS. ia5

tagonal ou Fbexa-dièdre est une formé hémtédrique à l'égard de l'hexa-tétraèdre, et cette propriété est indiquée par les déno* ninations que bous avons adoptées pour désigner les deux solides*

pans le cas particulier où la facette modifiante s'inclinerait également sur les deux faces adjacentes, on aurait pour forme secondaire un dodécaèdre rhomboïdalt que l'on peut considérer comme la limite des deux séries de dodécaèdres pentagonaux, résultant de la variation d'inclinaison de la facette, d'abord dans un sens, et ensuite dans le sens opposé.

On connaît plusieurs hexa-dièdres , dont deux dérivent

d'hexa-tétraèdres connus, savoir, des hexa-tétraèdres dont les

signes sont : (a: 2a: 00 a) et la: a-.ooai, ou bjen b\ b%.

Le premier, qui est le plus simple de tous par sa loi de dérivation, se rencontre le plus fréquemment, et il est le seul qui se présente isolé dans la pyrite commune et dans le cobalt gris. On lui a donné le nom de pyrkoèdre, du mot pyrite, parce qu'il est la forme la plus ordinaire de ce minéral. Ses angles dièdres, correspondant aux arêtes c et 6, sont de 1260 5a' et 1 13° 35'. Les autres bexa-dièdres, qu'on a aussi appelés pyritotdes, ne se montrent qu'en combinaison, le plus souvent avec le cube et le pyritoèdre, dont ils ne se distinguent que par la différente inclinaison de leurs faces sur celles du cube. . "

20 Sur les angles. La modification peut avoir lieu, ou par une seule facette également inclinée sur les trois faces de l'angle» ou par trois facettes seulement, le cas de six facettes étant exclu, du moins comme modification simple j par la symétrie particulière au cube dans le système dont il s'agit ici. La modification par une facette donnera, comme dans le système cubique proprement dit, un octaèdre régulier.

Bans la modification- par trois facettes, celles-ci som généra* lement- situées de biais, coupant inégalement les trois arêtes de Angle du cube, et s'inclinant par conséquent d'une manière inégale sur les trois faces de cet angle, mais toutes tournées dans le même sens* comme on le voit fig. 43; ces facettes, prolongées joiqufr s'entrecouper, donneront un solide particulier (fig. 44) à»v*ig*quau* faces trapézoïdale*, non* symétriques, ayant trois sottes cPanètéê bcd. Ce solide présente Papparence d'un dodécaèdre pentagone!, dont les faces auraient été brisées ou pliées en deux moitiés symétriques et relevées en ferme de coin : son

136 LiyHE I. GHAPITBB IV.

principal caractère étant donc d'avoir douze coins ou angles dièdres égaux c, c, correspondant aux faces d'un dodécaèdre pentagonal, nous le nommerons, à cause de cela, dodéca-dièdre.

Les facettes modifiantes, que nous avons placées de biais sur chaque angle» et qui s'inclinent toutes dans le même sens, pourraient être disposées en sens contraire autour de l'angle avec les mêmes inclinaisons que dans le cas précédent : on aurait alors un second dodéca-dièdre , tout-à-fait semblable au premier, et qui n'en différerait que par sa position; il suffirait de faire tourner l'un de ces solides de go° autour de la verticale , pour qu'il coïncidât avec l'autre.

En combinant entre eux ces deux dodéca«dièdres dans les positions relatives que leur donne le procédé de dérivation, ou aurait, comme forme composée, un solide à quarante-huit faces triangulaires, semblable à celui de la .figure i4, ou un dodécatétraèdre. Le dodéca-dièdre est donc une forme hémiédrique, par rapport au dodéca-tétraêdre.

On connaît trois espèces de dodéca-dièdres , dont deux se présentent plus fréquemment, soit à l'état de combinaison, soit même isolément : nous nous bornerons à citer ces deux espèces, qui dérivent par hémiédrie des deux dodéca- tétraèdres cités p. 1 1 5, et dont les signes sont

(a:4-a:-fa)'et(a:-Ta:Ta)'

Les valeurs des angles dièdres, en b, c et d, sont : pour le premier, représenté figure 44> *4I°47,> '49°» 'et n5°23'; pour le second, i3i°49% 1 54° 47% et ia8°i5'%. On les a observés isoles dans les pyrites du val de Brosso en Piémont, dans celles de File d'Elbe , et de Presnitz en Bohême. Le second dodéca-dièdre a cela de particulier, que ses faces ne sont pas seulement des trapézoîdesjrréguliers, mais qu'elles s'offrent sous l'aspect de véritables trapèzes, l'arête c étant parallèle à l'arête opposée 6.

