CHAPITRE III

DES LOIS AUXQUELLES SORT SOfJMI&ES LES FORMES CRISTALLINES.

$ i . Principe de la variation des formes dans la même espèce.

Passons maintenant à l'exposition des faits principaux, qui concernent l'étude des formes cristallines. Un résultat d'observation, connu depuis longtemps, c'est que dans la même espèce minérale, les formes cristallines peuvent varier à Cinjini.

On avait déjà remarqué que la nature des formes pouvait servir à établir une différence générale entre les corps, inorganiques et les corps organiques. En effet, dans ceux-ci les formes sont généralement arrondies; dans ceux-là, au contraire, elles sont angulaires, et terminées par des droites et des plans, de manière que la ligne droite paraît caractériser les minéraux, et la ligne courbe, les animaux et les plantes.

La diversité des formes , dont une même substance est susceptible, établit un nouveau contraste entre les minéraux et les êtres organiques. Dans les végétaux, par exemple, les divers in-

7t wa* lt chamtm H*.

dUvidu? d'un* m^ms espfeço portât <Yi4jBamftPt l'empreint** 4'un mode]e. commun, sur lequel ils semblent avoir «M lr*v^iU^fi ?> au milieu, de quelques variatiops llgérçs et accidentel^, fe. type primitif su^te toujours 1^ uifeme mMr«l, ai* contr**?** *f prévoit souveut çoiW W9 multitude 4$ ft>*0*e$ cristallin^* dtffàreute*,, toutes également raguU*res » et do«t la plupart p*n raissent, au premier abord, n'avoir aucun fr^it de re^emhlança eatjçe çlle*. Par exemple, «i un minéral offa» sou* l'we quelconque dea former repr4genté>4 par Je* figure* j k iq, jpkn» çhe IV, il pourra *e rencontrer sous toute* les autre*, ta çak çair« ^paihiquQ qft couvent criataUiaé wus la forma d'u* rharn^ bpèdre ($g. 6oJ, mais qu l'obsftrvç au^j spus la forme d'»B *P*léïKrèdr# (% 74)' s01** sdle dun Prôttt Ueaagonai pépJwp (% 67), et aouç une multitude d'autre*. U est. des espèce» daiift ^quellçs le nombre de? formes cristallines, faurnifi* par l'ahr* servation, s'élève à plusieurs centaines; et si l'oq avait égard» non-seulement aux formes observées jusqu'à ce moment, mais encore à toutes celles qui sont reconnues possibles en théorie, c'est par milliers et par millions qu'il faudrait les compter. Mais il en est ici des formes cristallines, comme des combinaisons dans la chimie minérale. La nature, qui a réglé par des lois les unes et les autres, s'est encore imposé de nouvelles restrictions» en ne réalisant parmi Les résultats de ces lois» qui sont théoriquement possibles, que ceux qui satisfont à la condition d'être extrêmement simples. Cependant, tout en restant dans lçs limites de la plus grande simplicité*, on peut dire encore que le nombre des formes réellement observables dans une seule espace minérale, est de plusieurs centaines. A quoi tieat cette prodigieuse multiplicité de formes? à des causes que nous allons, exposer dans un instant.

Mais auparavant, nous devons prévenir une objection que Ton pourrait tirer de cette circonstance, contre l'importance de la forme en minéralogie. Si, au lieu de subir une pareille variation, la forme cristalline se montrait constante dans tous le$ minéraux de même espèce, et ne changeait que d'une espèce k Une autre, il est clair que, de l'observation de cette forme, on> pourrait tirer un caractère véritablement spécifique, comme on, fait, dans les règnes organiques, de la forme extérieure des, plantes ou de* animaux. En zoologie, par exemple, tous les individus d'une même espèce se ressemblent tellement par leur for-mç, que, qui a vu l'un da ces individus, peut se représenta?

lois m mm cwsimaipks. 7$

Ttaptoe ton* enivre, En minéfalogie» il ne parait pas qu'il piutae en être de arême, puisque chaque espèce. Au lie» d'offrir un* forme inique» nous présente une multitude de formes» en apparence fa** différentes» Et cependant, nous verrons bientôt qmKot>*erv3UGtt deebaque forme individuelle a le même degré «Vîmportenge que si elle était invariable» et par conséquent uni* que dens l'espèce. C'est que ces formes» si dissemblables, eu postier, ' 4>Q*d, lussent epercevoû? à an «il attentif ««ne si par* JgM* analogie entre «Mes, el des liens si étroits, que Ton en vient bientôt à ne wir en elles qne de légères modifications d'un fltàme type, et à les confondre dans l'esprit en un. seul tout, que cbçcune de ees formas rappelle et représente à aon tour. Ainsi 49*4* melgr-é les métamorphoses sans nombre qu'elle subit, la forme régulière d'un minéral semble rester toujours la mémo, et Ton retrouve ici le cacbet ordinaire des œuvres de la nature, l'unité dans la variété.

Nous avons dit que la multiplicité des formes cristallines dans la même substance minérale, tenait à plusieurs causes que nous ferions bientôt connaître. Elle provient: i°.dece que, dans le inéme minéral, il y a un nombre plus ou moins considérable de formes simples d'espèces différentes, qui ne se distinguent que par la valeur particulière de leurs angles, et se rapportent 4 un. même genre, ce qui fait que ces formes spéciales ont reçu une même dénomination générique. Ainsi, dans le calcaire spaths que, il y a plusieurs espaces de rhomboèdres (i), plusieurs es* pèces de scalénoèdres, etc,

a° De ce qu'il y a ensuite plusieurs genres distincts de fornie* simples, plusieurs genres de formes, qui diffèrent par la figure, le nombre ou l'assortiment des faces qui les composent ,* par exemple , dans le calcaire : le genre rhomboèdre , le genre scaté-~ noèdre, le genre prisme hexaèdre, etc. C'est, comme on le voit, le nom seul qui distingue le genre d'une forme, tandis que son çspèce se détermine par la valeur particulière de ses angles.

(1) Bans le minéral que nous citons, on connaît un premier rhomboèdre, (tant l'angle dièdre, prit Yen les sommets, est de 105» 5' ; un second dont l'an* gis est de 78° 51'; un 3e dont rangle est de 134° 57'; un 4« dont l'angle est de» 65» 50', etc. L'existence des formes de même genre, qui présentent des valeurs d'angles différentes, n'est point contradictoire avec le principe de la constance des angles dans chaque forme spéciale. Chacun de ees rhomboèdres est ane ▼a*i$té fee, et la différence qui existe entre leurs angles est constante. Quel* que voisins que, soient deux de ces rhomboèdres, on va de l'un à l'autre par ux saut brusque, et l'on n'observe pas les formes intermédiaires qui rendraient le « insensible.

74 LIYBB I. CHAPITRE ID.

3° Enfin, de ce que les formes simples, d'espèces et de genres différents, peuvent se combiner deux à deux, trois à trois, quatre à quatre, etc. , pour produire par leur réunion en un tout des formes composées , que l'on appelle, en cristallographie, des combinaisons. C'est un résultat d'observation général et bien instant, que quand deux formes différentes ont été observées séparément dans une espèce minérale, on peut s'attendre à les trouver combinées ensemble en une troisième forme» qui offrira la réunion des faces des deux premières , les faces de chacune des formes composantes conservant les mêmes directions et la même disposition relative que si cette forme existait seule. Il est de la plus haute importance de bien remarquer comment s'opèrent ces combinaisons de deux formes en une seule, toute la cristallographie étant fondée sur ce genre d'observation.

$ a. Des combinaisons. — De la manière dont se fait la combinaison de deux formes simples.

Quand une forme cristalline se présente combinée avec une autre, les faces de la première apparaissent toujours comme le résultat de sections qui auraient été pratiquées, conformément à la symétrie, sur les angles et sur les arêtes solides de la seconde forme, supposée primitivement complète. Celle-ci semble donc avoir été comme tronquée symétriquement en divers sens par des plans coupants que représentent les faces de Pautre. D'ordinaire, Tune des formes est dominante : c'est celle qui paraît avoir subi des sections sur ses parties extrêmes. Les faces de l'autre ont généralement peu d'étendue : on les appelle facettes de troncature y ou simplement troncatures : c'est le nom que leur a donné Rome de llsle. Il est bien entendu que cette expression doit être prise dans un sens figuré. La nature, quand elle veut opérer une combinaison de deux formes, ne commence pas par édifier un cristal complet de la première , pour en retrancher ensuite des portions sur les angles ou les arêtes; elle produit ordinairement d'un seul jet la forme complexe : mais le résultat de son opération est exactement le même que si elle avait procédé par voie de troncature. v

On peut considérer d'une autre manière ces petites facettes additionnelles, qui paraissent avoir remplacé soit les angles, soit les arêtes d'une forme dominante. On peut ne voir en elles que de petites facettes surnuméraires, qui ne font que modifier

«4115 SES FORMES CRiSTALLIHBS. 75

légèrement la première forme, sans dénaturer son type, sans altérer sa physionomie essentielle, et seulement pour produire une simple variété de cette forme, pour en diversifier l'aspect, , De là le nom de facettes modifiantes, que Ton a donné aussi aux plans de troncature, et celui de modification, par lequel on désigne quelquefois l'ensemble des facettes, qui remplacent une arête ou un angle solide.

$ 3. Passage graduel dune, forme à une autre.

La considération de ces formée modifiées, de ces combinaisons binaires d'une première forme avec les faces d'une seconde, peut servir à mettre en évidence une sorte de passage graduel, qui existe réellement dans la nature, d'une forme simple d'un minéral à une autre forme simple du même minéral. Ce passage est indiqué par les cristaux eux-mêmes ; il ressort de leur rapprochement et de leur distribution en une série convenablement ordonnée : c'est ce que nous allons essayer de faire comprendre.

Dans tous les minéraux qui présentent des cristaux de forme cubique, on trouve toujours associés, et pour ainsi dire en famille avec eux, des cristaux de forme toute différente, par exemple des octaèdres réguliers. Si l'on compare immédiatement, sans intermédiaires, le cube (fig. 33, pi. II) à l'octaèdre (fig. 37), on n'aperçoit pas ce que ces deux formes peuvent avoir de commun entre elles. Mais, entre le cube et l'octaèdre, il est possible d'intercaler d'autres formes qui établissent une gradation marquée, une sorte de passage du premier solide au second. Ces formes intermédiaires ou de passage sont des combinaisons binaires des deux formes extrêmes ; elles font partie de la même famille, et se rencontrent avec elles parmi les cristaux naturels. Il suffit de les chercher dans les collections un peu nombreuses, et de les rassembler dans l'ordre que nous allons indiquer. Entre le cube (fig. 33) et l'octaèdre (fig. ^7), concevons que Ton ait placé des formes analogues à celles qui sont représentées (fig. 34^ 35 et 36). La première de ces formes (fig. 34) n'est que. le cube (fig. 33) légèrement modifié par de petites facettes triangulaires, semblables à celles que l'on produirait en tronquant avec symétrie tous les angles de ce cube : elle porte encore l'empreinte cubique d'une manière trop visible, pour qu'on ne saisisse pas, au premier aspect, le rapport qu'ont entre elles ces

j6 &UTAB £ CBAtim* IM.

