SYSTÈME TÉTRAÉDR1QCE

Système cubique, à modifications anti-hémiédriques.

OAMAOTËBB MYSIQOTB MU AXBS.

TROIS AXES RECTANGULAIRES, ISOPOLAIRES BT QUADRILATÉRAUX, A COTÉS ALTERNES (1A1). POEME REPRÉSENTATIVE DE LA MOLÉCULE : LE TÉ- TRAÈDRE régulier. (Voyez fig. 19, pi. I.)

Dans ce système, les modifications qui ont Heu sur le ctfbe, considéré comme forme fondamentale, sont les mêmes que précédemment, en ce qui concerne les arêtes ; mais le nombre des facettes qui se produisent sur les angles est réduit de moitié, parce que les huit angles solides, quoique géométriquement égaux, ne sont physiquement identiques que quatre à quatre, les angles opposés diagonalement étant de valeur différente. La notation qui répond à cette espèce de symétrie est celle que Ton voit fig. a 3, où la lettre A désigne les angles d'une espèce, et la lettre a ceux de l'autre espèce. Les diagonales A A et a a d'une même face, quoique d'égale longueur, n'ont pas la même valeur physique, parce qu'elles aboutissent à des angles différents ; aussi remarque-t-on que les cristaux cubiques, qui appartiennent à ce système, sont quelquefois striés diagonalement, et seulement dans le sens des diagonales d'une même espèce, comme on le voit fig. 28.

Les deux modifications sur les arêtes du cube, fig. 23, donne* ront les figures 4 et 6 du système précédent, c'est-à-dire le dodécaèdre rhomboïdal et Phexa- tétraèdre.

Quant aux modifications sur les angles, il faut considérer à part celles qui peuvent avoir lieu sur les angles A, et celles qui peuvent se produire sur les angles a.

Le cube fig. 23 peut être modifié sur chacun des angles A : i°par une seule facette, comme on le voit fig. 24 ; cette modification produira quatre faces, qui, prolongées jusqu'à s'entrecouper, donneront le tétraèdre réyulier (fig. 26), forme hémiédrique à l'égard de l'octaèdre régulier. Ses angles dièdres sont de 7o°32\

20 Par trois facettes tournées vers les faces du cube : la modification totale sera représentée par la figure 9, moins les groupes de

éTUDK DBS SYSTÈMES CRISTALLINS. I ig

facettes qui répondent aux angles a; et par conséquent la forme simple résultante sera une forme hémiédrique du trapézoèdre (fig. 10). Cette forme, que Ton voit fig. 36, est composée de douze triangles égaux et isoscèles ; elle ressemble à un tétraèdre dont les faces seraient surmontées de pyramides droites triangulaires (tétraèdre pyramide) ; et parce que ces douze triangles se partagent visiblement en quatre groupes semblables et symétriques, chacun de trois triangles, nous donnons à cette forme le nom de tétra-trièdre.

On connaît deux espèces de tétra-trièdre, qui dérivent des deux trapézoèdres les plus simples et les plus ordinaires, savoir; du leucitoèdre (a a: si a: a), et du leucitoïde ou second trapézoèdre (3 a : 3 a : a). Voyez ci-dessus page 1 1 4* Les inclinaisons de leurs faces sont : dans le premier, iog° 28' et i46° 27 ; et dans le second, iag°3i9 pour les deux espèces d'arêtes solides. Ce dernier est donc remarquable par cette particularité, que ses angles solides à six faces sont des angles réguliers. Le premier tétratrièdre existe seul dans le cuivre gris de Clausthal ; le second ne se rencontre qu'en combinaison, dans les cristaux de blende de Kapoick, en Hongrie.

3° Par trois facettes tournées vers les arêtes : il faudra, pour se représenter cette modification, supprimer dans la figure 1 1 les groupes de facettes qui répondent aux angles «, La forme résultante sera donc l'octa-trièdre (fig. 12} réduit à 4a moitié du nombre de ses faces, ou le solide représenté fig. 34, et qui est un dodécaèdre trapézoïdal, un trapézoèdre à douze faces.

Ce solide a deux espèces d'arêtes : douze plus aiguës et plus longues X, et douze plus obtuses et plus courtes Y. Les angles solides sont de trois sortes. On ne connaît jusqu'à présent qu'un seul trapézoèdre de ce genre, et c'est celui qui dérive par hémiédrie du troisième des octa-trièdres cités page 11 4» savoir: de Focta-trièdre, dont le signe est (2a: 2a: 3 a). Il ne s'est point encore présenté isolément, mais en combinaison, dans les cristaux de cuivre gris de Dillenburg.