Le premier se présente le plus souvent en combinaison, soit avec le cube, soit avec l'octaèdre ou le pyritoèdre. Dans la figure 43, on voit le dodéca-dièdre former sur les angles du cube, des pointements à trois faces situées de biais, et inclinées toutes dans le même sens. Quelquefois il forme des pointements ana-. logues, sur huit angles du pyritoèdre (fig. 48). Dans d'autres cas, il forme sur les six angles de l'octaèdre, des pointements à quatre faces, qui sont des triangles scalènes.

ÉTUDE DBS SYSTÈMES CRISTALLINS. IHJ

Si l'on suppose que dans la figure 43 , qui représente la combinaison du cube et du premier dodéca-dièdre, les facettes trapézoïdales prennent successivement une extension plus grande, il arrivera un moment où les six faces du cube se réduiront. à des rhombes égaux, comme on le voit figure 45, et les premières facettes, quoique étant toujours des trapézoïdes irréguliers, approcheront cependant assez de la figure rhomboïdale , pour qu'on puisse croire, à la première vue, qu'elles sont égales et semblables aux six autres faces; c'est en effet ce qu'avait pensé Rome de l'Isle, qui l'avait prise pour une forme simple; mais ce solide à trente faces , et qu'on a appelé triacontaèdre, n'a pas la symétrie qu'il lui supposait. Il existe cependant en géométrie, comme l'a fait voir Haiïy, un triacontaèdre symétrique, terminé par trente rhombes égaux; mais il n*est pas plus possible en cristallographie que le dodécaèdre régulier, dont il serait un des dérivés les plus simples, car on l'obtiendrait en modifiant ce dodécaèdre par une seule facette tangente sur toutes ses arêtes.

Quoique les facettes de la modification (fig. 43) coupent généralement d'une manière inégale les trois arêtes de l'angle, cependant il peut arriver, comme cas particulier, que les sections soient égales pour deux arêtes du cube, ce qui assimilera la modification à celle qui a lieu dans le système cubique proprement dit; et comme les facettes modifiantes peuvent avoir leur plus forte inclinaison, soit du côté des arêtes, soit du côté des faces, on aura, comme dans le système cubique, deux cas à considérer: dans le premier cas, on aura, pour forme dérivée, un octa-trièdre (fig. 1 2); dans le second, un trapézoèdre symétrique (fig. io).

En résumé , Ton voit que toutes les formes du système cubique proprement dit peuvent se rencontrer à titre de formes simples ou de formes composées, dans le système hexa-diédrique, avec d'autres formes qui sont propres à ce dernier. Les formes propres et caractéristiques du système hexa-diédrique sont : le dodécaèdre pentagonal, et le dodéca-dièdre ; les autres formes simples du système sont : le cube, Y octaèdre, le dodécaèdre rhomboïaaiy le trapézoèdre, et Yocta-trièdre. Le nombre total des formes simples est donc de sept, comme dans les deux premiers systèmes. Les deux formes hémiédriques, propres au système hexadiédrique, ont des faces parallèles deux à deux, ce qui les distingue des formes hémiédriques propres au système tétraédrique. Si chacun de ces deux groupes de formes hémiédriques peut coexister séparément avec toutes les formes du système cubique

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proprement dit, ils ne sauraient exister ensemble dans le même minéral, parce qu'il» ont une symétrie différente ; ils appartiennent donc à des systèmes bien réellement distinct* (i)«

