OMBRE PORTÉE D'UN CTLINDRE SUR UN AUTRE

311. Soient, fig. 2et ^, les projections d'un cylindre convexe A, tangent i un cylindre concave B, sous forme d'une doucine ou de cannelures arrondies.

Ce problème, qui consiste à déterminer l'ombre propre d'un cylindre convexe et Tombre portée par un cylindre concave, résume ce qui a été dit pour déterminer Tombre propre d'un cylindre (6g. k et k^y pi. 96) , et ce que noos venons de dire pour le cylindre creux (Gg. 1 et 1^) ; les opérations sont suffisamment indiquées fig. 2 et ^, nous observerons seulement qu'il est toujours essentiel de déterminer en premier lieu les points extrêmes C^D', qui limitent l'ombre propre CG, et l'ombre portée l^cg; ces points C/W s'obtiennent, comme nous l'avons vu , plus exactement par les rayons OC^ et IVE perpendiculaires aux rayons de lumière.

OBIRRES d'un CONE.

312. Dans cette étude, nous nous proposons de déterminer : l"" l'ombre propre ou la ligne de séparation d'ombre et de lumière sur la surface du cône ; 2* l'ombre portée de ce cône sur le plan vertical de projection ; 3" l'ombre por^ tée par un prisme à base carrée et horizontale sur le cône et sur le plan vertical de projection.

313. V* Nous avons posé en principe général, que pour trouver l'ombre propre d'une surface quelconque, il fallait mener une suite de rayons de lumière parallèles et tangents à cette surface, mais lorsque le corps est engendré par une droite, comme un cylindre ou un cône, il suffit de tracer des plans tangents parallèles aux rayons lumineux pour obtenir les lignes de séparation d'ombre et de lumière.

Dans le cas du cône représenté fig. 3 et 3^, et dont l'axe ST est vertical, l'opération consiste à mener par le sommet S et S^ deux lignes à 45% S« et S'/, qui donnent en s^ l'ombre portée par ce sommet sur le plan horizontal; de ce point on mène une droite a'sf^ tangente à la base k'Ç/V du cône. Cette droite représente la trace du plan tangent au cône sur le plan horizontal, on obtient alors la génératrice de contact, en abaissant du centre S^ un rayon SV, per^ pendiculaire à cette trace aV, on a la projection horizontale de Tune des lignes de séparation d*ombre et de lumière ; la projection verticale Sa de cette droite s'obtient en projetant le point de contact a^ en a sur la base AB, et en réunissant ce dernier au sommet S. La seconde ligne %'l/ de séparation d'ombre et de lumière du cône s'obtient de même par la tangente ^6^ seulement sa projection verticale n'est pas apparente sur la fig. 3^.

314. 2* L'ombre portée du cône sur le plan vertical est limitée d'une part par la ligne de séparation d'ombre et de lumière, et de l'autre par la porUM-de.

la base éclairée comprise entre ces deux lignes ; or, la droite Sa porte ombre suivant une droite s^ a\ comme l'indique le tracé , et la base A^E'C^' porte ombre suivant une courbe elliptique /^da^ qui se détermine par points d'après le tracé (Qg. 5, pL 26).

315. 8** L'ombre portée par la base inférieure GH du prisme rectangulaire P, sur la surface convexe, se détermine d*après le principe déjà énoncé : que lorsqu'une droite est parallèle à un plan, elle porte ombre sur ce plan , suivant une droite égale et parallèle à elle-même, il en résulte que si on coupe le cône par un plan UN parallèle à sa base, l'ombre portée par la droite GH, sur ce plan, sera déterminée en menant par le point I de la base situé sur l'axe du GÔne et projeté horizontalement en S', un rayon de lumière qui rencontre ce plan MN au point î, lequel se projette horizontalement en i\ sur la projection du même rayon. Si donc du point t on porte la distance t^^ égale à S0^ et que par le point i^ on mène la droite G^ H^, cette dernière exprimera l'ombre portée par le côté GH sur le plan MN ; mais celui-ci coupe le cône suivant un cercle dont le diamètre MN, compris entre ses génératrices extrêmes, se projette horizontalement en WUN\ La rencontre de la droite G'H^ avec la circonférence de ce cercle donnera donc deux points t* et t^ qui , projetés verticalement en t i^\ sur MN, déterminent deux points de Tombre portée.