4° Par six facettes sur tes angles : cette modification donnera la moitié du dodéca-tétraèdre (fig. i4), ou le solide représenté fig. 38; ce solide, éomposé de vingt-quatre triangles scalènes, qui forment quatre angles solides hexaèdres, portera le nom de tébrahexaèdre. C'est le scalénoèdre du système tétraédrique.

Les arêtes de ce solide sont de trois sortes, ainsi que les angles. On ne connaît jusqu'à présent que deux espèces de létra-

I30 JblVRE I. €84ttTRE IV.

hexaèdre, «avoir : celles qui dériveraient par hémiéàtie des dodéca-tétraèdres dont les signes sont : (a : — a :-— a V et

Ia : — r-a : -— a Y Ces deux espèces sont caractérisées par cette

propriété, que les angles dièdres en Y et en Z (fig. 38) sont égaux, «et par suite, que les angles solides O sont réguliers.

Maintenant, les modifications sur les angles a, n'étant évidemment que la répétition de celles qui ont lieu sur les angles A, reproduiront les mêmes formes, mais dans une position inverse ; et parce que les modifications sur les deux sortes d'angles, quoique indépendantes, peuvent exister simultanément, en vertu du principe général des combinaisons, chaque forme directe pourra se combiner avec son inverse, et redonner ainsi la forme complète dont elle a été dérivée par hemiédrie. On aura ainsi un octaèdre régulier par la combinaison de deux tétraèdres, un trapézoèdre par la combinaison de deux tétra-trièdres, un octa-trièdre parla •combinaison tk doux dodécaèdres trapézoïdaux, et un dodécatétraèdre parla combinaison de deux tétra-hexaèdres.

En résumant ce qui précède, on voit que toutes les formes du système cubique proprement dit peuvent se rencontrer dans le système tétraédrique, avec d'autres formes qui sont exclusivement propres à ce dernier. Les formes propres, et par conséquent caractéristiques de ce système, sont : le tétraèdre, le tétrafrièdre, le dodécaèdre trapézoïdal, et le télra-hexaèdre. Ces quatre formes caractéristiques ont pour caractère commun de ne pofnt «voir de faoes parallèles. On remarquera que parmi les formes communes aux deux systèmes, il en est que Ton ne saurait obtenir dans le second que par la combinaison de deux modifications différentes, et qu'on ne peut pas par conséquent considérer comme des formes simples : tels sont l'octaèdre régulier, le trapétoèdre, l'octa-trièdre et le dodéca-tétraèdre. Ainsi, ces formes, qui sont simples dans le premier système, sont ici de véritables combinaisons ou formes composées. Les seules formes qui soient 'simples dans Je système tétraédrique , sont les suivantes , au nombre de sept, comme dans le système précédent: le tétraèdre, Je tétm-trièdre, le cube, le dodécaèdre trapézoïdal, le dodécaèdre fhomboïdal, Y hex a-tétraèdre et le tétra-hexaèdre. — Rappelonsnous encore ce que nous avons dit ailleurs, que les formes corn- ' munes à deux systèmes de même genre diffèrent toujours par leur structure et leur caractère de symétrie, et qu'ici, par exemt

ixuum dbs awsèuBs cristallins. 121

fie, toutes cas formes doivent avoir, malgré l'apparence eontsaire, ie caractère faéœiédrique. C'est ce que nous voyons pour le cube, quand noue le prenons pour forme primitive du système. Ce sont -ces différences essentielles qui établissent l'individualité et f indépendance du système cubo-tétraédrique.

Si l'on prenait pour ferme fondamentale, une autre forme que le cabe, mais qui fat, comme celle-ci, commune au système tétraédrique et au système cubique, oa serait encore obligé d'assigner à oette forme type une symétrie différente de celle qu'elle -avait dans le premier système ; mais, toute considération, d%émiedrie disparaîtrait, si l'on adoptait pour point de départ une des formes propres au système, le tétraèdre par exemple: dans oe cas, «'est par des modifications holoédriques, en rapport avec la symétrie complète on purement géométrique de ce solide, que l'on parviendrait à en faire dériver toutes les autres formes du système. Il ne sera pas inutile d'entrer ici dans quelques développements à oe sujet.

La figure a5 représente le tétraèdre fondamental avec sa notation. D'après la nature dé ses parties terminales, il est facile de voir que les modifications qui peuvent avoir lieu sur chaque angle ou chaque arête, sont en même nombre et de mêmes sortes que celles que le cube nous a présentées dans le premier système; il y aura donc deux modifications pour les arêtes et quatre pour -les angles.