deux formes. La forme suivante (% 35) n'est eocoi»* qw* fe même cube, tronqué de kl même manière, maïs assea profob» dément, pou» que les faces du cube, qui, dan» la forme pvéeeV dente, étaient de figure octogone, se soient transformées en cap* ré*. Dans la figure 36, le» nouvelles fiâtes eu lestvoncacuresent encore augmenté d'étendue an» dépens» des faces primitives, qui se sont réduites à de plus petits carrés. Les figure» 35 el 36 peuvent donc être considérées comme de simples modifications de la fig. 34, puisqu'elles offrent le même assortiment de faces, seulement avec des dimensions différentes. Mais la dernière forme se présente sous un autre aspect, et ses rapports avec l'octaèdre (fig. 37) sont manifestée: car elle est à cet octaèdre ce que la seconde ferme (fig. 34) est à la première (fig. 33) , c?est«à*dfcre* qu'elle n'est qu'un octaèdre incomplet ou légèrement tronqué sur les. angles»

Cet exemple suffit peur montrer ce que l'on doit entendue par la combinaison de deux formes en une seule, pas la modi* fieation et transformation progressive des forme» d'un minerai, ou par le passage gradué de Tune de ces formes, à une autre de genre différent. C'est à l'aide d'une série de combinaisons binaires, interposées entre deux fermes extrêmes, que ce passage est rendis sensible; et celui-ci a toujours lieu de la même ma* nière, par de petites facettes additionnelles, qui remplacent soit lea angles, soit les arêtes de la première forme. Celle-ci non» apparaît alors» comme si elle était restée incomplète ; ou comme si, ayant été produite d'abord à l'état complet, elle avait été eit* suite tronquée par des plans coupants* assortis entre eux pour le nombre et les» positrons relatixres* comme les facesde l'auto elbrtne. Ges nouvelles facettes, qui, dans plusieurs combinaisons binaires, se montrent très*»petites, augmentent peu à peu d'étendue dans, la série des autres formes intermédiaire©, jusqu'à devenir dominantes à leur tour, et faire disparaître à la fin tout ce qui restait des faces primitives. Alors, on obtient une forme d'un genre tout différent, et qui cependant peut, tout aassi bien que les formes précédentes, par lesquelles on a passé successivement, êtee envisagée eomuie une modification de la première. C'est ce passage, que la nature' elle-même, nous indique, entre une quelconque des formes d'un minéral et toutes les autres, qui nous rendra possible, et même facile, la connaissance exacte des systèmes de formes^ qui ont été observées jusqu'à ce moment dans les. nombreuse» espèces du règne inorganique.

lois db tomns crssvailines. jj

$ i. Br* systèmes vristoUtns. — Systèmes cristallins gériëraux* ~*> Séries vristatHms partàxtéèères.

Le problème qui a pour objet de déterminer le système éts formes cristallines d'an minerai., peut s'entendre de deux imnièrea, si Yom se reporte à la distinction que vous avons établie plue haut (page y3) entre les formes spéciales et les forme» génériques. On peut se proposer de connaître toutes les forâtes particuUènes du minéral, en tenant compile de toutes celles qui ne différeraient que par la valeur do leurs angles ; ou bien, on •peut se proposer seulement, et comme «n acheminement vers la solution complète du problème , de déterminer ies formes génériques y les formes de genres différents, eu faisant abstraction dea différences dans les angles , et ne prenant en considération que celles qui proviendraient du nombre ou de -l'assortiment des faces.

Lorsqu'on se place au premier point de vue, et qu'on envisage, non pas seulement les différents genres de formes , mais soutes les formes particulières, et rigoureusement déterminées, ou donne à l'ensemble complet de ces formes le nom de système msuMn particulier, ou de série cristailme. Ainsi, par exemple, la série cristalline du calcaire spethtque se compose 1 1° de pluetéuvs rhomboèdres, savoir : un 4e i o5°S' ; un second, de i &4Q£»7'; un troisième, de 6S°5o', etc.; a0 de plusieurs sealdnoèdres, pareillement distingués chacun par des valeurs d'angles particulières^ 3° de plusieurs <U- rhomboèdres* égalesucni tÛteaminés, etc., etc.

Si Fou ne veut considérer que les formes générique*, que les formes de noms différents, en n'ayant point égard aux différence* spécifiques que les valeurs d'angles établissent entre elles, al on oonfondant par cuoséqueu* en une unké toutes celles qui portent une même dénomination générique; daue ce eas, l'encomble des formes qui peuvent ccemster dans une même espèce minérale, est appelé système cri&dUn général, ou simple*** t système cristallin, on pressant ainsi cette dermère expression 4ans un sens déterminé, et réservant celle de sérié criskUlme pour désigner la totalité 4es formes particulières d'un mîaérai.

A chacun de ce* deux piobletncacotucopond une loi générale do la cristallisation, dont Fapplication bien attendue donne

les moyens de le résoudre. Celle de ces lois» qui est en rapport direct avec le premier problème, peut être nommée la loi des froncaturesy ou loi de dérivation des facettes modifiantes. Elle règle la direction des faces , et par conséquent la valeur des angles dans les formes particulières; et elle est indispensable pour la détermination exacte de séries cristallines. La loi qui se rapporte à la détermination des systèmes cristallins, est la loi de symétrie : celle-ci règle seulement la répétition des parties, le nombre et la disposition générale des faces dans les formes cristallines; elle suffit seule à la solution du second problème. Ces deux lois remarquables de la cristallisation ont été découvertes par Hauy : elles constituent toute la partie essentiellement philosophique de la science des cristaux. Aussi, cet illustre minéralogiste est-il, à juste titre, considéré comme je véritable créateur de cette science. Nous allons bientôt exposer ces lois avec tout le soin qu'exige leur importance.

§ 5. Détermination des systèmes cristallins.

Le second des problèmes dont nous avons parlé, celui qui consiste à déterminer les systèmes cristallins, étant»par sa nature plus simple que le premier, et sa solution, une fois connue, pouvant être considérée comme un pas de fait vers celui-ci, il parait convenable de s'en occuper tout d'abord. La question que nous allons traiter en ce moment , se réduit donc à ces termes : déterminer tous les différents genres de formes qui peuvent se rencontrer, isolément ou en combinaison, dans une même substance minérale.

Mais sous cette forme même, il serait encore si compliqué, qu'il faudrait renoncer à le résoudre, s'il n'admettait pas de nouvelles simplifications que nous allons faire connaître. D'abord, on peut se dispenser d'avoir égard aux combinaisons, aux formes composées , qui offrent un assortiment de plusieurs ordres de facettes, dont chacune appartient à une forme simple particulière, par la raison qu'il est toujours loisible et facile au cristallographe d'analyser par la pensée une pareille forme complexe, et de la décomposer en un petit nombre de formes élémentaires, en sorte qu'on est toujours ramené aux formes simples, quand il s'agit de décrire un cristal, quelque compliqué qu'il soit.. Or, la connaissance des différents genres de formes simples n'offre rieAde difficile, attendu que ces formçs sont toujours en nom-

bre limité dans chaque système. Ainsi, les combinaisons étant mises de côté, le problème est de nouveau réduit à la connaissance des/ormes simples (nouvelle simplification).

Mais il est encore une circonstance qui rendrait cette étude fort longue et fort fastidieuse ; et malgré les simplifications que nous lui avons déjà fait subir, le problème pourrait encore offrir une complication désespérante : ce serait, si le nombre des systèmes cristallins, dont, l'existence a é(é reconnue, était considérable et comparable en quelque sorte à celui 'des espèces minérales; mais il n'en est rien. Le nombre des systèmes à étudier est très-petit, parce que le même système se répète dans un grand nombre d espèces à la ibis. Nous disons le même système cristallin» et non pas la même série cristalline : nous avons vu qu'il ne fallait pas confondre ces deux expressions. L'observation démontre que si Ton découvre dans un minéral une des formes génériques trouvées dans une seconde espèce, on doit s'attendre à y rencontrer aussi toutes les autres. Une forme.de l'un des systèmes cristallins connus, en passant d'une espèce minérale à une seconde, à une troisième espèce, entraine pour ainsi dire, à sa suite» le cortège des autres formes ; et le même système cristallin se retrouve ainsi tout entier dans cinquante ou soixante espèces différentes. D'après cela, un fort petit nombre de systèmes à étudier, et chacun d'eux composé seulement d'un nombre limité de formes simples : tel est maintenant l'état de la question, que nous pouvons aborder sans peine.

Mais ce problème, déjà tant réduit, est encore susceptible d'une dernière simplification. Car toutes les formes d'un même système ont entre elles des rapports tellement intimes, des analogies tellement fortes, leur dépendance mutuelle est si manifeste, qu'il n'est besoin que d'en connaître une pour pouvoir les connaître toutes, et par conséquent en retrouver facilement l'ensemble, si l'on venait à les perdre de vue ; il résulte de là que la connaissance de toutes les formes simples d'un système se réduit elle-même, en dernière analyse» à celle d'une seule et unique forme. En effet» l'étude des passages, dont nous avons parlé plus haut, a conduit à une méthode des plus faciles, que l'on appelle méthode des troncatures, et qui donne à celui qui en a la clef, le moyen de déduire promptement toutes les formes d'un système de Tune quelconque d'entre elles.

to tftftt t. Cl*Jl*rrRE ttt.

$ 6. Méthode dès frOtiàttottiês.

Cette Méthode corièiste à modifier 1* forme prise pour point de dépaW, éuccessiTement sur chacune de èeé différentes éS» fèces d'angles et d'arêtes, par des facettes dont le nombre é* !* poskiefe se règlent sur la Sytoétrie de cette fowné et de «es parties,- de telle sorte que la modification qui remplace une pat*, tie soft toujours isb-sytoétrique avec elle. H suffit ensuite de pro* fe>Bgter pa* la pensée ces petites facettée additionnelle*- jusqu'à té qu'elles ^entrecoupent, pouf avoir une de* formes cherchées. Oï> A l'on a soin de ne modifier chaque partie du solide fond*ine**àl que conformément à ce qu'exige sa *yflrétrié, de répéter chaque modification sur toutes les parties qui sont homologtfés et identiques, et cf épuiser enfin toutes les combinaisons de tattfttés modifiantes, qui sont symétriquement possible*, et qui ne «nèuetft qu'à des forme* si en pks, on est sûr d'obtenir àrttsi «o«te* les formes que l'on cherche, sans en laisser échapper urte seule. Pfcr l'usage fréquent de cette méthode, que nous appliquerons bientôt au* diflKrenté sysi&tfres, on ne tarde p«* à reconnaître €0 qu* nous A tons déjà eu PocxJafciofc de faire remarque*, que toutes les formes d**n même système ont éftflrë elles ùflft a% de faille; Reliée ne sont que des modification* légëreè lès «nés ém autres, et qu'il est facile de les fier dààs tfésprit en un tout, que chacune d'elles peut nous représenter att même tfcre.

$ y. bè ta loi de symétrie. — Définition dès parties identique* dcûiS tes éïktàûx.

Lé procédé de dérivation mutuelle de* fo¥tf*é9 d'an métiie système est fondé sur Une loi à laquelle HâûJ à donné le nom c?e fbi de symétrie^ loi fort simple, qui n'est cfae te résultat deé observations comparées et généralisées, et qui pouvraît être cousftW- «6s en s^i»e temps comme un pur aaiome dé pbtaiq&e. {Ju'etft- «s que cette loi exige en effet? que, quand une forme eristaffine *è modifie, la modification se répète <fe h Wtéme tottttfcre, et prt>éhékeèe même ïffm s*r toutes les parties extérieures de la tbtWe ffaéSt angles ou arêtes) qui son* de racine espèce et identiques entre elles, qui se ressemblent h tel poftrtj qu'on ne puisse rieto dire de l'une, qui ne puisse également s'appliquer aux autres. Rien de plus simple que cette loi, ainsi définie d'une manière

LOIS DES FORMES CRISTALLINES. 8l

générale. Mais Fapplication de cette loi présuppose une connaissance exacte des parties (angles ou arêtes), qui , dans un cristal, peuvent être regardées comme identiques entre elles, et qui doivent se comporter de la même manière; qui, étant en quelque sorte solidaires dans l'acte de la modification, doivent toutes ensemble subir les mêmes effets, parce qu'elles concourent également au développement des forces modifiantes; tandis que les parties non identiques demeurent [à cet égard les unes vis-à-vis des autres dans une entière indépendance. Or, à quoi reconnaître Y identité des parties d'un cristal?

S'il s'agissait de corps purement géométriques, comme ceux que les mathématiciens considèrent, la réponse à cette question serait facile, tout se réduirait en effet à une simple ressemblance de forme. L'identité n'admettrait qu'une seule condition toute géométrique : il suffirait que les parties comparées fussent égales et semblables. Il est évident que, dans les corps cristallisés , la même condition doit aussi être satisfaite , sans quoi la diversité des parties serait évidente. Nous dirons donc, avec Haiïy, que dans un cristal , les parties identiques ou de même espèce sont celles qui sont égales, semblables, et semblablement placées à l'égard des axes de ce cristal.

Mais cette condition géométrique est-elle suffisante? Haiïy le pensait ainsi, ou du moins il supposait qu'elle devait entraîner la ressemblance sous tous les rapports; et que toute autre condition, qu'on pourrait être tenté d'y ajouter, serait superflue, comme étant implicitement contenue dans la première! Cependant, une réflexion bien simple va nous prouver la nécessité de compléter la définition précédente des parties identiques, par une nouvelle condition explicite, celle d'une ressemblance physique parfaite : il faut que les parties, dans lesquelles l'égalité, géométrique a été reconnue, soient de plus identiques sous le rapport physique, c'est-à-dire qu'elles aient la même structure et la même constitution moléculaire.

Un cristal ne saurait être considéré comme une simple forme polyédrique ou abstraite : c'est un corps matériel, qu'on ne peut pas dépouiller de ses propriétés physiques, lorsqu'il s'agit d'expliquer un phénomène tel que la cristallisation, qui dépend uniquement des attractions auxquelles obéissent les molécules des corps pondérables. Or, s'il arrive (ce qui est en effet, et ce qui a été démontré par Haiïy lui-même) que deux parties d'un cristal, quoique géométriquement semblables, aient des structures Cota* de Minéralogie. Tome I. 6

8* LIVAE I. CHAPITRE 1I(.

ou constitutions moléculaires différentes, on ne peut plus dire dans ce cas qu'elles soient en tout point identiques.

Dans sa théorie de. la structure des cristaux, qui sera exposée avec détail dans le cours de cet ouvrage , Haûy montre clairement que ces corps ont à l'intérieur une structure régulière et symétrique, d'où résulte une certaine texture moléculaire, qui n'est pas la même pour toutes les faces, ni pour toutes les arêtes extérieures, en sorte que ces faces ou ces arêtes peuvent se distinguer entre elles, non-seulement sous les rapports mathématiques, mais encore par leurs qualités matérielles; et il arrive souvent que, les conditions géométriques étant les mêmes, les conditions physiques sont différentes. Nous verrons bientôt que dans la même espèce minérale , dans le calcaire spathique par exemple, les mêmes molécules peuvent reproduire le même cristal apparent, la même forme géométrique , de plusieurs manières et avec des structures différentes : tel est, entre autres cas semblables, celui des deux prismes hexagonaux que l'on ob-. serve cfaos l'espèce précitée, et qui dérivent du rhomboèdre fondamental par des modifications tout-à-fait distinctes. Ces deux prismes ne sont pas constitués physiquement de la même manière , et si l'on compare celles de leurs faces ou de leurs parties angulaires qui se correspondent, on trouvera qu'elles présentent des différences de nature physique , qui , non-seulement ressortent de la théorie de leur structure, mais s'annoncent encore et se démontrent par l'observation directe : en effet, les clivages (i) ne sont pas disposés de la même manière dans les deux solides, l'un se clivant sur les angles , et l'autre sur les arêtes des bases. Il en est de même des stries, qui se manifestent souvent sur les faces latérales, et n'offrent pas non plus la même disposition dans les deux prismes: or, la considération des stries est importante, parce que ces accidents sont toujours en rapport avec la structure interne, et que des stries semblables et semblablement placées répondent toujours à des files de molécules parfaitement identiques.

Une diversité de structure, et par conséquent de nature physique , s'observe aussi entre des parties d'ua même solide, qui sont d'ailleurs géométriquement égales et semblables. C'est

(1) On entend par clivage, une sorte de cassure plane, ou de division lamelleoso oui se manifeste dans beaucoup de cristaux, et qui est la conséquence de leur disposition moléculaire. Cette propriété pbysique des cristaui sera étudiée avec soin dans le chapitre relatif à la structure cristalline.

ce qui se voit dans chacun des prismes que nous venons de considérer. Nous avons dit que l'un d'eux se clivait sur les an-, gfes, et l'autre sur les arêtes des bases : cela est vrai; mais il faut remarquer qu'il y a autour de chaque base six arêtes, ou six angles solides, qui sont égaux géométriquement » et cependant trois de ces parties, sur six , se prêtent seulement, de la même manière, à l'opération du clivage. Les six parties ne sont donc pas dans les mêmes conditions physiques : elles ne sont identiques que trois à trois.

Les différences de nature physique, entre des parties de forme géométriquement semblables, se décèlent non-seulement par l'observation des clivages et des stries, mais encore par Fctude de plusieurs autres propriétés physiques, dont il sera question plus tard, telles que la dureté, l'élasticité, la pyroélectricité, l'éclat, la couleur, etc. Eufin, elles se manifestent aussi par la symétrie particulière, à laquelle obéissent constamment les modifications du cristal, quand son accroissement a eu lieu d'une manière régulière. Ainsi, dans les prismes hexagonaux du calcaire, les douze arêtes des bases, ou les douze angles solides, ne subissent pas tous à la fois les mêmes modifications : il n'y a généralement que six parties sur douze, qui se modifient ensemble et de la même manière; les six autres restent intactes, ou se modifient d'une manière différente , et par conséquent se comportent comme elles le feraient, si elles étaient géométriquement distinctes des premières. C'est ce qu'indiquent la figure 68, pi. VII, et toutes celles qui montrent le passage de la forme hexagonale à la forme rhomboédrique. Ainsi, dans les prismes hexagonaux du calcaire, comme dans tous ceux des * espèces rhomboédriques, les angles et les arêtes des bases ne sont identiques que six par six. Au contraire, dans les prismes hexagonaux de Pémeraude et de plusieurs autres espèces, où cette forme n'est jamais associée au rhomboèdre, les douze arêtes, ou les douze angles des bases, se modifient toujours ensemble, comme on le voit figure 63; cette circonstance suffit pour dénoter l'identité absolue des douze parties dans les prismes d'éineraude, ce que confirmerait d'ailleurs l'étude des mêmes cristaux sous le rapport de leurs autres propriétés physiques (i).

(1) Voyez le mémoire qui a pour titre : De la Structure des Cristaux, considérée comme base de la distinction et de la classification des systèmes cristallins, et que j'ai présenté comme thèse à la Faculté des soignées, on sept.

Il résulte de ce qui précède, qu'il est nécessaire de compléter la définition des parties identiques donnée par Haiïy, en ajoutant quç les parties déjà semblables de forme doivent l'être de plus physiquement ou de structure , en sorte que l'identité absolue comporte deux conditions : Tune géométrique et l'autre physique. 11 suit encore de là que la même forme géométrique, considérée comme forme cristalline, et*par conséquent au point de vue physique , peut présenter dans des espèces minérales différentes un caractère différent de symétrie, résultant d'une modification importante dans la structure interne, qui ne tombe pas immédiatement sous les sens. Il faut donc établir une distinction entre la symétrie réelle d'un cristal , considéré comme corps matériel, laquelle dépend à la fois de sa forme et de sa structure moléculaire, et la symétrie apparente du même corps, considéré comme corps géométrique, celle-ci se rapportant uniquement à sa forme extérieure. II arrive le plus souvent que les deux sortes de symétrie sont d'accord dans le même cristal; mais le contraire peut avoir lieu., et dans le cas où la symétrie réelle diffère de la symétrie purement géométrique, après avoir reconnu les parties de la forme (faces, arêtes ou angles) qui sont égales ou inégales , on est obligé d'avoir recours à de nouvelles distinctions, en sous-di visant certains groupes de parties égales, pour arriver aux parties qui sont véritablement identiques.

$ 8. Modifications holoédriques , hémiédriques et tétartoédtiques.

Voici comment cette subdivision s'opère dans le plus grand nombre des cas, et quelles sont les dénominations usitées pour distinguer les diverses symétries que Ton peut rencontrer dans un même type géométrique. Lorsque la symétrie réelle concorde entièrement avec celle de la forme géométrique , c'est-àdire lorsque toutes les parties géométriquement égales sont physiquement identiques , chaque modification du type fondamental les atteint toutes à la fois, et par conséquent produit en somme le maximum de faces possible : on donne à cette modification, et aussi à la forme qui en résulte, le nom de holoédrique, pour exprimer qu'elle se compose de la totalité des faces, qui dériveraient du type considéré d'une manière abstraite. Lorsque la concordance dont nous venons de parler n'a pas lieu, d'ordinaire il arrive que les parties géométriquement égales

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ne sont identiques que moitié par moitié du nombre total : dans ce cas, la modification ne se répétant que sur une des moi- ■ tiés, ne produit que la moitié du nombre des faces que Ton avait dans le cas précédent : on lui donne le nom de modification hémiédrique. Plus rarement, la concordance entre les caractères géométriques et physiques des parties extérieures de la forme n'a lieu que pour le quart seulement du nombre total de celles qui sont géométriquement égales : la modification n'atteint alors . que le quart de ces parties, elle ne produit que le quart du nombre des faces que l'on aurait pour une concordance complète. On donne à cette modification» comme aussi à la forme qui en résulte, le nom de tétartoédrique. Une tétartoédrie n'est, à proprement parler, qu'une hémiédrie de second ordre, une hémiédrie nouvelle, subie par une forme, que l'on regarde comme provenant elle-même de l'hémiédrie d'une autre forme. Les termes (Yholoédrie , $ hémiédrie et de tétartoédrie, peuvent donc servir à désigner les trois genres ou degrés différents de symétrie, caractérisés l'un par l'identité physique de toutes les parties géométriquement égales, et les deux autres par l'identité de ces mêmes parties, prises seulement par moitié ou par quart du nombre total. Mais la distinction entre les parties égales pouvant s'établir de différentes manières, il y a plusieurs cas possibles à 'hémiédrie ou de tétartoédrie pour le mémfe solide. Nous verrons plus loin, par exemple, que certaines modifications bémicdriques produisent toujours des formes à faces parallèles deux à deux, tandis que d'autres modifications ne produisent que des formes àfaces inclinées chacune à chacune, ou dans lesquelles on n'observe aucun couple de faces parallèles. Cette observation a donné lieu à la division de l'hémiédrie en deux genres : Y hémiédrie à faces parallèles, ou para-hémiédrie, et Y hémiédrie àfaces inclinées, ou anti-hémiédrie , qu'on peut appeler aussi hémiédrie polaire.

