PRISME

(Planche 26.)

267. Étant données, figures 1 et !<>, les projections horizontale et verticale d'un cube, déterminer l'ombre portée par ce cube sur le plan horizontal.

Par !a position même donnée à ce cube, il est facile de vonr que les faces éclairées sont celles représentées en AD et AC en projection horizontale, et celles projetées verticalement en A'E' et A'C; les faces opposées BC et BD, fig. l"^*, et B'C, B'E', fig. 1«, sont alors dans l'ombre propre; mais comme ces faces ne se réduisent sur ces projections qu'à de simples lignes, l'ombre propre ne peut pas être rendue autrement que par des traits renforcés qui sont passés à Tencre de Chine dans un dessin au trait, et au pinceau dans un dessin lavé.

Ces lignes, qui séparent les faces éclairées du cube, de celles qui ne le sont pas, sont ce qu'on appelle, avons-nous dit, les lignes de séparation d'ombre et de lumière. Nous n'avons réellement à nous occuper que de cherdier l'ombre portée proprement dite.

268. Lorsque l'objet repose sur le plan horizontal comme nous l'admettons dans cet exemple, et qu'il se trouve éloigné du plan vertical à une distance plus grande que sa hauteur entière, toute l'ombre qu'il porte se trouve sur le plan horizontal, et alors, pour déterminer celle-ci, il suffit de mener par chacun des angles du cube , des rayons de lumière Ce,Bb,Dd, parallèles à R, et de chercher les points c b d^de rencontre de ces rayons avec le plan.

A cet efiet, par les points C^ et A^ fig. 1«, projections des deux premiers BD, on mène les rayons C'c' et A^B^ parallèles à R^ et qui rencontrent ta ligne de terre LT en c' et B'.

Si de ces points on tire les perpendiculaires c'c et B^B, elles couperont les premiers rayons en c, 6 et d. Le contour de l'ombre portée sur le plan borizontal est alors limité entre les lignes C c, cb, bd et d D.

La face E^B^ par laquelle le cube repose sur le plan horizontal, ne fonnant pas de saillies ne peut donner d ombre portée ; il en résulte que l'ombre qw nous venons de déteiminer est seule apparente et exprimée par une teinie plate uniforme qui se pose d'ordinaire au pinceau par un ton gris d'eacre de Chine.

269. On observe que les lignes db et bc sont parallèles aux droites IttetBC, parce que celles-ci sont elles-mêmes parallèles an plan horizontal; or, kn-

qu'ooe ligne est parallèle à un plan (82)» sa projection sur ce jdan est une ligne paiallèle à elle-même, il en résulte cette première conséquence que :

Lorsqu'une droite est parallèle à un plan de projection, elle porteombre suree plan suivant une droite (jui lui est égale et parallèle.

270. On remarque aussi que les droites D c/, fi 6, C ^» qui sont les ombres portées par les verticales projetées en D, B et C, sont inclinées à kif" sur la ligne de teiTe, d'où Ton tire cette deuxième conséquence :

Lorsqu'une droite est perpendiculaire à un plan de projection , elle porte ombre sur ce plan suivant une droite parallèle au rayon de lumière et par conséquent inclinée à kb° par rapport à la ligne de terre.

âf71. Ces observations permettent de simplifier notablement les opérations. Ainsi au lieu de chercher séparément chacun des points c^ fr, d, où les rayons de lumière percent le plan horizontal, il sufGt de connaître Tun de ces points, celui b, par exemple , et de mener les droites bd^ be^ parallèles aux côtés DB et BC, jusqu'à la rencontre des lignes à kb"" tracées des points D, C.

