AU PREMIER VOLUME

En divers endroits de ce volume, j'ai renvoyé à un appendice final, pour tous les points relatifs à la forme, à la structure ou à la physique des cristaux, dont les développements exigent l'emploi du calcul algébrique ou trigonométrique. Je me propose de traiter ici en peu de mots de ctux de ces points qui me paraissent offrir le plus d'importance; et je commencerai par la démonstration du théorème fondamental qui résume toute la théorie de Haùy, et dont l'énoncé se trouve à la page a86.

i . Démonstrations analytique et synthétique de ta loi fondamentale de la cristallographie, dke loi de rationnalité.

Nous avons vu, p. 393, que si l'on prend pour centre <Tun réseau cristallin un quelconque des points matériels dont il se compose, et pour axes cristallographiques trois rangées moléculaires, choisies parmi celles qui passent par ce point sans être situées dans le même plan, et sur lesquelles les distances des molécules aient des valeurs mùrima, ces axes se trouveront partagés en parties d'égale longueur ou paramètres; et si Ton mène des plans par trois quelconques des points de division, pris en même temps sur les trois axes, on obtiendra ainsi tous les plans du système cristallin. Il est évident que, si l'on regarde les trois axes cristallographiques comme des axes de coordonnées x,y, z, chacun de ces plans sera représenté par une équation aux paramètres -JJJJ-+ -jjy- H — — = 1, équivalente au symbole (m a : n 6 : pc)

dont font usage les cristallographes, et dans laquelle m, *>/» sont des nombres entiers, positifs ou négatifs. De ce mode simple ei uniforme de génération, on tire la ©on*

séquence que tous les plans du système coupent chacun des axes fondamentaux dans des rapports rationnels; mais cette loi de rationnalité existe encore par toute autre ligne cristallographiqiie, c'est-à-dire pdur tous les axes qu'on obtiendrait en joignant successivement le point central à tous les autres points du réseau. Haiïy a pressenti cette extension de la loi des troncatures rationnelles, comme il résulte de ses idées sur les noyaux hypothétiques ; mais il s'est contenté de la vérifier par quelques applications directes. J'ai le premier énoncé positivement cette loi générale en 1 825, dans un article des Annales des sciences naturelles^ où je passais en revue les divers systèmes de notation usités en cristallographie (1). On l'y trouvera présentée sous la forme d'un théorème, dans les termes suivants : « Un système de plans cris- » tallins étant donné par trois axes, subdivisés chacun en para- » mètres égaux, il existe une infinité d'autres systèmes d'axes qui » peuvent le reproduire, par la subdivision de chacun d'eux en » de nouveaux paramètres. » JHtais parvenu à démontrer ce théorème, au moyen des formules ordinaires de la transformation des coordonnées, en y introduisant la condition que les nouveaux axes fussent des lignes cristallographiques quelconques, menées par l'origine. Mais j'avais cru devoir supprimer cette 4émonstration dans l'article dont j'ai parlé, la nature du journal ne me paraissant pas comporter les développements de calcul qu'elle eût exigés.

Cette généralisation de la loi des troncatures rationnelles a dû naturellement s'offrir à l'esprit de beaucoup de cristallographes; toutefois, ce n'est qu'en i83i qu'on en trouve la première démonstration formelle dans le Traité de Crystallonomie du docteur KupfFer; d'autres démonstrations de la même loi ont été publiées successivement, par le docteur Frankenheim dans le Journal de Crelle, en i83a ; par M. Miller dans son Traité de Cristallographie, en 1839; par M. de Sénarmont, en i84*, dans la traduction française du même ouvrage ; par M. À. Bravais, en i85o, dans ses Etudes cristallographiques; et enfin, par M. Naumann, en 1856, dans la dernière, édition de ses Eléments de Cristallographie.

Ces diverses démonstrations, remarquables par leur élégance, présentent généralement ce caractère de complication, qui ne permet guère de les admettre dans des traités élémentaires. En les comparant avec celle à laquelle j'étais arrivé de mon côté

(1) jtmakt des Sciences naturtUts, tome VI, p. 121.

en i8a5, j'ai cru m 'apercevoir que celle-ci avait sur elles l'avantage de la brièveté et de la simplicité, et c'est ce qui me détermine à la donner ici, avant de faire connaître les résultats plus simples encore, auxquels je suis parvenu en suivant une marche purement synthétique.