Nous verrons aussi que les deux formes conjuguées, que peut produire une des différentes sortes d'hémiédrie, lorsque la modification porte successivement sur une moitié, puis sur l'autre des parties égales, sont tantôt superposables par un simple changement de position, et tantôt non superposables; parce que, dans ce dernier cas, elles ne sont qu'inversement semblables, les parties respectivement égales étant disposées en sens contraire, dans l'une et dans l'autre, comme dans les. polyèdres inverses ou symétriques de la géométrie ordinaire.

Nous indiquerons ailleurs L'utilité de ces distinctions, et la

raison de plusieurs des dénominations qui s'y rapportent Pour le moment, nous nous bornerons à rappeler ici un seul exemple d9une forme géométrique, qui peut revêtir successivement, dans des espèces minérales différentes, un caractère différent de symétrie, et devenir ainsi la souche de plusieurs systèmes de •formes, que Ton observe toujours isolément, et qui ne semblent pas pouvoir se réunir dans la même espèce, parce que les symétries dont ils dérivent sont difficiles , pour ne pas dire impossibles à concilier. Cet exemple est tiré de la forme cubique. Il n'existe qu'un seul cube en géométrie : mats, dans la nar ture matérielle et parmi les cristaux, il y a au moins trois sortes de cubes , qui diffèrent sous le rapport physique et cristallographique : tels sont ceux de la galènç, de la pyrite commune et de la boracite. Par une étude attentive de la marche que suivent, dans chacun de ces cubes, les diverses propriétés physiques et l'ensemble des modifications, on acquiert la preuve que ces trois espèces de cubes sont essentiellement distinctes par leur structure et leur symétrie particulière; qu'elles doivent être composées chacune de molécules d'une forme différente, comme le montrent les figures 18, 19 et 20, pi. I; et que par conséquent il existe au moins trois systèmes cristal lias différents, auxquels la forme cubique peut être commune, mais dans chacun desquels elle se rencontre avec d'autres formes qui sont caractéristiques et propfes à l'espèce. L'un de ces système* (celui de la galène) est le système cubique à modifications toutes holoédriques. Les deux autres sont des systèmes cubiques à modifications hémiédriques; et l'un d'eux (celui de la pyrite) nous offrira le cas de la para-hémié.drie , tandis que le second (celui de la boracite) nous fournira un bel exemple de Fhémiédrie polaire, pu anti-hémiédrie.

On voit par ce qui précède, que quand on se borne à la considération de la forme géométrique, pour en conclure le caractère de symétrie d'un cristal, on n'est jamais sûr dé connaître celui-ci d'une manière exacte : ce n'est là qu'une détermination provisoire, qui a besoin d'être vérifiée par l'étude des propriétés physiques de ce cristal, ou des rapports de sa forme avec celles des autres cristaux de la même espèce. C'est donc l'observation ou l'expérience qui doit assigner à une forme fondamentale son véritable caractère, et servir de base à la distinction des parties identiques ou non identiques, et par suite à la délimitation des systèmes cristallins.

§ 9. De t application de la toi de symétrie.

Retenons maintenant à la loi de symétrie, que nous n'àvbnk exposée que d'une manière très-générstle, et entrôris k son sujet dans tous les développements nécessaires pour en rendre Yà$> pKcation facile. Cette loi exige impérieusement que la modification, quelle qu'elle soit, qui se' produit sur une partie quelconque d'un cristal , se répète exactement sur toutes les autres par tl'éfe qui sont identiques à la première ; mais elle fait plus : elle règfè encore le nombre et la disposition des facettes dont se composé la modification d'une partie considérée isolément; car Cêhe modification peut avoir lieu par une ou plusieurs facettes, èi par conséquent de plusieurs manières différentes. En géncrdï, ra ^codification doit être telle qu'elle fà&e lin tout parfaitement symétrique avec la partie qu'elle remplace, ou à laquelle elle s'ajoute; et par conséquent, S'il entre dans la composition cfe cette partie angulaire plusieurs faces, bu plusieurs àngfeé Hi8dres qui soient identiques, la modification de Vf a produire le même effet sur chacune des faces égales, ou chacun des angles dièdres égaux. Les facéties particulière*, dont se Compose la nidification totale d'un angle ou d'une ârète solide, doivent doric toujours être en rapport, pour le noinhre et les po^ition^, à^ei les faces qui concourent à la formation de cet angle ou de cette arête solide. Examinons successivement Fés' dWértf cas dpii peuvent se présenter.

1 ° Modifications des ai-étes. — Si Parète à modifier est un' coin régulier, c'est-à-dire si elle est formée de deux faces identiques et semblableihént placées relativement à leur ligne' «Finfeirse't?tion , elle pourra être modifiée .de deurt manières différente^ : ou par une seule focette également inclinée sur les deù* fecéà du coin (troncature simple et tangeute), où par deux facetta obliques, mate faisant la même inclinaison, l'une sut* là première face, et Pautré sur la seconde, c'est-à-dire par un BtseaÛ symétrique.

Si l'arête à ihodifier est formée par des laces non identiques^ ou diversement placées à regard dé leur intersection coktfittune (0) la modification a' lieu dans ce ca& par ube siinple fSicfette, inclinée différemment sut* lés déiïx fàcèB.

(f) Des faces, mèmtf identiques, niais présentait leurs parties (physiques) homologues dans des situations diverses à l'égard de leur intersection, déter-

a0 Modifications des angles solides. — Si l'angle solide à modifier est un angle régulier, composé de m faces identiques, il pourra être modifié de quatre manières différentes, et seulement de quatre manières, sous la condition que chaque modification ne produise qu'une forme simple. La modification pourra être formée d'une seule facette, également inclinée sur toutes les faces de l'angle ; ou bien elle sera composée de m facettes, placées respectivement sur les m faces de l'angle, dans une position oblique et symétrique , de telle manière qu'elles aient chacune la même inclinaison sur celle des faces correspondantes; ou bien. encore de m facettes, placées symétriquement, non plus sur les faces (comme dans le cas précédent), mais sur les angles dièdres; ou enfin de a m facettes, placées obliquement deux à deux sous forme de biseaux, au-dessus des faces ou des angles dièdres, et formant, parleur concours, un nouvel angle solide, d'un nombre de faces double, symétrique et semi-régulier, c'est-à-dire ayant ses angles plans, ainsi que ses angles dièdres, égaux seulement de deux en deux.

Si l'angle solide est composé de m faces, parmi lesquelles il y en ait un nombre n, qui soient identiques entre elles, les autres étant différentes, il pourra être modifié ou par une seule facette également inclinée sur chacune des n faces égales, ou bien par n facettes, placées respectivement sur ces dernières et semblablement inclinées sur elles.

Si l'angle solide est complètement irrégulier, la modification a lieu par une seule facette, diversement inclinée sur les faces composantes.

Tels sont les différents cas que l'on peut avoir à rencontrer dans l'application de la loi de symétrie au développement des systèmes cristallins, c'est-à-dire à la solution du problème qui consiste à déduire, par de simples considérations de symétrie, toutes les formes génériques d'un système cristallin de l'une quelconque d'entre elles, prise pour type, pour forme primitive ou fondamentale. Sans doute, il serait possible (comme le montre d'ailleurs l'observation des combinaisons ternaires, quaternaires, etc., de formes cristallines) de modifier symétriquement une partie de forme dominante par uu plus grand nombre de facettes que nous ne l'avons supposé ici; mais alors il résulterait d'une pareille modification une forme composée, susceptible de

mirait par cela seul l'obliquité et la simplicité de la modification, comme le feraient des faces non identiques. C'est ce qui a lien pour la modiGcation des arêtes du cube, dans la pyrite.

se décomposer en formes simples : la modification en question serait donc elle-même une modification multiple. Il ne faut pas oublier que nous sommes convenus de restreindre le problème à la recherche des seules formes si/nples.

JLes conditions rigoureuses de la loi que nous venons d'exposer, limitent nécessairement le nombre des modifications admissibles, et par conséquent le nombre des formes simples du système. On voit toute l'importance de cette loi de symétrie, qui permet au cristallographe de circonscrire nettement, et, pour ainsi dire, d'embrasser d'un seul coup d'oeil l'ensemble des formes sous lesquelles un minéral peut s'offrir. On voit aussi combien est devenue facile l'étude des différents systèmes cristallins, laquelle nous avait paru inabordable, avant toutes les simplifications que nous lui avons fait subir. Nous n'aurons plus maintenant qu'à développer successivement chacun de ces systèmes, à l'aide de la méthode des troncatures, éclairée et dirigée par la loi de symétrie.

Dès l'instant que l'on a fait choix d'une forme fondamentale et que son véritable caractère de symétrie (c'est-à-dire la corrélation exacte de ses parties, établie sur leur identité physique et géométrique) a été reconnu par l'observation, le problème qui consiste à déduire de cette forme primitive ou fondamentale toutes les autres formes du système, qui, relativement à elle, prennent le nom de formes secondaires ou dérivées , n'est plus qu'un problème abstrait, une question de pure géométrie. Le choix de la forme fondamentale est arbitraire:, cependant, il est naturel de prendre son point de départ parmi les formes les plus simples de chaque système, qui sont les octaèdres et les parallélipipèdes, ou plos généralement les formes bipyramidales et prismatiques. Nous prendrons pour types fondamentaux les formes prismatiques. Tous les systèmes cristallins que l'observation a fait connaître, peuvent se ramener à six types géométriques : il existe donc au moins six genres différents de systèmes cristallins. Mais, parce que la même forme géométrique peut, dans la série des espèces minérales, changer de structure et de caractère de symétrie, nous serons conduits à admettre des subdivisions dans chacun de ces genres, à reconnaître plusieurs systèmes particuliers prenant leur origine dans une forme géométrique commune, qui se différentiera dans chacun d'eux, au point de vue cristallographique,par des qualités physiques distinctes, et par une structure moléculaire différente.

$ i o. Exceptions apparentes à ta toi de symétrie. — Disparition accidentelle de certaines faces* — Hemiédrie proprement dite.

On a cru pouvoir signaler des exceptions à la loi de symétrie: mais il est évident que ces exceptions sont plus apparente* que réelles. 11 est un cas bien connu, où, par suite de l'accroissement inégal qu'un cristal a subi dans son pourtour, quelques-unes de ses facettes ont avorté, ou bien se sont évanouies après s'être produites, parce que les facettes voisines, en s'étendant ouifee mesure, ont pris leur place. Ce n'est là, évidemment, qu'une exception particulière et accidentelle, qui n'affecte point toute l'espèce, mais seulement le cristal individuel que l'on observe^ et que l'on doit mettre sur le compte de l'irrégularité du criétaL

A part cette circonstance, et en admettant que l'accroissement des cristaux se fasse d'une manière uniforme et régulière» oA conçoit difficilement comment la loi de symétrie pourrait sou#frirdes exceptions dans un cristal dont toutes les parties sériaient exactement proportionnées. Cependant) plusieurs cristallogra*phes, au nombre desquels Hairy lui-même doit être compté, ont admis des cas où cette loi leur a semblé être en défaut* et <w l'exception leur apparaissait comme une anomalie constante,- ea ce qu'elle affectait généralement et au même degré tous les cri* taux de l'espèce. Ces cas sont ceux des minéraux qu'on nommé pyrite, boracite, tourmaline, quart, etc., et il est à remarquer qfttè les prétendues formes anormales rentrent toutes dans la cael» gorie de celles que nous avons appelées hémiédriques* Or, lorsque nous traiterons de ces espèces, nous ferons voir que les modifications qui engendrent ces formes hémiédriques,sont ce qu'elles doivent être, lorsque l'on tient compte des conditions physkguil du type dont elles dérivent, et que l'exception n'existe que pou* ceux qui les rapportent à une forme purement abstraite. Si donc on a pu croire ici à une anomalie, c'est que l'on a fait une fausse application de la loi» en se méprenant sur la nature des parties* auxquelles on a, sans preuve suffisante, attribué une égale valeur. Nous avons établi d'une manière générale, et nous prouverons oe fait en particulier pour chacune des espèces précitées, que dés parties semblables de forme peuvent être physiquement diffié» rentes. Dès-lors, toutes les fois que la loi de symétrie parait en désaccord, et cela d'une manière constante, avec les indications du type géométrique, il y a lieu d'examiner, avant de prononcer

LOIS DES FORMES CRISTALLINES. g*

les mots d'exception et d'anomalie, si, dans ce type, quelques parties de même forme ne cacheraient pas, sous une ressemblance purement extérieure, des propriétés physiques différentes*

§ 11. Discussion sur ta véritable nature de thémiédrie. '

I! est bien constant que tel est le cas de la plupart des cris» taux, dans lesquels l'hémiédrie se présente comme une circonstance habituelle : dans la pyrite, la boracite, la tourmaline et k quant, l'hémiédrie est la conséquence nécessaire de la constitua tion moléculaire, ou de la structure interne du corps cristallisé. Maintenant, existe-t-il d'autres cristaux, les uns holoèdres, les antres hémièdres, qui ne diffèrent en aucune manière dans l'in* terreur de leur masse, de telle sorte qu'à leur égard l'hémiédrie ne se trouvant point motivée par des différences de structure, doive être mise sur le compte de causes extérieures, de circonstances accidentelles? C'est ce qui n'est nullement prouvent ce qui est infiniment peu probable; car, comment concevoir cet» action du milieu environnant, qui, dans le cas de la pyrite, par exemple, s'exercerait diversement, à droite et à gauche de cha« que arête du cube fondamental, de manière à permettre d'u* côté la production d'une facette, et à l'empêcher du côté opposé* si tout était parfaitement égal et symétrique, relativement au plan mené par cette arête et par le centre? Dans cette hypothèse» où tout est géométriquement et physiquement identique audessus et au-dessous de ce plan, les deux moitiés du cristal, dé* veloppant les mêmes forces moléculaire», et tendant, par consé* quent, à s'accroître de la même manière, comment imaginer que le milieu puisse contrarier cette tendance et substituer à la forme holoédrique, dont la symétrie s'accorderait si bien avec la structure interne, une forme hémiédrique qui n'est plus en rap» port avec elle? L'hémiédrie, envisagée de cette façon, sans changement de système cristallin ni de structure, et comme ayant lieu seulement par la seule influence des milieux, est, jusqu'à ce moment, un fait inexplicable, une sorte d'effet sans cause.

L'hémiédrie, en tant qu'elle consiste dans une concordance partielle des parties géométriquement égales, sous le rapport des propriétés physiques, concordance qui seule les rend aptes à se modifier ensemble et de la même manière, est un fait bien constant, et beaucoup plus commun que ne le croyait Haiïy. Le processeur Weiss a eu le mérite de le reconnaître dans toute sa gé-

néralité, et d'en étudier les diverses circonstances; mais, au lieu d'en chercher l'explication naturelle dans les variations de la structure interne, il a posé ce fait comme un principe nouveau, comme une des lois primordiales de la cristallisation, ce qui nous parait manifestement contraire à la vérité.

Je ferai d'abord remarquer la cause pour laquelle ce fait n'avait pas dû frapper l'attention du cristallographe français aussi vivement que celle des minéralogistes allemands. Dans les minéraux où on l'observe, le système cristallin comprend toujours deux catégories de formes, qui se distinguent en même temps par leur caractère géométrique et par la manière dont elles se modifient : les unes ont l'apparence de formes holoédriques, tandis que les autres sont proprement ce que nous avons appelé des formes hémiédriques, chacune d'elles pouvant être considérée comme provenant du dédoublement d'une forme holoédrique. Par exemple, dans la boracite, le tétraèdre régulier (forme hémiédrique de l'octaèdre) se rencontre avec le cube et le dodécaèdre à faces rhombes (formes holoédriques) ; dans le calcaire, le rhomboèdre (autre forme hémiédrique) se trouve associé à la double pyramide hexagonale (forme boloédrique) et au prisme hexagonal régulier. Or, si l'on observe attentivement la manière dont se modifient les formes des deux catégories, on verra -que, pour les formes hémiédriques, les modifications sont toujours holoédriques, tandis que, pour celles d'apparence boloédrique, les modifications sont toujours hémiédriques. 11 résulte de là que la loi de symétrie, telle que l'entendait Haùy, celle qui se règle sur des conditions purement géométriques, est toujours observée, quand on choisit pour forme primitive une forme hémiédrique, et qu'elle est en défaut seulement, quand on prend pour point de départ une des formes d'apparence boloédrique. Nous disons avec intention formes d'apparence boloédrique, et non pas formes véritablement holoédriques, parce qu'en réalité ces formes ont en elles-mêmes le caractère hémiédrique aussi bien que les autres: seulement, elles n'accusent l'hémiédrie que par leur structure, tandis que les solides héinièdres proprement dits l'accusent par leur forme extérieure (i). On conçoit mainte»

(1) Voyez le Mémoire déjà cité, où, dès 1840, j'ai montré que le caractère particulier de symétrie que ces solides manifestent par lenr forme seule, se retrouve aussi dans les autres, où il est indiqué par des différences de structure. Dans la dernière édition de sa Cristallographie théorique, M. Naumann est entré franchement dans la voie que j'avais suivie, et on le voit, p. 94 et 99, marquer par des nuances diverses, dans chacune des formes d'apparence ho-

LOIS DES FORMES CRISTALLINES. g3

nant comment il a pu se faire qu'Haiiy ait passé si souvent à côté de rhémiédrie sans l'apercevoir: c'est qu'il était conduit par le clivage à prendre pour forme primitive une forme hémiédrique, le tétraèdre dans le cas du cuivre gris, le rhomboèdre dans le cas du calcaire et de beaucoup d'autres espèces. Si, pour le calcaire, il avait eu l'idée de prendre pour forme fondamentale le prisme, ou la double pyramide hexagonale, comme l'ont fait d'autres cristallographes, il se serait vu dans l'obligation de recourir à des modifications hémiédriques, pour déduire de ce type le rhomboèdre.

Selon le professeur Weiss, les formes hémiédriques seraient le résultat d'une nouvelle manière de se modifier des cristaux, qui, au lieu de changer de forme, comme à l'ordinaire, par une addition de facettes, en changeraient dans certains cas par la soustraction ou l'évanouissement de la moitié des faces habituelles, en sorte que la nature aurait la faculté de produire tan* tôt des cristaux entiers ou, complets, et tantôt des demi-cristaux. Voilà ce que les cristallographes allemands admettent en principe, sans chercher en aucune manière à l'expliquer. À ce point de vue, les fermes hémiédriques sont considérées beaucoup moins comme de nouvelles espèces de formes, que comme de simples variétés par défaut des formes holoédriques : elles ne seraient que ces dernières formes dans un état de développement incomplet; à cela près, il n'y aurait rien de changé dans la nature de la masse : tout se passerait à l'extérieur comme pour les modifications symétriques ordinaires.

Cette opinion, si elle était admise d'une manière absolue et sans preuve, entraînerait de graves inconvénients, tant sous le rapport purement cristallographique, que sous celui de la physique des corps cristallisés. En effet, s'il n'est pas encore rigoureusement démontré pour tous les cas d'hémiédrie, que ce genre particulier de configuration soit la conséquence nécessaire de 1 état intérieur du cristal lui-même, il est bien constant que dans la plupart des cas il a lieu par suite d'un changement dans la constitution, ou dans l'arrangement moléculaire du corps cristallisé. 11 faudrait donc au moins distinguer deux sortes d'hémiédrie, dont Tune aurait son fondement dans le cristal luimême, et dont l'autre serait tout-à-fait accidentelle, et ne dépendrait que de circonstances extérieures.

loédrfque, les parties auxquelles la structure assigne une valeur physique diffiftrtnto. ÇSUmmUe dur Krystallographù; Leipsick, 1856.)

D'un autre côté, Phemiédrie accidentelle, admise trop légèrement, comme un fait général et commun à tous les systèmes, tend à diminuer l'importance des formes cristallines, et surtout des considérations symétriques sur lesquelles se fonde leur étude. On ne saurait donc se montrer trop difficile sur la valeur des preuves qui pourraient établir ce fait, d'autant mieux que, si dans chaque espèce minérale, les formes peuvent Se montrer indistinctement avec toutes leurs faces, ou seulement avec la moitié de leur nombre, on ne voit pas pourquoi, jusqu'à* présent, un si petit nombre de minéraux ont offert le cas de Phemiédrie, ni pourquoi les deux genres de formes hémiédriques, qu'à l'exemple des minéralogistes allemands nous avons distingués plus haut, ne se sont jamais rencontrés dans la même espèce (i).

En résumé, Phemiédrie est un fait qui, ramené à sa juste valeur,, ne porte aucune atteinte aux lois connues de la cristallisation, et ne peut donner lieu à établir un nouveau principe. La génération des formes hémiédriques s'opère d'après la règle

(1) Dans ses Eléments de Cristallographie, M. G. Rose, après avoir décrit les formes hémiédriques du système régulier, qu'il partage en formes hémiédriques à faces inclinées et formes hémiédriques à faces parallèles, fait remarquer que ces deux genres de formes, dont le premier a pour type le tétraèdre, et le second le dodécaèdre pentagonal, n'ont point encore été observées en combinaison Tune avec l'autre, et il ajoute que c'est un tait dont on ne voit pas bien la raison. Il est certain qu'au point de vue allemand de l'hémiédrie ce fait ne serait pas explicable; mais il n'en est pas de même dans la manière de voir que ft défends ici ; aussi, me fondant sur l'incompatibilité apparente des deux genres de structure par lesquels on peut se rendre compte de l'une et de l'autre forme, je n'ai pas hésité à dire (Thèse sur la Structure des Cristaux, p. 8) que TOn ne rencontrera point ensemble, dans une môme substance, les deux formes hémiédriques précitées, savoir : le tétraèdre régulier et le dodécaèdre pentagoneA. Dans sas belles Etudes criatallographiques, p. 139, M. Bravais pense que j'ai été trop loin, en m 'exprimant ainsi, et il semble, en effet, que mon assertion ait été détruite par les observations de M. RammeLsberg sur les formes du chlorate de soude, parmi lesquelles on rencontre des cristaux qui ont l'apparence du tétraèdre, avec d'antres qui offrent celle du dodécaèdre de la pyrite, liais celui-ci ne pourrait être déduit du tétraèdre régulier, qui est déjà une forme hémiédrique, que par une nouvelle hémiédrie du scalénoèdre à 24 faces, FUn des dérivés naturels du tétraèdre; il doit donc offrir, dans sa structure, le caractère propre aux formes tétartoédriques. On arriverait à la même conséquence pour le tétraèdre, si on cherchait à le déduire du dodécaèdre pentagonal. C'est ce que M. Naumann a parfaitement bien démontré dans la dernière édition de ses Eléments de Cristallographie. Les deux formes observées par M. Rammelsberg ne sont donc pas les deux solides hômièdres ordinaires : ce sont dos solides tétartoèdres, qu'il faut considérer comme de simples limites ou des cas particuliers d'autres formes d'un aspect généralement irrégulier, et qui, en prenant accidentellement une apparence plus simple, n'en conservent pas moins à l'intérieur la structure et le genre de dissymétrie propres aux formes tétartoédriques.

LOIS BIS FOABIBS CBfSTALUNES. 95

commune ; et les modifications* qui les produisent, n'échappent point à la loi de symétrie bien entendue. Toutes les fois qu'un même solide géométrique appartient à plusieurs groupes différents de formes, il présente, dans chacun d'eux une loi particulière de structure et de symétrie. Chaque mode réellement distinct d'hémiédrie ou de tétartoédrie a pour cause un changement dans la forme de la molécule, et, par suite, dans la polarité des axes : il en résulte une modification dans la symétrie générale, un véritable changement de système. Les diverses séries de formes hétniédriques, qu'amènent ces modifications dans la polarité, ne doivent pas être considérées seulement comme des subdivisions du système qui comprend, au nombre de ses formes simples, les formes holoédriques correspondantes; chacune d'elles détermine un nouveau système : car, les solides d'apparence holoédrique, qui se rencontrent avec elles dans une même, espèce, et qui n'accusent pas l'hémiédrie par leur aspect, Kaccusent toujours par leur structure, par leurs propriétés physiques, et par la marche particulière de leurs modifications, le mémo caractère de symétrie devant se retrouver dans toutes lesformes coexistantes; et comme ce caractère doit exister aussi dans la molécule, il suffit, pour se rendre compte de la structure des cristaux hémièdres, de composer leur réseau cristallin de molécules ayant elles-mêmes une forme hémiédrique, et l'on c\ioisir% naturellement la plus simple, savoir : le tétraèdre, dans le cas de la boracite, et Je dodécaèdre pentagonal dans celui de la pyrite commune (voyez figures 19 et 20, pi. 1). Cette préférence que je donne maintenant à un polyèdre moléculaire qui accuse la symétrie par sa forme , sur d'autres qui ne l'exprimeraient que par leur structure atomique, a été indiquée par moi, pag. 26 de la Thèse déjà citée ; et, depuis, j'ai toujours eu recours à ce moyen avantageux dans mes leçons à la Sorbonne (i).

(1) Dans un Mémoire sur la cristallisation, inséré au tonie VIII des Savants étrangers, et dont la publication a précédé celle de la Tiièse dont j'ai parlé cidessus, j'avais expliqué la structure de quelques cristaux hémièdres, au moyen de molécules qui n'accusaient l'hémiédrie que par leur structure. J'ai eu le ' malheur de ne pas être compris par M. Dufréaoy dans ce que j'ai dit relativement à la pyrite, et ce savant distingué me prête, à cet égard, des idées qui ne sont pas les miennes, dans le Ier volume de son Traité de minéralogie, p. 59 et p. 213. Je répondrai plus loin aux objections qu'il m'a faites; je montrerai que les prétendues difficultés qu'il voit dans mon explication de l'hémiédrie, en ce qui concerne la pyrite et la tourmaline, n'existent réellement pas, et que cette explication peut être étendue à tous les cas d'hémiédrie sans exception : car, il suffit pour cela de prendre dans chaque cas particulier, pour représenter la molécule, la plus simple des formes hémiédriques observées dans l'espèce minérale.

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96 LIVRE I. CHAPITRE lit.

Tai eu la satisfaction de voir que M. Leymerie, professeur à la Faculté des sciences de Toulouse, a été conduit de son côté à l'adoption du même principe, et je m'applaudis beaucoup de me trouver d'accord sur ce point, comme sur beaucoup d'autres, avec un esprit aussi éclairé et aussi judicieux.

§ 12. Loi de dérivation des faces par les multiples ou par les parties aliquotes des axes. — Signes cristallographiques.

Après avoir exposé avec tous les détails nécessaires la loi de symétrie, qui est la clef de la connaissance des systèmes cristallins, nous aurions maintenant à en faire l'application aux différentes formes admises comme fondamentales par les cristallographes, pour arriver par ce moyen au développement de chacun des systèmes qu'ils ont observés; mais auparavant, nous devons faire connaître la seconde des lois générales de la cristallisation que nous avons mentionnées ci-dessus, savoir : la loi de dérivation des faces cristallines, par des troncatures rationnelles, loi qui règle leurs directions ou positions relatives, et par conséquent leurs inclinaisons mutuelles, et qui nous permettra de calculer les angles dièdres des cristaux les uns par les autres.

La loi dont il s'agit est une loi de proportionnalité pour les axes des formes cristallines, qui représente exactement en cristallographie celle des proportions multiples dans la chimie minérale. Rappelons-nous la définition que nous avons donnée des axes de cristallisation : ce sont des lignes de symétrie, qui passent par le centre du cristal et vont aboutir aux sommets des angles solides opposés, ou bien- au milieu des faces ou des arêtes. Rappelons-nous encore que toutes les formes d'un même système ayant la même symétrie , tous les axes qui ont été observés et déterminés dans l'une, se retrouvent dans les autres exactement dans les mêmes positions relatives, en sorte que si toutes les formes sont convenablement orientées, les axes correspondants peuvent être respectivement parallèles. On doit toujours supposer les formes cristallines d'un même système placées les unes relativement aux autres, de manière à satisfaire à cette condition d'un parallélisme général entre leurs axes correspondants : c'est ce que l'on exprime lorsqu'on dit qu'elles sont en position parallèle les unes à l'égard des autres. Cela posé, si l'on ne considère plus seulement la position de ces axes, qui est la

LOIS D88 PONSKS CRISTALLINES. Qj*

dans tontes ks Corail» du système, mais leur longueur, on trouve que les longueurs relatives des axe» correspondants? varient en général, lorsqu'on passe d'une ferme simple fermée,, à use autre forme fort simple. En d'autres termes, si l'on se représente les cbVerses formes comme étant toutes construites autour d'an même centre et d'un même système d'axes de longueur infinie, les distances, par rapport au centre, auxquelles les faces de chacune d'elles couperont les axes, ne seront pas généralement les mêmes; et si l'on part d'une forme particulière dans laquelle ces portions d'axes aient des valeurs déterminées, il faudra, pour avoir celles qui se rapportent à une autre forme, multiplier ou diviser les premières valeurs par de certains coefficients numériques. Or, voici quel est l'énoncé de la loi qui règle cette nmhiplication des axes.

Soient OX,OY,OZ,fig. 38, pi. III, trois axes passant par le centre o d'un cristal. Supposons qu'une face cristalline ABC, faisant partie d'une des formes simples du système, coupe les axes à des distances OA, O B, O C, égales à a, 6, c : toute autre face, A' B' G', du même système, coupera les mêmes axes à des distances a', 6', c% qui seront aux premières dans des rapports simples et rationnels; c'est-à-dire que l'on aura: a*:b'ic'~»ma:nb:pcf mjL,p étant des nombres entiers on fractionnaires, le plussouvem très-petits. Ce caractère de quantités rationnelles, que présentent toujours les valeurs des coefficients m^n%py a fait donner aussi à k loi dont nous nous occupons, le nom de loi de mtianmiké. On pourrait encore l'appeler loi de dérivation par les multiples des axes fondamentaux. Car, comme on ne peut déterminer que les valeurs relatives af, 6% c", lesquelles sont suffisantes pour foire connaître la direction du plan A'B'C, on est maître de multtplier ou de diviser les trois coefficients»!, n,p, par le même nom* bre à la fois, et, par conséquent, si ces coefficients sont fraction* Mires, on pourra les ramener tous à la forme de nombres entiers: il suffira peur cela de les transformer d'abord en fractions de même dénominateur, et de supprimer ensuite le dénominateur commua. Tels sont les signes dont a mit usage k professeur Weiss, et Ton voit que la loi qu'ils expriment, est une loi de nombres entiers généralement fort simples.

On peut aussi, dans tous les cas, représenter la relation

a'-.fc'ic' par — — . a: . 6: -— . c, en réduisant tous les coëffi-

cieuts à la forme de fractions ordinaires dont le numérateur soit i ;

Cours de Minéralogie. Tome I. 7

g8 L1YAK I. CSAPITRB III.

il suffit pour cela de réduire les coefficients en fractions de même numérateur, et de diviser ensuite toutes ces fractions par le numérateur commun. M. Neumann, et quelques autres cristallographes après lui, ont donné la préférence à cette seconde forme. En l'adoptant, on peut dire que la dérivation des faces s'obtient en prenant des sous-multiples, ou parties aliquotes des axes fondamentaux.

Enfin, on peut encore, si on le juge à .propos, exprimer la relation générale mai nb:pc en partie par des coefficients entiers, et en partie par des coefficients fractionnaires. Entre toutes ces expressions parfaitement équivalentes, on choisira dans chaque cas celle qui paraîtra la plus simple, ou qui facilitera davantage les calculs cristailographiques.

Les trois axes OX,OY,OZ, peuvent être considérés comme des axes de coordonnées, auxquels on rapporte la position des divers plans d'un système cristallin. Il y a seulement cette différence entre la cristallographie et la géométrie analytique, qu'ici ces axes ne sont pas choisis tout- à- fait arbitrairement, mais qu'ils doivent être pris dans les cristaux eux-mêmes. Or, en géométrie, on donne le nom de paramètres aux trois sections OA, O B, O G, faites sur les axes par un plan ABC; on peut donc aussi donner ce nom aux quantités a, 6, c, qui sont les constantes de la dérivation des faces secondaires : les coefficients m, n9p s'appelleront les coefficients de dérivation, les coefficients paramétriqueSjOu simplement lesindices ou caractéristiques du plan secondaire, celui-ci pouvant être représenté par le symbole (ma:nb:pcj que l'on nomme son signe cristatlographique ; ou même parle signe encore plus simple (mnp), pourvu qu'on se rappelle celui des axes auquel chacun des coefficients se rapporte, d'après la place qu'il occupe dans le signe général, dont celui-ci n'est qu'une abréviation (i).

La loi précédente n'a pas lieu seulement pour un système d'axes composé de trois seulement, mats pour un système quelconque d'axes, menés tous par le centre. Quel que soit le nombre de ceux qui s'y croisent, ils sont tous coupés par les faces cristallines dans des rapports rationnels. Ainsi, que l'on se représente

(1) Le signe cristallographique mainbipc équivaut à l'équation du plan, rapporté aui trois axes de cristallisation, laquelle est, en fonction des para-

mètres' -zr + inr + tt - * ■

tna no pc (Voyez sur ce point l'Appendice placé à la fin de ce volume.)

LOIS DBS FOBMBS CBISTALLINES. ,99

les quatre axes, qui, dans une (orme octaédrique, vont aboutir au milieu des faces, et que ces axes, de longueur déterminée, soient entre eux comme a:b:c:d, tout plan cristallin sera dirigé de manière à couper les mêmes axes (prolongés, s'il est nécessaire) dans les rapports ma.nb.pc.qd; m,n,p et q étant des quantités rationnelles, et même, si Ton veut, des nombres entiers; et il en serait de même pour un nombre d'axes plus considérable. Seulement, comme trois des paramètres ma,nb,pc et qd suffisent pour déterminer complètement la position du plan, on sent bien que lorsqu'on considère plus de trois axes, il doit y avoir entre les indices rn}n>pt q9 etc., des relations qui permettent de les calculer tous, dès que trois d'entre eux seulement sont connus. Dans le cas de quatre axes, si l'on suppose que les indices m et n se rapportent, non pas à deux axes consécutifs, mais à deux axes pris alternativement, sur l'angle solide déterminé par leur concours, on aura la relation très-simple

j*a__ pi ll)9

que l'on peut mettre aussi sous cette forme

Enfin, la même loi de proportionnalité des segments ou paramètres correspondants n'a pas lieu seulement pour les axes de la forme , que Ton a choisie comme primitive, mais encore pour les arêtes de celte forme, et généralement pour toutes les droites, qui, dans la série infinie des formes d'un même système, remplissent les fonctions d'axes ou d'arêtes , et sont toujours déterminées par les intersections mutuelles des faces (2). Il est facile de voir, en effet, que les mêmes lignes, qui, dans une forme pyramidale, jouent le rôle d'axes, remplissent à leur tour la fonction d'arêtes dans une forme prismatique; et réciproquement. Tel est le cas de l'octaèdre et du parallélipîpède de la figure 39, qui nous montre ces deux formes inscrites ou circonscrites l'une à l'autre, de manière que les faces du parallélipîpède sont tangentes en leur milieu aux angles de* l'octaèdre et

(1) Voyez le même Appendice.

(2) C'est ce qui a porté les cristallographes allemands à généraliser la définition des axes des cristaux, que nous avons donnée p. 28. Pour eux, toute droite, menée du centre d'un cristal, et qui est susceptible d'être coupée dans des rapports rationnels par tous les plans du sytême, est un axe.

lOO Uf»t t. GttAftVRS Ht. /

parallèles aux sections principales de ce mette solide. De ce rapport entre les denx formes, il résulte évidemment que le» arêtes du prisme circonscrit sont égales et parallèles aux axes dé l'octaèdre. Ces deux formes, que nous appellerons corrélatives, sont déterminées par les mêmes paramètres, ou axes finis, avec cette différence que les faees de Tune passent par les trois axe* à la fois* tandis que ceHes de l'autre ne coupent chacune qu"utr Seul axe, étant parallèles aux deux autres.

On remarquera que les formes qui offrent ce genre de corrélation, sont telles que tes faces de Tune peuvent être considérée* comme des modifications tangentes aux angles de l'autre, en prenant ici ce mot de tangentes dans le sena cristallographique que nous lui avons donné ailleurs (pag. 4 3). Ces deux formes jouissent encore d'une propriété remarquable , relativement à la dérivation des faces secondaires : les signes de ces faces restent absolument les mêmes, qu'on les rapporte aux axes de Tune, ou aux arêtes de l'autre. C'est ce que montre clairement la fig. 4o* dan8 laquelle les paramètres oa9 ob, oc, comptés sur les axes, sont respectivement égaux et parallèles aux segments o'a', o' 6', oV, pris sur les arêtes, ce qui entraîne le parallélisme ou l'identité de direction des deux plans dérivés abc et a\ b\ c\

§ i3. Des signes à caractéristiques nulles ou infinies. — Notation particulière > dans laquelle on n'emploie que des caracté* viatiques finies*

Le signe (ma:np:pc) peut être considéré comme l'expression d'une loi particulière de troncature des axes par un dés plans du système; il semble supposer que ce plan coupe à la fois les trois axes, et il fait connaître dans quel rapport il les coupe, en comptant les segments à partir de l'origine. Mais, il arrive pour un très-grand nombre de plans du système, et même pour ceux que l'on observe le plus fréquemment sur les cristaux naturels, que ces plans ne rencontrent pas tous les axes, étant parallèles à un ou plusieurs d'entre eux; et le signe dont il est question, pour posséder toute la généralité désirable, doit pou* voir exprimer cette circonstance. Or, dire qu'un plan est parallèle à une droite, cela revient à dire, en langage géométrique, qtrîl va la couper ft une distance infinie.

Supposons donc qu'un certain plan du système soit parallèle à l'axe a, le paramètre du plan, relatif à cet axe, aura une valeur

LOIS #£* fOPMW <3H#T*I*INES. 101

infiniment grande, et pourra être représenté par ooft,en se servant de oo comme symbole de l'infini, ^insi, le signe (<x>#:nbz pc) désigne une iace parallèle à l>xe «, et qui coupe les deux Autres axes£et c à des distances finies ; le signe ( oo a : ooÀ: n e ) en désigne une autre, qni est parallèle à la fois aux deux premiers axes a été. Dans les deux formes corrélatives, fig. 89, pi. III, (ma; 006: ooc),(ooa:«6:coc), (coax qcbipc) désigneront les trots lacet» adjacentes du paraJlélipipôde circonscrit, tandis que les laces de i'octaÀdne inscrit seront exprimées chacune par un signe de la forme (ma : nb ip c), où il n'entrp que des quantités finies.

Le signe (mambip e) a donc toute la généralité qu'on peut désirer; son emploi ne peut laisser aucune ambiguïté sur la position du plan qu'il représente, à l'égard dp* axes» si, comme sous le dirons dans un instant, et comme on le fait dans la géor métrie analytique, on affecte chacun des coefficients paramé- ' triques du signe 4- ou du signe — , selon que le plan coupe 4'axe qae Ton oonsîdère d'un côté par rapport à l'origine, ou bien du côté opposé. Mais, parce que les faces cristallines parallèles aux axes sont généralement ceHes qui se rencontrent le plus fréquemment dans les formes d'un minéral, il arrive que, dans les signes qui les représentent, le symbole oo se répète un grand nombre de fois, ce qui allonge beaucoup ces signes et produit un effet désagréable sur l'œil des personnes peu familières avec les conception? mathématiques. Aussi a-t-on cherché de plusieurs manières à éviter l'emploi de ce symbole et à n'employer <jnje des notations à caractéristiques finies.

le forai d'abord remarquer que dans Jes «Agnes de ffeutnann, adoptés par MM. Frankenheia», Miller et Jiravafe, le coefficient infini 00 disparaît, et est remplacé partout par le coefficient 9.

Dans le signe çéoéral/-^-. * : - b : — r- c y, ou dpns le /signe

le plus simple [g h *] par lequel on le représente, les quantités g, hf kK

sont telles que leurs inverses —, -r-, — -sontproportionndles

aux coëffiduepu wf^^ du signe , de Weiss. Jl auit 4e te que, qu*nd un de ces derniers coefficients devient 00, l'indice correspondant dans l'autre signe devient nécessairement o. Par exemple, le signe (ooa:a6:3c) dans Tune des notations, a pour correspondant dans l'autre le 3igoe [ofc] (1).

1) Pour passer do signe [mnp) au signe [ghk], ou réciproquement, il suffit

Hais on peut éviter à la fois les indices oo et o, et n'avoir que des signes à caractéristiques finies et entières, en adoptant le système de notation imaginé par Haiiy, et légèremeût modifié par J. Brooke (i) et par A. Lévy (rx). Des deux formes corrélatives (fig* ^9, pi. III), l'une octaédrique ou bi-pyramidale, et l'autre prismatique, et parmi lesquelles on choisit ordinairement la forme fondamentale, celle qu'Haiïy prend pour type ou forme primitive est le prisme dont les arêtes sont égales et parallèles aux axes a, 6, c de l'octaèdre. Les faces de ce prisme correspondent aux sections principales de l'octaèdre, et sont par conséquent parallèles à deux des axes; dans la notation de Weiss, leurs signes cristalkgraphiques contiendraient deux fois le symbole 00 : Haiiy dans ce cas évite l'emploi de ce symbole, en désignant ces trois plans fondamentaux par les lettres P, M, T, qui sont les initiales du mot primitif.

Le cas dans lequel une face secondaire serait parallèle à l'un des axes seulement, et où le symbole 00 ne figurerait qu'une seule fois dans le signe, est celui d'une modification ou troncature simple, qui aurait eu lieu sur une des arêtes du prisme fondamental. Haiiy désigne les diverses arêtes de ce prisme par les consonnes B, C, D, F, G, H, et les angles solides par les voyelles A,E,I,Ov comme on le voit fig. 4i> pi* III; une modification parallèle à l'arête D, qui couperait les arêtes B et 6 dans le rapport de a B à 3 G, serait représentée dans la notation de Weiss par le signe ( 00 D : 2 B : 3 G ) : Haiiy dans ce cas échappe encore à la nécessité de recourir au symbole 00, en prenant pour base de son signe la lettre D qui marque l'arête à laquelle la face est parallèle, et en plaçant à la droite de cette lettre, en manière

d'exposant ou d'indice numérique, le nombre fractionnaire — ,

qui indique le rapport dans lequel cette face coupe les deux autres axes ou arêtes du prisme, B et G. Ainsi, dans la notation

d'Haiiy, le simple signe Ds équivaut au signe plus compliqué ( 00D: 2B:3G). MM. Brooke, Lévy et Dufrénoy ont adopté ce genre de notation : seulement, ces deux derniers minéralogistes

de chercher le plus petit multiple commun aux trois caractéristiques connues, et de le diviser successivement par chacune d'elles, pour avoir celles de l'autre signe.

(1) A famiUar Introduction to CrystaUography ; in-8», London, 1823.

(t) Description d'un* Collection de minéraux; 3 vol. in-89, avec Atlas; Londres, 1837.

emploient, au lieu de majuscules, les petites lettres correspondantes, pour désigner les facettes secondaires : dans leurs ouvrages, la face ci-dessus aurait pour sigue <P*.

Reste maintenant le cas des modifications sur les angles, ddos lequel la face secondaire coupe toujours à la fois, et à des distances finies, le% trois axes ou les trois arêtes adjacentes B, D, 6 du prisme fondamental. Haiïy le subdivise en deux autres: i° celui dans lequel la face coupe également, c'est-à-dire suivant le même multiple, deux au moins des trois arêtes (c'est le cas de ses décroissements ordinaires sur les angles); et a° celui où elle les coupe inégalement toutes les trois (décroissements intermédiaires).Le premier cas comporte une simplification analogue à celle de la modification sur les arêtes. Supposons une face qui coupe les trois arêtes de l'angle E aux distances a B, 2 D, 3 G : elle aurait pour signe, dans la notation de Weiss, (aB: aD:3G); mais comme deux des indices sont égaux, et qu'il suffit de connaître le rapport de ces deux indices au troisième, Haiïy, dans ce cas, donne pour base à son signe la lettre E, qui désigne

l'angle tronqué, et place à sa droite la fraction — -, indiquant le

rapport suivant lequel la troncature a eu lieu. On a ainsi le signe

très-simple E '• ou e '' selon Lévy et Dufrénoy. Le second cas ne comporte aucune simplification, et le signe (BmDBGp) indique complètement la loi de troncature ou de génération de la face, aussi bien que le signe de Weiss (m B : nD :p G) dont il est l'équivalent manifeste (1).

§ i4* Détermination cristaUographiqtte des dimensions des formes prismatiques.

