DE LA PARABOLE

60. La parabole (flg. 5) est une courbe non fermée et telle que la distance d'un point quelconque D pris sur cette figure par rapport à un point Qie C nommé foyer, est égale à la distance DE de ce même point à une droite fi4 que Ton nomme directrice.

La perpendiculaire FG abaissée du foyer sur la directrice est Faxe de la courbe, c'est-à-dire qu'il la partage en deux parties égales. I^ point A, milieu de FC, est le sommet de la courbe.

Plusieurs solutions sont applicables au tracé de cette courbe.

61. Première solution. — Elle repose sur la définition même que nous venons de donner; mais il faut connaître pour cela la directrice et le foyer.

Le problème consiste à prendre différents points A, E, H et I sur la directrice , et à mener par ces points des parallèles à l'axe , puis à les joindre au Ibyer C par les droites AC, EC, HC et IC ; sur le milieu de chacune de ces dernières on élère des perpendiculaires qui rencontrent respectivement les parallèles aux points e, D, c, b, par lesquels on fait passer la courbe.

62. On peut remarquer que toutes les perpendiculaires qui viennent d'être tracées sont des tangentes à la parabole ; par conséquent, si la courbe est donnée pour mener une tangente cd d'un point c quelconque, il sufDt de tracer la ligne c C et la droite c H, puis d'élever une perpendiculaire sur le milieu de HC. Il en serait de même si le point était donné en dehors de la courbe.

63. Deuxième solution.—On se donne Taxe aG, le sommet aet un point / de la courbe. On abaisse sur Taxe et du point / une perpendiculaire /G, que l'on reporte de G en « et que l'on divise en un certain nombre de parties égales aux points ï, j et h, par lesquels on mène des parallèles à nG que Ton divise en un même nombre de parties égales ; on joint les points de division /, g, h au point e; la rencontre respective de ces lignes avec les parallèles donne les points o, «, m de la courbe.

6i. On mène une tangente Mn à cette courbe parallèlement à une droite donnée JK , en abaissant du foyer C sur celle-ci une perpendiculaire CL, laquelle rencontre la directrice au point p, on tire alors p n parallèle à l'axe; le point de rencontre n est le point de contact de la tangente.

On trouve un grand nombre d'applications de la parabole dans la construction et dans les machines, à cause des propriétés particulières dont elle jouit et que nous ferons connaître successivement.

65. Les reliefs W en sont une première application ; ils représentent des instruments désignés en physique sous le nom ie Miroirs paraboliques, et servant à expliquer que les rayons vecteurs a6, ae, ad, se réfléchissent suivant des lignes bl/, ce', dd\ parallèles à Taxe. D'après cette propriété, si au foyer a d'une première parabole bf on place une lumière ou un corps incandescent,

Trapèze. La surface d*un trapèze est égale au produit de la demi-soniiiie des bases, parallèles par la hauteur ou la perpendiculaire comprise entre celles-ci.

Exemple. La sur&ce d*un trapèze ayant pour bases , 1"80 et 1»50, et pour hauteur 0" 80, est de

l'»,30-hl,50

Triangle. La surface d*un triangle quelconque s*obtient en multipliant sa base par la demi-hauteur.

Ex mple. La surface du triangle qui a pour base 2" ,30 et pour hauteur 1",1S, égale

La surface d*un triangle étant connue et Tune de ses dimensions étant donnée, on détermine la dimension inconnue en divisant le double de la surface par la dimension connue. Dans Texemple précédent, la division de ^Xi'^^Zlil par la hauteur 1,tS donne pour quotient la base 2™ 30 ; de même le quotient 1 ,15 provenant de la division de 2X l°><i,1227 par la base 2,30, exprime la hauteur du triangle.

70. On démontre en géométrie que le carré construit sur Thypoténuse d'un trian^ rectangle est égal à la somme des carrés construits sur les deux côtés de Tangle droit. 11 résulte de cette propriété que , connaissant deux côtés quelconques d*un triangle rectangle, on peut déterminer le troisième.

1» Les deux côtés de Fangle droit du triangle étant donnés, on détermine lliypolé* nuse en faisant la somme des carrés des deux côtés , et en extrayant la racine carrée de cette somme.

Exemple. Quelle est la grandeur de Thypoténuse AC , d'un triangle ABC (fig. 16, pi. 1".) en supposant le côté AB = 3«, le côté BC = 4°».'

On a A C = |/(3)*+(4/ ou AC=K9+Ï6"ou ^^26= 6~

2" Si Ton connaît l'hj-poténuse AC et l'un des côtés A B , de l'angle droit, le troisième BC est égal à la racine carrée de la différence des quarrés construits sur AC et AB. Ainsi, dans l'exemple précédent, ou trouverait

BC=k'25— 9 = |/Ï6 = 4.

La diagonale d*un carré est toujours égale à Fun des côtés multiplié par 1^2^ et comme 1/2 s 1,414, on voit que la diagonale d'un carré s'obtient en mnltipliaiit le côté du carré par 1,414.

Exemple. Un quarré a pour longueur, sur chaque côté , 6 mètres, quelle est sadiagonale D.'

La somme des quarrés des quatre côtés d*un parallélogramme est aussi égale à la somme des quarrés des deux diagonales.

71 . Polygames réguliers. La surface d'un polygone régulier s^obtient en multipliant son périmètre par la demi-perpendiculaire abaissée du centre sur Fun des eôlét.

Un polygem régulier à 5 iDôtés, dont Ton est de 9"^, et dont la pérpendioulaire abaissée du centre sur Vva des côtés égale 5*" ,6, a pour surface:

La surface d*un polygone irrégnlier se détermine en divisant sa surface soit en triangleSf soit en rectangles ou trapèzes, et en additionnant les surfaces de ces diverses figures.

I"* TABLB DB MULTIPLICAT1UBS PODB DBS POLYGOIIBS DB 8 À IS cAtÉS.