En opérant de la même manière pour tout autre plan sécant parallèle à MN, on pourrait obtenir d'autres points de la courbe ; on reconnaît que ces plans sont pris à la hauteur convenable, lorsque les projections de la droite GH se rencontrent avec les cercles correspondants ; et on évite à cet égard des tAtonnements, en cherchant d'abord les points limites de la courbe ; ainsi dans l'exemple qui nous occupe, on obtient le sommet g de la courbe en portant la distance ys^ (fig. 3] de l en J, sur la droite 1 G ( fig. 3«). Par ce point J, on mène un rayon de lumière ; le point de rencontre /^ de ce rayon, avec la génératrice extrême AS, se projette sur la génératrice ST, par l'horizontale /'y, et détermine le sommet^. On obtient ensuite les points extrêmes A A' de la même ombre, en rabattant le point G^ en G^ sur le plan vertical. Cette opération consiste à décrire du centre S', avec le rayon S'G', l'arc de cercle G'G". On mène ensuite par le point G', projection de G'', la droite G' A*, parallèle au rabattement du rayon de lumière dans le pian vertical et incliné , comme nous l'avons vu, suivant l'angle de 35» 16'. Le point de rencontre A' de cette droite avec la génératrice extrême AS, détermine le plan A' A, qui est rencontré par les rayons à hb% menés des points I et G, aux points limites cherchés A, h\

L'ombre portée du prisme P, sur le plan vertical, ne présente aucune partîcalarité en dehors des principes déjà exposés.

OMBRE D*01f CONB RENVERSÉ.

316. Lorsque le cône, au lieu de reposer sur sa base, prend appui sur son , ooDune dans les fig. h et M, les rayons lumineux éclairent une

moindre partie de sa surface, et les lignes de séparation d*onibre et de lumière s'obtiennent en menant également par le sonmiet SS^ des lignes à hSr, que l'on prolonge jusqu*an plan de la base AB.

On observe que les points de rencontre s, s' doivent se trouYer à gauche de Taxe du cône, au lieu d'être à droite. Par le point i', projeotiou hmsontale du point de rencontre i, on mène les deux tangentes j'a^, i^^, à la drconférence de la base A'B'iy. Les rayons S^a' et S^^, passant aux points de contact, donnent la projection horizontale des deux lignes de séparation d'ombre et de lumière, et font voir que la partie éclairée du cône, qoi est la sarbce 1/ G* afS\ est toujours plus petite que la partie dans Fombre VWafSf.

La première ligne Wa' est seule apparente en projection Yerticale, fig. 4*; elle est déterminée par la projection du point a' en a, et par la réunion de ce point a, au sommet S. On voit que le cône étant coupé par un plan horiiontal SE, cette ligne aS s*arréte en c sur ce plan.

317. Le cône, ainsi renversé, est aussi surmonté d*une embase carrée, dont les côtés FG^ etC'H^ portent ombre sur sa surface latérale. Or, le côté FG^, projeté en G, 6g. 4^, est perpendiculaire au plan vertical, par conséquent il porte ombre sur le cône suivant une ligne à 45'', G/; on détermine le point limite/ en procédant comme précédemment, c est-à-dire en rabattant le point C en G' sur le plan vertical, et en menant par le point G' la droite G^V parallèle au rabattement du rayon de lumière, on tire ensuite Thoriiontale k"h qui est rencontrée par le rayon G/ en /.

Gomme lembaseest carrée, le sommet g de la courbe s*obtient directement par le point de rencontre /' du rayon de lumière avec la génératrice extrême AS, et par rhorizontale g"g^ menée de ce point. On détermine ensuite un point quelconque i" de la courbe par la section d*un plan horizontal MN, avec le rayon de lumière mené du centre I du carré.

OMBRE ▲ L*l^'TÉRl£Um D'OI CONB CRBUX.

318. La fig. 5 représente un plan vu en dessus d*un tronc de cône creux, et la 6g. 5* ^t une section verticale par Taxe de ce cône. On a à chercher en projection horizontale lombre portée sur la paroi intérieure du cône par la portion A'BC, de la circonférence de sa base, et lombre portée en projection verticale par l'arête saillante DS, et par la partie circulaire Àfl/ projetée en AD.