D'après ce qui a été dit des deux formes corrélatives représentées fig. 39, pi. m, il revient absolument au même de rapporter toutes les formes secondaires d'un système à un octaèdre» en comptant les paramètres sur les axes, ou de les rapporter au parallélipipède tangent, en comptant alors les paramètres sur les

(1) Le signe (B» D» Gp) n'est pas le signe théorique dont Haflj s'est servi pour marquer ce qu'il a appelé un décroissement intermédiaire. Mais il le connaissait, et, avec son consentement, j'en ai fait usage dans le second volume de sa Cristallographie (t. II, p. 228), comme en plusieurs endroits de la seconde édition de sa Minéralogie, sous le nom de signes techniques. Ils sont bien préférables aux signes théoriques correspondants, comme on en jugera par ce que j'en dirai plus loin, dans l'Exposé de la Théorie des décroissements.

f<>4 Uni I. CSANTRE Ht.

arêtes. Les cristaUegcaphes allemands adoptent pour forâtes fondamentale^, dans les différents systèmes , des formes octaëdtiques, ou plus généralement bi-pyramidales; et ils motivent cette préférence qu'ils leur accordent sur les formes prismatiques, en disant que les premières sont susceptibles d'une détermination complète et immédiate. Le rapport de leurs axes peut en effet se déduire trigonométriquement de la mesure de leurs angles dièdres. Haiiy, et la plupart des cristallographes de son -école, choisissent au contraire les parallélépipèdes, ou plus généralement les formes prismatiques : mais ils sont obligés, dans le plis £rand nombre dies cas, de déterminer crùuUfagrqphiquemetU les dimensions linéaires du prisme dont ils ont fait choix, c'est-àdire de les mettre en rapport avec celles d'une antre forme, telle qu'un octaèdre, dont la détermination ait pu se faire immédiatement. Or, si Ton a soin de régler les dimensions du parallélépipède fondamental aur celles d'un octaèdre correspondant, en considérant celui-ci comme inscrit dans le paraUéfyipède, les lois de dérivation des faces secondaires fieront exactement les mêmes à l'égard de l'une ou de l'autre forme : ce sera donc comme si l'on avait pris l'octaèdre pour point de départ. C'est là précisément ce que fait Haiïy, lorsqu'il a à déterminer les dimensions d'un prisme quadrangulaire, choisi par lui comme forme primitive. Toujours il fait en sorte que ces dimensions a, 6> c soient les valeurs mêmes des paramètres de certaines faces secondaires appartenant à un octaèdre; c'est-à-dire que ces faces secondaires, rapportées au parallélipipède dont les arêtes sont a, 6, c, doivent en dériver par la loi la plus simple de toutes (celle dont les indices égalent l'unité), et par conséquent avoir pour signe (a:b:c); or, elles auraient aussi le même signe , si on les rapportait à l'octaèdre inscrit, dont les axes sont a, 6, c; et ce signe (a : 6 : c) étant précisément la notation des faces de cet octaèdre, il y a donc identité entre ces dernières et les faces secondaires qui ont servi à déterminer les dimensions a, 6, c.

Ainsi, lorsqu'on a recours à la considération de certaines faces secondaires, pour déterminer les dimensions linéaires d'un prisme fondamental, c'est comme si Ton prenait pour point de départ du «système l'octaèdre dont ees faces font partie ; et par conséquent, on voit que le cas des formes primitives prismatiques se trouve ainsi ramené à celui des formes octaédriques, où le calcul des dimensions linéaire* ne peut donner ban à aucune difficulté.

LOIS DES FOBMES CRISTALLINES. Jo5

Lorsqu'à l'exemple d'Haiïy, on opère les sections paramétriques oV, o%', oV (fig. 4<>)9 sur les arêtes des formes fondamentales, elles déterminent alors la position d'un plan secondaire a'6V qui aurait abattu ou tronqué l'angle solide o\ et que l'on peut considérer par conséquent comme une troncature faite sur cet angle. La loi de dérivation des faces cristallines est donc la loi qui détermine ces plans d3 troncature, par lesquels s'opère le passage d'une forme à une autre : elle n'est que la loi des troncatures elles-mêmes, et pourrait par conséquent recevoir cette dénomination. On verra plus loin pourquoi Haiïy a cru devoir la désigner par le nom de loi des décroissements*

% i5. Preuves de la réalité de la seconde loi de la cristallisation.

Dans ce qui précède, nous nous sommes bornés à exposer la loi d'après laquelle ont lieu toutes les dérivations de faces secondaires, sans rien dire des preuves qui en établissent la réa- • lité. Cette loi peut se démontrer de deux manières :

i° A priori^ et indépendamment de toute vérification expérimentale. Cette loi en effet n'est qu'une conséquence naturelle de cette structure en réseau , qui caractérise essentiellement la cristallisation, et qui est elle-même le résultat nécessaire des laits bien connus de l'accroissement et du clivage, combinés avec l'hypothèse atonùstique. D'après ce mode de structure, les trois axes ou lignes fondamentales du réseau O A, O B et 0 C, £g. 4** pi. III, ne sont que des files moléculaires, dans chacune d'elles les centres des molécules sont également distants ; et si l'on nomme a la distance moléculaire sur l'axe O A; 6 et c , les distanoes moléculaires sur les axes OB, OC, toute face terminale oblique» telle que a 6 y, devra nécessairement passer par trois molécules a, 6, -y, prises respectivement sur ces trois axes; chaque segment ou paramètre sera donc un multiple de l'intervalle moléculaire qui correspond à Taxe auquel il appartient; et .si, pour une certaine face, le :. ramètre compté sur l'axe OA est égal A a a, et pour une autre face à 3 a, le rapport des deux paramè-

tros correspondants sera égal à -r — , ou à —, par conséquent

DÛ é

rationnel. Nous reviendrons sur ce genre de démonstration à l'article où nous Irriterons spécialement de la structure cristalline, et de la théorie des décaissements qui s'y rattache : on y verra

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que la condition des caractéristiques entières n'est que la traduction purement géométrique du fait et de la loi physiques des décaissements moléculaires. •

a0 A posteriori, par la vérification qu'on peut en faire trèsaisément pour un grand nombre de cas, et par l'accord qui ne s'est jamais démenti jusqu'à présent entre les résultats que le calcul en déduit, et ceux que donne l'expérience. Ce genre de preuves étant le seul qu'il nous soit permis de faire valoir en ce moment, nous croyons devoir entrer dans quelques détails à ce sujet.

La loi cristallographique, suivant laquelle les paramètres qui déterminent la position des faces cristallines sont toujours des multiples ou sous-multiples simples de certaines longueurs ou proportions normales, a la plus grande analogie avec la loi chimique des combinaisons en proportions définies : elle peut se vérifier de la même manière. En chimie, on constate la loi des proportions multiples, en comparant entre elles les diverses combinaisons de deux éléments, dans lesquelles un de ces éléments entre toujours pour la même quantité : on trouve alors que les proportions variables du second élément sont toujours des multiples de l'une d'entre elles, par les nombres les plus sim-

4 3 pies — -, i,— , a, 3, 4) 5 De même, en cristallographie,

on peut se proposer de comparer entre elles, sous le rapport de leur troisième paramètre, a, a' a".... des faces qui auraient les deux autres paramètres 6 et c communs, comme on le voit fig. 43, pour les ABC, A'B'C, A"B"C..., etc. (D'après la définition que nous avons donnée du mot zone, pag. 44» H e*t ^v*" dent que toutes ces faces font partie d'une même zone, dont la direction est marquée par la ligne BC.) Eh bien! si d'après les mesures des incidences de ces diverses faces sur le plan cornmunyoz, on calcule les valeurs numériques des paramètres

oA, oA'oA" , on trouvera que ces valeurs sont aussi des

multiples de l'une d'entre elles par des nombres entiers ou fractionnaires très-simples , et qu'ainsi le troisième paramètre est généralement de la forme ma* Ce que nous avons dit des faces qui avaient deux paramètres communs b et c, peut se dire également de celles dont les signes s'accorderaient par deux autres paramètres quelconques, a et c, ou bien a et 6^ le paramètre variable serait toujours représenté par nb, ou par ne. L'exemple que nous citons nous paraît suffisant pour montrer comment on peut se convaincre de l'existence de la loi des troncatures.

L'énoncé de cette loi comprend deux conditions distinctes: la m» tîormalké des indices de dérivation ou des coefficients paramétriques^ la simplicité At leurs valeurs numériques. La première partie de cet énoncé est susceptible de deux genres de démonstration, l'un théorique et l'autre expérimental ; la seconde partie, celle qui concerne la simplicité des indices, ne saurait être que le résultat général des observations faites jusqu'à ce moment sur tous les cristaux connus. Pour donner ici une idée de cette simplicité, nous dirons que lorsque les signes des faces cristallines sont mis sous

l'une des deux formes (ma :nb:pc) ou / a : — - b : -7- c V

les indices m>n9py ou gy h9 k ont le plus souvent pour valeurs les nombres les plus simples 1, 2, 3, 4, 5... , et que celles de ces valeurs qui dépassent les nombres d'un seul chiffre s'observent très-rarement.

L'importance de la loi des troncatures rationnelles est facile à comprendre. D'après cette loi, il suffit de connaître un seul plan (a:b:c) d'un système cristallin, ainsi que les angles que font entre eux les axes sur lesquels sont pris les paramètres a,6,c, pour être en état de calculer les autres plans du système, tous compris dans le signe général fmainbipcj, où l'on peut ne donner à m, n,p que des valeurs entières; et comme dans la nature . ces valeur» ne dépassent guère les nombres d'un seul chiffre, on est sûr, en essayant successivement les combinaisons des nombres les plus simples, de pouvoir connaître et calculer d'avance toutes les faces, et par conséquent aussi toutes les formes qui pourront s'offrir à nos observations.

Il faut remarquer que les mêmes paramètres peuvent être comptés sur les axes de l'octaèdre, ou sjir les arêtes du parallélépipède tangent, de huit manières différentes, en sorte qu'il y a huit plans différents, qui sont déterminés par des paramètres de valeur égale, et qu'on peut appeler à cause de cela faces woparamétriques. En effet, on peut prendre ces paramètres sur les demi-axes, qui composent un quelconque des huit angles trièdres formés autour du centre, ou bien sur les trois arêtes particulières qui composent un quelconque des huit angles solides du parallélépipède. Or, selon que la dérivation a lieu sur un de ces angles ou sur un autre, la direction du plan secondaire varie. Il faut donc avoir soin d'indiquer à l'avance celui des huit angles sur lesquels on doit compter les paramètres. On peut faire en sorte que cette indication soit contenue dans le signe lui-

J{>8 UVA* I. CHA^WRIS IV. *

même, et pour ceJa il suffit d'avoir recours k l'expédient dont on se sert en géométrie analy tique, qui est de donner aux quantités qui se comptent à partir d'un centre, sur deux demi-aaps opposés, les signes contraires + et — ». Par exemple, on conviendra de donner le signe + Jt tous les paramètres qui seront masures sur les trois demi-àxe? ox9Qy,otf %♦ 4*>, et le sigçe m- 4 i#ux qui seront mesurés-sur les demi-axe* ox\ Qy',oz\ 11 réèvàip de là «que les bui( faces, qui sont déterminées par les mimes paramètres (abstraction faite des signes + ex — ) et qui appartiennent à un même octaèdre, auront chacune un signe distinct» lorsque ces paramètres seront regardés comme pouvant être positifs ou négatifs. Ces, fruit signes particuliers son*:

fmaxnbipc) (-~m«;-t-«*6i — p<*)

(mai—nb:p<t) et («~-m«t*6: — p«?)

(—mambipc) (ma: — nb: — pé)

(~r-ma ;•— nt> :p*) (mm:ni:~- p«e).

Les feces opposées et parallèles ont des paramètres égaux et des signes contraires. — Ces huit signes peuvent se réunir en un seul signe complexe (d-ma:±nb:±pc)t qui représente alors un octaèdre, une forme simple tout entière.