Bans le cas actuel, on peut même se dispenser entièrement de la projection verticale fig. 1'; il eût suffi en cfiet de porter la diagonale AB de D en d, ou de B en 6, ou de G en c, car les projections verticale CV et horizontale C e^ d'an même rayon de lumière, sont de môme longueur, ce qui résulte de ce que nous avons pris pour rayon de lumière la diagonale du cube, et que les deux projections AB et A^fV de cette diagonale sont égales. D'où on tire cette lutre conséquence :

Si par un points donné par ses deux projections, on mène un rayon de lumière^ eiiion cherche lés points oà ce rayon perce l'un des plans de projeetion, les Ionfueurs sont les mêmes sur ces deux projections.

27i. Enfin, on observe encore que la distance B d prise sur le prolongement de la ligne verticale CB, est égale à la hauteur entière CB\ qui est celle du cube; par conséquent au lieu de porter la diagonale AB, de B en b, il eût suffi de porter la hauteur du cube de B en d, et de mener par le point d, une parallèle à DB, jusqu'à la rencontre du rayon fi b, et par le point 6, une parallèle foàBG.

Ainsi, Tombre portée d'un point sur un plan est égale à la saillie ou à la distance de ce point au plan.

273. Les fig. 2 et 2» représentent un prisme à base hexagonale supposé élevé au-dessus de la ligne de terre , mais toujours assez éloigné du plan vertical pour qae toute l'ombre portée se trouve dans le plan horizontal.

On voit encore que les faces verticales AB, BC et AF, sont éclairées, et que celles opposées ED, DC et FE, sont dans l'ombre propre.

Parmi ces faces, celle CD est seule apparente en projection verticale (fig Si*) elreinrésentée par le rectangle C^D^HG,qui alors est couvert d'une teinte plus baoée que les ombres portées pour la distinguer de celles-ci.

Sïk. L'opération pour déterminer l'ombre portée sur le plan horizontal est évidemment la même que la précédente; toutefois, conune la base inférieure

JH ne repose pas sur le plan horizontal, il ne faut pas seulement mener des rayons de lumière par les points C, D, E, F, de la base supérieure, mais encore en faire autant des points con*espondants J, I, 6» H, de la base opposée.

Nous observerons comme précédemment que ces deux faces étant parallèles au plan horizontal, donnent chacune pour ombre portée une Bgure égale et parallèle à elle-même ; par conséquent, au lieu de chercher Tombre de tous les points, passant par les sommets des angles, il eût suffi de trouver l'un des points d, par exemple, de la base supérieure et un point quelconque k, de la base inférieure et de former, à partir de ces points, deux hexagones égaux et parallèles à celui AB, CD, EF.

On comprend d'ailleurs que, comme ce sont les lignes de séparation d'ombre et de lumière qui limitent le contour de Toml^re portée, il est inutile de chercher les points situés dans l'intérieur de cette ombre et qui correspondent à tous les points de la surface de l'objet, qui n'appartiennent pas à ces lignes de séparation d'ombre et de lumière.

275. Ainsi, les points a, 6, /i, 0, n'ont pas besoin d*étre déterminés. En général, on ne détermine pas dans les dessins, l'ombre portée par les points correspondants à des points ou à des lignes complètement éclairés 00 dans Fombre propre ; on se contente toujours de chercher Fumbre portée par les points situés sur les lignes de séparation d ombre et de lumière.

276. D'après ce que nous avons vu précédemment, on peut obtenir l'ombre d'un point sur un plan de projection, par Textrémité de la diagonale du carré qui a pour côté la distance de ce point à l'autre plan.

Ainsi, on a par exemple l'ombre horizontale k, du point projeté en F et I, fig. 2 et 2>, en formant le carré ¥ Ik, ayant pour côté la longueur F /, égale à la distance 1 1' du point au-dessus du plan horizontal.

On a de même les ombres g ij portées par les points G IJ, qui sont à la même hauteur que le premier au-dessus du pian horizontal.

Pour les points c, d, e,/, qui correspondent à la base supérieure AD^il suflit de déterminer la diagonale D'd\ du carré qui a pour hauteur la distance IXm de cette base au-dessus du plan horizontal, et de porter cette diagonale de C en c, D en d, E en e, etc.