Théorème. — Un système de plans cristallins étant donné par trois axes, subdivisés chacun en paramètres égaux, il existe une • infinité d'autres systèmes d'axes, qui peuvent le reproduire par la subdivision de chacun des nouveaux axes en paramètres. Pour les obtenir, il suffit de prendre sur les axes, à partir de l'origine, trois multiples quelconques des paramètres fondamentaux, et de les composer entre eux, comme on compose en mécanique trois forces de directions différentes, d'après la règle du parallélipipède des forces : on aura de cette manière un paramètre résultant et en même temps un nouvel axe; et l'on se procurera ainsi autant d'axes qu'on voudra, avec leurs paramètres correspondants, en variant les multiples des anciens paramètres.

Soit h -t-H — * • • • ( ' ) l'équation générale des plana

du système, a,6,c étant des quantités constantes qui représentent les paramètres primitifs, et m,n,p des quantités variables, mais toujours rationnelles.

Pour passer du premier système d'axes x, y, % à un autre système d'axes obliques X, Y, Z, on a les formules générales :

y=61,X + «tV+6,z[ (2); x=Yl,X + YiV+TszJ

et si l'on divise la première des équations (2) par ma, la seconde par n 6, la troisième par p c, et qu'on ajoute ensuite les membres correspondants, en tenant compte de l'équation (i), x,j,z seront éliminés, et l'on aura pour l'équation générale des plans rapportés aux nouveaux axes,

\ma^nb^vc/ ^\ma^nb^pc/ \ma nb pc/

Il reste à faire voir que' cette équation pourra se ramener à la forme

MA ^ NB ^ PC

A, B, C étant des constantes, et M, N, P des quantités variables rationnelles, si les nouveaux axes sont des lignes cristallographi- Cewn de Minéralogie. Tome I. 34

53o 4çppj^«e.

ques, c'est-à-dire si chacun d'^ux, pawnt déjà à Tosîgine par «a des nœuds du réseau cristallin, passe en outre par un second nœud, savoir : Taxe des X par le point dont lçs coordonnées sont mOfribtpfii l'axe des Y par le point »"a, nb,paCj et l'axe des Z par le point m'a, nbf p"c.

Représentons par A, B,C les distances dç ces trois points au centre commun des deux systèmes* Le premier point étant **r l'axe des X., ses nouvelles coordonnées seront X«?A, Y**o, Z*su>, tandis que les anciennes sont*x=m'«,y=;K'6,*=30rc. Les équations (a) deviendront donc :

m'aatttA, f**6*^6iA, ^css-ftA,

d'où Ton tirera :

m'a „ n'b tfc

at=-JT» *-T> ,,asT-

On aura de même :

m" a m %nb

'—jp * = ~jp * — Hb

Substituant ces valeurs dans l'équation (3), et faisant, pour simplifier,

VmA 1 , , M^ . i , ... - 1

L'équation (3) deviendra :

MA + NB "*" PC = 1'

dans laquelle À, B, G sont des quantités constantes, qui dépendent à la fois des anciens paramètres 4,6,0 et des angles que les nouveaux axes font avec les premiers, et où M,N,P sont des quantités variables, mais toujours rationnelles, puisqu'elles ne dépendent que des caractéristiques, m, n, p ; m', ri , p\ ètc; Dons, etc.

Le calcul précédent me parait assez simple, pour pouvoir être admis dans les traités spéciaux de minéralogie, et surtout dans ceux de cristallographie proprement dite; cependant il offre encore l'inconvénient die supposer la connaissance des formules de la géométrie analytique et de la transformation générale des coordonnées. Or, j'ai montré, dans un mémoire présenté, en

i856# à PAcadémie des Sciences (r), qu'il est possible de résoudre la mène question, et de plus d'opérer à volonté on changement soit partiel, soit complet, d'axes et de paramètres, ce qui est un point important en cristallographie, sans recourir à cet appareil de formules analytiques, et par des moyens purement géométriques, à la portée de tout le monde. J'ai obtenu ce résultat, en prenant pour peint de départ une proposition mcienneaMfct établie par moi dans le second volume dé la C*ktatlographie de Hauy (p. a3o)f et m'appuyaut ensuite sur quelques autres propositions qui se déduisent de la première.

Problème. — Étant données les valeurs relatives des segments déterminés sur les côtés d'un parallélogramme par une sécante, ou dans ceux d'un parallélipipède par un plan sécant, trouver la valeur relative du segment correspondant à la diagonale du parallélogramme ou du parallélipipède. Par la valeur relative d'un segment, nous entendons ici le rapport entre la longueur de ce segment et celle de la ligne entière dent il est détaché.

i° Pour le parallélogramme. Soient (fig. 82» pi. XVffl) <n, n les valeurs relatives des segments Op^Oq9 déterminés par la

sécante p q, c'est-à-dire les rapports -gp -gjj-; représentent par * la valeur cherchée du segment Or, ou le rapport QR . A cause des triangles semblables jsri, Qrf, on a :

ps Qg — Or Oq ~ Or ;

en divisant les deux termes de la première fraction par OB, ceux de la seconde par OR, et observant que fig~Tj| et "oïT égalent -r^-, on aura :

OÀ

1 es—s

, d'où l'on tire x = ; — (1)

. iïi-|-e

équation que l'on peut mettre sous la forme :

— =JL+JL (A).