Nous devons d*abord observer que la droite DS, qui est une génératrice du cône, porte ombre sur celui-ci, suivant une droite, car tout plan parallèle au rofOM de lumière et passant par celle droite^ coupe le cène suivant une gêné" rairice; on mène donc du point I/, le rayon à 45'' iyd\ et du centre S^ on abaisse la perpendiculaire $'E\ cette droite représente la projection horizontale de rintersectîon du cône avec le plan, passant par Farête iys\ et parallèle au rayon de lumière; en projetant le point E' en E, 6g. &*, et en joignant SE, on

a la projection verticale de cette ligne dlntersi^ction, et par suite l'ombre portée par Taréte DS. Le rayon de lumière mené du point D détermine le point limite d sur cette même droite. On obtient aussi sur le plan horizontal les points limites A' et C de la courbe, par les tangentes ^A' et s^C menées du point l^ où le rayon de lumière rencontre ce plan. La détermination du point symétrique b' de la môme courbe a lieu par la droite D6, menée du point D parallèlement au rayon de lumière SR, préalablement rabattu en SR^;lc point de rencontre b de cette droite avec la génératrice SF, directement opposée à celle qni passe en D, se projette horizontalement en ^ sur le prolongement du rayon de lumière BS^.

319. L'opération pour trouver un point quelconque intermédiaire de la courbe, repose sur le principe énoncé précédemment, que lorsqu'une ligne ou une surface est parallèle à un plan , Tombre portée est aussi une ligne ou une surface égale et parallèle à la première. Si donc on mène un plan MN parallèle à la base DF du cône, l'ombre portée par cette base sur ce plan est un cercle, il suffit alors de mener par le centre 0, Qg. &>, un rayon On qui rencontre le plan MN en a, lequel se projette horizontalement en a^ sur le rayon même ; si du point o^, comme centre avec le rayon DO, on trace un cercle H^IJ, celui-ci exprime l'ombre entière portée par la base DF sur le plan sécant; or, ce plan coupe le cône suivant un cercle dont MN est le diamètre, et que l'on trace sur la projection horizontale en H'M'JN'; ce cercle est rencontré par le premier aux points H^ et J, qui sont deux points de l'ombre sur la fig. 5; l'un de ces points est apparent dans le plan vertical et se projette en H sur la ligne MN.

APPLICATIONS

320. Nous donnons sur cette planche, comme dans la planche 26, des modèles lavés et finis, sur lesquels on peut faire l'application des principes que nous venons d'indiquer, soit comme ombres propres et portées, soit comme lavis. Ainsi, la fig. â représente l'intérieur d'un cylindre à vapeur avec son piston et sa tige. On a tenu compte dans cet exemple de ce principe général, que les ombres sont d'autant plus vigoureuses qu'elles se trouvent sur des surfaces plus éclairées, par conséquent le ton le plus foncé doit partir de la génératrice correspondante à G A, fig. 1', qui est située dans le plan vertical du rayon de lumière passant par l'axe du cylindre; le ton de l'ombre doit donc dégrader à gauche et à droite de cette ligne.

321. Dans cette dégradation successive, on a aussi égard aux effets de la lumière réfléchie, qui font qu'une surface dans l'ombre ne peut pas être complètement noire. Dans un cylindre creux, pour la portion qui est dans l'ombre, c'est la génératrice FF*, fig. 1«, projetée en F', fig. 1 , qui doit être la moins foncée y comme recevant plus directement les rayons de la lumière réfléchie. On se rappelle que ce point F' est obtenu par le rayon TF^ perpendiculaire au rayon de lumière.

La fig. B montre un exemple relatir aui doucines et cannelures arrondies, et fait bien voir la différence entre une ombre propre et une ombre portée pour détacher les saillies des creui.

La fig. G est un fragment d'entablement de l'ordre dorique, donné comme application de Tombre portée sur les cônes et de celles portées par oeux-d sur un plan vertical.

Cet exemple fait voir que pour l'eflet du dessin , Il importe beaucoup de faire une grande diflerence de ton entre les ombres portées des premiers et des seconds plans, comme aussi entre les ombres portées sur des surfaces arrondies et des surfaces planes.

La figure D réunit la projection d*un cylindre avec deux cAnes opposés par leurs bases pour démontrer que le lavis sur chacune des surfaces ne doit pas être rendu de la même manière.

Le ton du cône supérieur est nioins avancé comme ombre que celui do cylindre, tandis que le ton sur le cône inférieur est au contraire plus sensiblement avancé, ce dont on s*est rendu compte sur les tracés » fig. 9« etK

Les fig, s et ? sont des modèles lavés de cônes vus extérieurement et intérieurement, et sur lesquels on doit faire les mêmes observations comme efiets d'ombres dégradées et de demi-teintes.