Si Ton prenait pour forme fondamentale du système kexa» diédrique, une des deux formes propres à ce système* par exem* pie rbexa-dièdre ou dodécaèdre pentagonal, on pourrait alori en faire dériver le système tout entier par des modifications toutes holoédriques , c'est-à-dire par des modifications rrf* glées sur la symétrie purement géométrique de la forme, ainsi que nous l'avons déjà fait voir pour le tétraèdre dans le système précédent. La figure 47 représente le dodécaèdre fondamental» avec la notation qui lui convient. Ce solide a huit angles A for*» mes d'angles plans égaux; douze angles E irréguliers; six arêtes égales C, et vingt-quatre arêtes égales bb\ Tout étant symétrique de part et d'autre des arêtes C, ces arêtes pourront recevoir deux espèces de modifications simples, savoir : une modification par une seule facette, et une modification par deux facettes à la fois. Mais il n'en est pas de même des autres arêtes bb\ quoique les faces qui y aboutissent soient égales entre elles* ces faces n'étant pas symétriquement placées à droite et à gauche de chaque arête ; elles ne recevront donc qu'une seule facette par modification simple. Enfin, les angles A, quoique formés d'an* gles plans égaux* ne comporteront pas d'autres modifications simples que celles qui ont lieu par une, ou par trois facettes : la modification par six facettes n'existant pas pour eux comme mo* dification simple, parce que les trois pentagones qui composent l'angle A n'offrent pas la même disposition autour du sommet, quand on les compte de droite à gauehe, ou bien dans le sens contraire.

Bornons-nous à indiquer succinctement ici les résultats que Pon obtiendrait en appliquant la méthode «tes troncatures à la forme fondamentale, fig. 47. La modification des angles A par une facette également inclinée sur les trois faces de l'a»gl# (fig. 48) eondatrait à l'octaèdre régulier; fat combinaison de l'oo taèdre et du dodétaèdre pentagonal donne un solide à vingt

(1) J'ai dit, p. 94 : Un habile oristallogfapht allemand, après a?oir roman» que que les formes hémiédriques à faces inclinées, et celles qui ont des laces parallèles, n'ont jamais été observées ensemble, avait paru s'étonner de ce fait* la rata» en est cependant «en frotte a apercevoir : c'a* qu* cm deux sentes de formée sent déterminées par des conditions différentes de symétrie, quH paraît difficile de concilier dans un seul et même type. (Voyei G. Rose, JEfemente der Kryst. p. 49; Berlin, 1833.)

faces, que l'on nomme icosaèdre. Dans la figure 48» qui représente cette forme composée, les faces du dodécaèdre sont dominantes : mais si Ton tronque plus profondément les angles A, les facettes triangulaires, qui répondent aux faces de l'octaèdre, et qui sont éqtiilatcrales, prendront une plus grande étendue aux dépens des faces du dodécaèdre, et celles-ci finiront par se réduire à des triangles isoscèles, comme on le voit fig. 46. L'icosaèdre dont il s'agit peut donc être considéré comme composé de vingt faces triangulaires, dont huit sont équi latérales, et les douze autres seulement isoscèles; il diffère par conséquent de Ficosaèdre de la géométrie, dont toutes les faces sont égales et régulières (j).

La modification des arêtes C par une facette (fig. 49) mène au cube ; les angles E, modifiés par une seule facette (fig. 5o), donneront pour forme dérivée un solide à douze faces, qui sera un nouveau dodécaèdre pentagonal. D'autres dodécaèdres de la même espèce résulteraient évidemment de la modification des arêtes G par deux facettes, également inclinées de part et d'autre de ces arêtes. Dans la série des dodécaèdres que l'on peut ainsi obtenir, en faisant varier les inclinaisons des facettes modifiantes, se trouve compris comme cas particulier le dodécaèdre rhomboïdal.

Enfin, la modification des douze angles E, chacun par deux facettes (fig. 5i), et celle des huit angles A, chacun par trois facettes (fig. 5 a), produiront toutes deux des dodéca-4'èdres, parmi lesquels pourront se rencontrer, comme cas particuliers, des trapézoèdres symétriques et des octa-trièdres.

On ne connaît encore que deux espèces minérales dont les formes se rapportent bien évidemment au système hexa-diédrique. Ce sont : la pyrite et la cobaltine (ou cobalt gris). Des raisons qui seront développées ailleurs tendent à faire croire que la disoroose (ou nickel gris) et l'antimon-nickel (aalimpine sulfuré nickélifère), que Ton n'a trouvés que très-rarement à l'état cristallin, rentreront dans ce système, lorsque la liste de leurs variétés de formes sera plus complète.

(1) Llcosaèdre régulier est exclu des systèmes dont le cube tait partie, par la même raison que le dodécaèdre régulier et le triacontaèdre à laces égale*. Le genre de symétrie qui lui appartient est, en effet, celui de ces deux derniers solides; et, de même que le triacontaèdre résulte de la troncature tangente des arêtes du dodécaèdre régulier, de même l'icosaèdre est donné par la troncature tangente des angles de ce solide.

Coun de Minéralogie. Tome I. 9

i3o livre* i. CHAPITRE IV.