(1) Sur on moyen de résoudre synthétfonement plusieurs des principales questions de cristallographie {Compte-Rendus Oe l'Académie des Sciences, du 7 juillet 1S56, p. 32).

mil

(1) L'équation x as . — peut serrir * calculer la relation qui existe entre

ui-f-n les valeurs relatives des quatre segments A*», Aïs, Ap, kq, déterminés par un

53a APPENDICE.

2° Pour le paraUélpipède. Soit mnp le plan sécant (fig. 84). Dans le parallélogramme extérieur OASC, on a, d'après la formule précédente et en représentant par s la valeur du segment diagonal Os»

J--JL+.L.

Dans le parallélogramme intérieur OBRS, dont la diagonale se confond avec celle du parallélépipède* on a, en appelant r la valeur du segment cherché Or,

r s n de là on conclut :

r mnp w

Corollaire. — Si le plan de troncature est transporté parallèlement à lui-même, jusqu'à ce qu'il passe par l'extrémité de la diagonale O R, auquel cas il rencontre les côtés du parallélépipède prolongés, au-delà de leurs extrémités, on a alors r— ■ i ; m, n}p ont des valeurs plus grandes que l'unité, et la formule précédente devient

mnp

A l'aide de ces formules très-simples (B) et(C), on peut démontrer facilement ce théorème : Un axe cristatloaraphique quelconque est coupé dam des rapports rationnels par tous les plans

plan de troncature sur les arêtes d'un octaèdre (fig. $3), relation qu'il est nécessaire de connaître, lorsqu'on veut appliquer la théorie des décroissements à une forme octaèdrique (Voyez la Cristallographie de Haûy, 2e vol., p. 231). Représentons par m,n,p,g les râleurs relatives de ces quatre arêtes, et par x celle du segment ko, détaché de l'axe de la pyramide, mon étant une ligne droite, les trois segments A m, Ao, An seront liés entre eux par l'équation

mn a> = — ; — .

ro-f-n

La même dépendance existera entre les segments Af>, Ao et kq, et on aura pq pareillement x = , .

Donc, en combinant ces deux résultats, on a •

ro+n pq m+n ~~ p+q * équation qu'on peut mettre sous ht forme

if un système cristallin. Il est facile en effet de déterminer la va* leur relative du segment formé par le plan de troncature mnpf sur toute droite cristallographique (axe ou arête) passant par le point O.

Soit Ox, Ojf, Oz (fig. 85) les axes fondamentaux; a, 6, c les paramètres qui leur correspondent, c'est-à-dire les longueurs constantes par lesquelles on doit diviser respectivement les segments OM, ON, OP pour avoir leurs valeurs relatives, en sorte que OM— ma, ON— né, OP—*pc; et soit OX un autre axe cristallographique quelconque.

La condition qui en fait une ligne de ce genre, est que, passant déjà par un des points O du réseau cristallin, il doit en même temps passer par un second point du réseau, tel que Q, et dont les coordonnées (c'est-à-dire les côtés du parallélipipêde construit sur les axes primitifs et qui a son sommet en Q) auront pour expressions m'a, n'o,p'c, dans lesquelles m ri p. sont des qualités rationnelles.

Soit R le point d'intersection de l'axe OX et du plan MNP, qui a pour signe cristallographîque (ma:nb:pc). Cherchons la valeur du segment ou nouveau paramètre OR, en fonction deOQ et des coefficients rationnels mnp et tri ri p '.

Le point R étant sur la droite OQ, les coordonnées du point R seront celles du point Q réduites dans la proportion de OQ à OR. On aura donc, en désignant par x\ y , z les coordonnées de R,

-i , OR . , OR . . OR

D'un autre cAté, le point R étant sur le plan MNP, les coordonnées de R forment un parallélipipêde dont OR est la diagonale, et le plan MNP est, à l'égard des axes et de ce parallélipipêde, un plan de troncature passant par l'extrémité de la

diagonale. La formule (C) le= — + - 1 , dans laquelle

m, n,/* représentent les valeurs relatives des trois segments OM,

ON, OP, est donc applicable à ce cas. Or, ces valeurs relatives

sont: