OMBRE DE LA SPHÈRE

Figure V*.

36i. On se rappelle que la sphère est un solide réguKer engendf é pat^ tin demi-cercle tournant autour de son diamètre. De cette définition, fl résulte que sa surface convexe ou concave, selon qu*on la considère pleine ou creuse, est une surface de révolution dont tous les points sont également distants du cercle générateur. Pour déterminer l'ombre propre sur la surface d'une sphère, on pourrait opérer exactement d'après le principe général (328) , mais il est plus simple pour ce cas particulier d'employer le procédé suivaiît.

Supposons la sphère enveloppée par un cylindre droit, dont l'axe soit parallèle au rayon de lumière ; ce cylindre touchera la sphère, sm'vant un grand cercle qui li'est autre que la ligne de séparation d'ombre et de lumière, et dont le plan est perpendiculaire au rayon lumineux, et par conséquent incliné aux plans de projection ; il en résulte que la projection de cette ligne sur ces plans est une ellipse.

Ainsi soit, fig. 1, la projection horizontale d'une sphère de rayon OA, les projections des génératrices extrêmes BC et DÉ, parallèles au rayon de lumière RO, ont leur contact avec le contour extérieur de la sphère, aux points CE, qui sont diamétralement opposés, et qui sont les extrémités du grand axe de l'ellipse.

Comme en général cette courbe peut être déterminée par ses deux axes, il reste à chercher son petit axe. A cet effet, concevons un plan vertical passant par le rayon RO, et supposons dans ce plan deux rayons de lumière tangents

à la sphère; si nous faisons tourner ce plan autour du rayon RO, considère comme charnière, pour le rabattre dans le plan horizontal, le grand cerrie suivant lequel il coupe la sphère se rabat ndcessairement suivant le cerde tracé avec le rayon ÂO ; et le rayon de lumière se rabat comme on l'a va [Vt] suivant la ligne R'O , formant avec la ligne RO Tangle de 35* 16 , et que Ton obtient du reste en portant le côté GR , d*un carré quelconque GOFR, sur la perpendiculaire RR' élevée en R. Les deux rayons lumineux tangents! la sphère se rabattent alors suivant les droites HL et MN, parallèles au rabattement R'O; leurs points de contact avec le grand cercle se trouvent aai extrémités du diamètre LN, perpendiculaire à la même droite R'O. En faisant revenir le plan dans sa véritable position , ces points se projettent en L' et N sur la trace RO, et donnent ainsi le petit axe L'N' de l'ellipse cherchée.

36. Si au lieu de construire cette ellipse par les moyens ordinaires on préfère en déterminer les points par une suite de sections et de rabattements analogues , il suffira par exemple de tracer un plan a b parallèle à RO, pois de rabattre la section faite par ce plan dans la sphère, dans le plan horizontal ^ suivant la circonférence du rayon rO égal à ac; on mène ensuite h tangente ed^ parallèle à K'O, et dont le point dy également situé sur le diamètre LN, se projette en d' sur la trace a 6, on obtient ainsi autant de points de la courbe que Ton mène de plans; la distance cd' étant reportée de e en (P, donne le point symétrique d^ de la partie de Tellipse non apparente.

Si la projection de la sphère était faite sur un plan vertical, Topération serait tout à fait identique, seulement le grand axe de Tcllipse, au lieu de se trouver dans la direction CE, serait au cx)ntraire dans la direction perpendiculaire Al comme on le voit sur la Bg. &, ombrée à l'effet.