OMBRE PORTÉE DANS UNE SPHÈRE CREUSE

Figure 2.

366. Lorsqu'une sphère creuse est coupée par un plan passant par son centre et parallèle à l'un des plans de projection , le rebord circulaire interne de la section porte ombre sûr sa surface concave , suivant une courbe elliptique que Ton peut déterminer soit par le principe général de sections parallèles, exposé (287), soit par le système plus simple de sections et de rabattements que nous venons d'indiquer, et dont la fig. 2 renouvelle l'application.

Cette figure représente la projection d'une sphère creuse sur le plan vertical, et reproduisant la section faite suivant la ligne 1, 2, de la chaudière dessinée fig. 4 et 5 Si on coupe cette sphère par un plan diamétral AB, parallèle au rayon de lumière, sa section rabattue fig. 3, est un demi-cercle A'C'B'; le rayon de lumière situé dans ce plan et passant par le point A , se rabat aosai suivant la ligne MG, parallèle au rabattement K'A, obtenu comme l'indique la fig. 2. Cette droite A'C rencontre le cercle A'C'B' au point C qu'on projette sur la trace AB en C, et qui est le point de l'ombre portée par le point A.

On obtieut de môme les points bd^ par les plans ab,cdy parallèles à AB, et coupant la sphère suivant des demi-cercles rabattus en a'b'e. Ce demi-cercle est rencontré en b par le rayon a'b' mené parallèlement à A'C

Les points extrêmes DE se trouvent situés à l'extrémité du diamètre DE, perpendiculaire au rayon AO, et représentent le grand axe de Tellipse. Ces ombres se rencontrent fréquemment en architecture et en mécanique, comme dans les niches, les dômes, les chaudières, etc.

APPLICATIONS

367. La fig. k représente la section longitudinale suivant la ligne 3, &, d'une chaudière cylindrique en tôle, à bouts sphériques et surmontée de deux tubulures cylindriques, dont une est fermée par un couvercle ou trou d'homme.

La fig. 5 est un plan vu en dessus de cette chaudière et des tubulures.

La fig. 6 est une section transversale faite par la ligne 5, 6.

On a à déterminer pour cette chaudière :

1"* Sur la fig. i, l'ombre portée D(/C et E6C sur les surfaces sphériques qui limitent la chaudière ; et celles Cgi^jkl^ sur la surface cylindrique, comme aussi Fombrc portée dans l'intérieur des tubulures ;

2* Sur la ligne fig. 5, Fombre propre des parties cylindriques et sphériques de la surface extérieure de la chaudière, et l'ombre portée sur celles-ci par les tubulures cylindriques.

Nous repérons avec les mêmes lettres sur la fig. 7, le tracé analogue à la fig. 3, pour obtenir la courbe elliptique D^C (Je Fombre portée par la portion circulaire XcD^ sur la surface sphériquc intérieure de la chaudière.

On a obtenu de même la portion E6C^, à Faide du rabattement fig. 8, en observant que les sections faites parallèlement au rayon de lumière au-dessus de la trace ab, donnent des demi-cercles, tandis que celles faites an-dessous, telles que celle FC, donnent bien une portion circulaire à droite de la ligne aO, mais une portion elliptique à gauche de cette même droite. 11 esta remarquer que les tubulures cylindriques, montées sur la chaudière, donnent lieu à des intersections 1JKF qui portent ombre à Fintérieur de la chaudière, au lieu des portions droites IF de la génératrice extrême du cylindre, ce qui existerait réellement si les tubulures étaient supprimées.

L'ombre portée par ces intersections est limitée aux courbes JKL, que Fon obtient à Faide de la section fig. 6, en projetant les points JKLF sur Farc J'K'L'F, et en menant par ces points des rayons de lumière qui rencontrent la surface intérieure du cylindre en /A;T, lesquels se projettent alors, pour les deux tubulures en 7, k, /, sur les rayons correspondants, fig. 4.. La partie droite GI, de la génératrice extrême du cylindre, porte ombre sur la surface interne de celui-ci suivant une droite, //, qui (308) est située sur l'axe 00.