Le tétraèdre modifié sur les arêtes par une seule facette(fig. 27) donne le cube (fig. a8), que l'on a représenté strié parallèlement aux arêtes du tétraèdre générateur. Modifié sur les mêmes arêtes par deux facettes (fig. 39), il passe au tétra-trièdre (fig. 3o). Le cube de la modification précédente n est qu'une limite ou un -cas particulier du tétra-trièdre, dont il conserve le caractère de symétrie tétraédrique.

Le tétraèdre modifié sur les angles par une facette (fig. 3i) reproduit le même tétraèdre dans une position inverse, et la combinaison des deux tétraèdres donne l'octaèdre régulier (fig. 3a).

Une modification sur les angles par trois facettes correspondantes aux faces primitives (fig. 33) donnerait le dodécaèdre trapézoïdal (fig. 34)* V*h dans un cas particulier, devient trn dodécaèdre rhomboïdal ; ce eas a lieu lorsque chaque trapésoide a une égale inclinaison sur les faces du tétraèdre fondamental et sur celles du tétraèdre inverse (fig. 3i), ou, ce qui est la même chose, sur les faces adjacentes de l'octaèdre (fig. 3aJ.

122 LIVRJS 1. CHAPITRE IV.

Lorsque la facette modifiante est inégalement inclinée sur les faces de l'un et de l'autre tétraèdre, le solide dérivé est toujours un dodécaèdre trapézoïdal,* et comme l'inclinaison la plus forte peut avoir Heu soit sur le tétraèdre direct, soit sur le tétraèdre inverse, on peut obtenir, par deux modifications du même genre, deux dodécaèdres trapézoïdaux exactement pareils, l'un en position directe, l'autre en position inverse. Ces deux dodécaèdres réunis donneraient l'octa-trièdre (fig. 1 2).

Une autre modification sur les angles par trois facettes, posées sur les arêtes, comme on le voit fig. 35, produirait un tétratrièdre (fig. 36) semblable à celui de la figure 3o, mais dans une position renversée. De la combinaison de ces deux tétra-trièdres, réunis entre eux dans les positions relatives que leur donne la dérivation, résulterait le trapézoèdre symétrique à vingt-quatre faces (fig* 10).

Enfin, la modification des angles par six facettes (fig. 37) produit en général un tétra- hexaèdre (fig. 38), qui, dans une circonstance particulière (savoir, lorsque les facettes modifiantes sont également inclinées sur les faées des tétraèdres direct et inverse), se change en un h exa- tétraèdre (fig. 6). Dans le cas général d'une inégale inclinaison sur les deux tétraèdres, comme l'inclinaison la plus forte peut avoir lieu soit sur l'un, soit sur l'autre, il est possible d'obtenir par deux modifications du même genre deux tétra-hexaèdres égaux, mais l'un en position directe, et l'autre en position inverse. La réunion de ces deux tétrahexaèdres donnerait le dodéca-tétraèdre (fig. i4).

Le tétra-hexaèdre est une forme hémiédrique relativement au dodéca-tétraèdre; il peut lui-même se résoudre en deux autres formes hémiédriques, par le prolongement de ses faces prises par moitié et d'une manière alternative, sur chacun des angles à six* faces. Quelques auteurs indiquent ces formes hémiédriques de second ordre (ou formes tétartoédriques) comme étant des dodécaèdres pentagonaux semblables à celui de la pyrite; mais Mohs a fait voir que ce sont en général des dodécaèdres pentagonaux à faces non symétriques, ayant l'aspect du tétraèdre dont ils dérivent. Leurs faces sont des pentagones irréguliers à trois sortes d'arêtes a, a; 6, 6; et c. Ce n'est que dans des cas particuliers que les arêtes a et & deviennent égales, et que le dodécaèdre prend l'apparence de l'hexa-dièdre, dont il sera question ciaprès. Ces dodécaèdres à faces non symétriques ont été décrits par Mohs sous le nom de dodécaèdres pentagonaux tétraédriques.

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Us n'ont point été observés parmi les cristaux naturels. Mais nous avons dit (p. 94) que M. Rammelsberg les avait rencontrés dans la série cristalline du chlorate de soude.

On ne connaît que six espèces minérales dont les formes se rapportent au système tétraédrique, ce sont : la boracite, la blende, Fhelvine, le cuivre gris, la pharmacosidérite et le wismuthblende ou bismuth silicate.