Une partie de la génératrice extrême IN de chaque tubulure cylindrique porte aussi ombre sur la surface intériem*e de la chaudière suivant une courbe

imj qui n'est autre qu'une portion de circonférence dont le centre est en o, et dont le rayon oi est égal à celui (?0 de la chaudière ; cette ombre est circalaire, parce que la droite IN est perpendiculaire à Taxe du cylindre, et que le plan de ces deux lignes est parallèle au plan yertical de projection.

On peut, au reste, déterminer les points imj de la court>e directement! Taide des deux projections fig. k et 6.

Il en est de même de la courbe n, p, q^ qui est aussi un arc de cercle, parcî que la droite NP du couvercle qui ferme la première tubulure est encore perpendiculaire à Taxe de celle-ci, et parallèle au plan vertical de projection. Les arêtes NR et RM étant verticales portent ombre sur cette môme tubulure suivant des lignes qui sont aussi verticales (309). La seconde tubulure étant ouverte à sa base supérieure, l'ombre portée sur sa surfoce interne est nécessairement différente de celle portée sur la première, mais elle s'obtient do reste de la même manière que sur les fig. 1 et 1' (pi. 28). On observe toutefois qu'une partie 5^ti de cette ombre résulte du plan inférienr STU du bord de la tubulure, et l'autre partie 5 1; résulte du plan supérieur VX , fig. 4 et 5.

On a enfin la courbe Ce g h et la partie droite Ai qui réunit la première DdC avec la droite /t , et qui résulte de l'ombre portée par l'arc AEGH, et par h partie droite Hf de la génératrice extrême du cylindre.

Toute la ligne Def C^i qui provient de l'ombre portée du bord de la section de la chaudière sur sa surface interne est réellement la même que celle désignée en architecture sous le nom d*ombre portée de la niche; en obsenant toutefois que cette ombre est dans une autre position, parce que l'axe de la niche est vertical.

Il reste à faire le tracé des ombres propres et portées sur la surface extérieure de la chaudière en projection horizontale, figure 5. Quant à l'ombre propre, elle consiste d'une part en celle limitée par la ligne de séparation d'ombre et de lumière d'dy que l'on obtient par la tangente à 45" menée enC, et de Taotre par les courbes elliptiques C^ et dc'JL, sur les bouts sphériques de la chaudière, et que l'on détermine comme sur la fig. 1'*.

368. Pour l'ombre portée des tubulures soit sur leurs brides, soit sur la su^ face extérieure de la chaudière, elles sont naturellement déterminées par des lignes à 45®, MV et B'E', tangentes au cylindre extérieur des tubulures, et qui se prolongent en ligne droite jusqu'à la limite de séparation d'ombre et de lumière, lorsque ces tubulures sont assez saillantes. Mais si au contraire elles avaient peu de hauteur, comme on le suppose sur le rabattement fig. 9, on aurait à déterminer l'ombre portée par une portion de la base supérieure VC, soit sur la partie cylindrique de la chaudière, soit sur la partie sphérique. Ponr trouver l'ombre dans ce cas, nous supposons un plan vertical passant par le rayon de lumière R'O', fig. 5, et coupant le cylindre suivant une ellipse, et la sphère suivant un grand cercle. Ce plan transporté en R^, 0', et rabattu sur le plan horizontal fig. 9, donne la courbe F%'H^ pour le rabattement de ladite section. Le point de contact B' reporté en B^, se rabat aussi dans cette fig. eo

DE DESSIN INDUSTRIEL. tH

V ; si donc on mène par ce dernier point la parallèle B'I*, au rayon de lumière rabattu RW, elle rencontrera la courbe d'intersection en P; la projection horizontale V de ce point sur la trace R'H*, se reporte de B' en \\ sur la trace correspondante RT, fig. 5. On opère de même par une autre section faite parallèlement à la première et passant par le point C pour obtenir un second point ^ de Fombre. Les opérations pour déterminer les courbes d'intersection sont sufGsamment indiquées sur les fig. 5 et 7.

869. La chaudière cylindrique à vapeur représentée en section longitudinale, fig. Â, Tue par bout, flg. b, et en section transversale, fig. c, résume les applications que nous venons de traiter relativement aux sphères et aux cylindres, et en même temps elle sert de modèle pour le lavis avec les effets qui doivent y être observés suivant les divers principes exposés précédemment.

370. Nous rappelons que pour rendre ces effets il ne faut pas toujours s'arrêter aux ombres propres et portées, mais encore déterminer les parties claires ou brillantes, comme déjà on l'a fait pour les cylindres en relief ou en creux. De même que sur un cylindre ou un cône, il existe une ligne brillante > de même sur la surface de la sphère se trouve un point brillant.

Ce point est situé sur le rayon de lumière passant par le centre de la sphère, fig. l'*. Mais comme les rayons visuels ne sont pas dans la même direction que les rayons lumineux, la position de ce point brillant parait un peu changée; ainsi si on rabat le plan vertical RO, fig. i'^', dans le plan horizontal, le rayon de lumière est rabattu, comme on l'a vu, suivant la droite R'O, et par conséquent son point de rencontre avec la sphère se rabat en t ; d'un autre côté les rayons visuels qui sont perpendiculaires au plan horizontal se rabattent suivant des droites parallèles à CO; or, ce dernier rayon rencontre la sphère M p<Hnt C, et comme la lumière se réfléchit sur une surface par rapport aux rayons visuels, en faisant un angle d'incidence égal à l'angle de réflexion, si on divise l'angle / OC en deux parties égales par la droite nO, on aura le point fi qui paraîtra à l'œil le point correspondant à la partie la plus éclairée.

Pour l'effet du dessin , il est préférable de ménager la partie brillante ou la plus claire entre les deux points i' et n^ qui résultent de la projection des points iein sur le rayon RO. Lorsque la sphère est un corps poli, comme une boule en acier, cuivre ou ivoire, on a le soin de laisser autour de ce point brillant, une partie circulaire tout à fait blanche; quand le corps est mat conmle on Ta supposé sur la fig. B, on laisse bien cette partie plus claire que le reste de la surface, mais cependant en la couvrant d*un ton léger.

Dans une sphère creuse (fig. 2 et 3), il y a à tenir compte non -seulement do point brillant qui se projette de la même manière sur le rayon de lumière àB, entre les points t^ et n\ mais encore du point qui dans Tombre portée doit être le moins foncé ; on détermine ce dernier en m' (fig. 2) par la droite mC, fig. 3, tracée perpendiculairement au rayon de lumière rabattu A'C.

871 . La chaudière est placée dans son fourneau qui est construit entièrement en briques avec une cloison située dans le milieu de sa lotigueur, pour obliger

ns COURS RAISONNÉ

la flamme et la fumée qui se dégagent du foyer, à se diriger dans la galerie de gauche, puis revenir par la galerie de droite et sortir dans un troisième canal ou carneau avant de s'échapper dans la cheminée; ce troisième cameau renferme un bouilleur plein deau mise en communication avec la chaudière par on tube plongeur, et recevant l'eau d'alimentation qu'elle échauffe à une température assez élevée pour ne pas refroidir la chaudière lors de son introduction.

La chaudière est à moitié ou à 2/3 remplie d'eau (* ) , l'espace restant ainsi que les tubulures sont réservés pour la vapeur. La base de la cheminée est en pierre de taille ou en moellons, et tout le corps est en briques , de même les fondations du fourneau sont en moellons ou en pierre de taille.

Outre ce modèle de chaudière, nous donnons encore comme exercice de lavis à roffct la pi. 33, que nous engageons à dessiner sur une échelle demi trois fois plus grande, afin d'acquérir de la main et de l'habileté.