INTERSECTIONS ET DÉVELOPPEMENTS DE CYLINDRES ET CONES

Planche ik\

TUTAUX ET CHAUDIÈRES.

IM. Les intersections des surfaces cylindriques ou coniques, sont des courbes planes ou à double courbure ; le problème pour les déterminer consiste donc à chercher un point quelconque de ces courbes, et à répéter la construction pour tous les autres. Le principe à suivre revient : à imaginer un plan coupant à la fois les deux cylindres, suivant des lignes droites ou circulaires, dont les rencontres respectives donnent des points de la courbe.

Ainsi, pour détennîner la courbe d'intersection de deux cylindres droits A et B, représentés fig. 1 et 2, on trace un plan quelconque cdy parallèle à leurs axes. Ce plan coupe le cylindre vertical A , suivant des génératrices, qui étant verticales , se projettent horizontalement aux points ef, et verticalement sui-

1. On appelle courbes à double eowrhure des lignes dont tous les pointe ne sont pas situés

dans on même plan.

vant les droites ^ e* eiff. Ce même plan rencontre aussi le cylindre horiiontal B, suivant deux génératrices qui se confondent en projection horizontale avec la trace c d. Une de ces génératrices sert à la détermination des points de la courbe; or, pour en obtenir la projection verticale, nous supposons la demi-base ^ i , du cylindre B, couchée sur le plan (ig. 1^. En prolongeant alors la droite c d, jusqu'en c', la distance h c^, indique la position de la génératrice, par rapport à Taxe ij, du cylindre. On porte alors cette distance de t en d, sur la fig. 2 , et par le point c^, on mène la droite t/d\ qui donne la projection cherchée.

Les points de rencontre c'/*, de cette droite, avec les génératrices verticales e' e^ et//* déterminent deux points apparents de la courbe dlntersection des deux cylindres.

On voit qu'en suivant la même méthode pour un autre plan m n parallèle au premier, on obtiendrait de même les points l'^ et /^, o*, de la courbe d'intersection.

Les points limites a'k^, sont déterminés naturellement par la rencontre des génératrices extrêmes. Quant au point 6^ qui est le sommet de la courbe, il est déterminé par le plan gp^ tangent au cylindre vertical A.

La réunion de ces divers points forme la courbe d'intersection cherchée.

Il est à remarquer que dans la fig. 2 , cette intersection est projetée , suivant des droites a' 6^ et V k\ qui se coupent à angle droit ; cela résulte de ce que les deux cylindres A et B sont de même diamètre, que leurs axes sont situés dans un même plan , et perpendiculaires l'un à l'autre , déserte que les courbes suivant lesquelles ils se pénètrent sont elliptiques et perpendiculaires au plan vertical.

Ainsi, on voit que dans ce cas de deux cylindres égaux et droits, il eût suffi de joindre lespointsextrêmes a^ et k\ au sommet ù' intersection de leurs ligues d'axe pour représenter les lignes d'intersection sans faire aucune autre opération.

165. Loi'sque les cylindres ne sont pas égaux , la courbe dlntersection est à double courbure, quoique les axes soient situés dans le même plan. Ainsi, les fig. 7 et 8 qui représentent deux cylindres A et B, très-difléreots de diamètre, font voir que la courbe d'intersection a^ 6' //, tracée d'ailleurs parle même procédé, est une courbe à double courbure, d'autant plus aplatie, que la difiërence entre les deux cylindres est plus grande. Pour bien indiquer que Topération est la même, nous avons désigné les points obtenus, par les mêmes lettres que sur les fig. 1 et 2. Nous ferons néanmoins robservation que le pnKédé est indiqué dans ce cas sur deux figures représentées en élévatioo, tandis que dans l'exemple précédent elles le sont en plan et en élévalion.

Nous montrons l'application de cette courbe sur les figures 4 et 5 qui représentent une chaudière à vapeur C , vue montée extérieuremeut et moRié en coupe. La tubulure 1), appelée irou d'homme ^ étant supposée cylindrkine, l'assemble avec la chaudière par une bride et donne aind des oourim d'iata^ sections extérieures ab^cd^ et les courbes intérieures e/.

INTERSECTIONS D'CN CONE ET d'UNE SPHERE.

166. Toutes les fois qu'un plan coupe un cône parallèlement à sa base, la section est semblable à cette base ; donc, s1l s'agit d*un cône droit à base circulaire, la section est un cercle; ainsi dans les fig. 3 et S"*, qui représentent un cône droit A'B'S', le plan a'//, parallèle à la base A^B', coupe ce cône suivant un cercle dont le diamètre est justement compris entre les deux génératrices extrêmes A'S' et B'S'. Si donc du centre S , avec le rayon « S = ?'^A' on trace une circonférence, elle limitera la section du plan coupant.

Toute section faite dans une sphère C, par un plan quelconque, est aussi un cercle. Lorsque ce plan, tel que celui a'b', est perpendiculaire à un plan de projection , il se projette dai^s ce plan suivant une ligne droite fig. 3«, et lorsqu'il lui est parallèle , il se projette suivant un cercle fig. 3.

Il résulte de ces propriétés , qu'on peut employer un moyen fort simple pour déterminer Tintersection d'un cône et d'une sphère quelle que soit la position relative de leurs axes. Ce moyen consiste à mencir une suite de plans parallèles , qui coupent à la fois la sphère et le cône suivant des cercles dont les intersections donnent des points de la courbe, suivant laquelle ils se pénétrent lorsque Taxe du cône passe par le centre de la sphère (comme l'indique la fig. 3).

L'intersection a'b\ est une circonférence dont le diamètre est limité par la rencontre des génératrices extrêmes S'A^ S'B', avec le grand cercle de la sphère C. L'opération est la même lorsque le cône est coupé par un plan a'g^ incliné par rapport à la base : la section est alors une ellipse qui se projette en plan, fig. 3, suivant la ligne « t'' / n', résultat de la rencontre des difTérents plans coupants.

Il en est de même de l'intersection d'un cône A^B'S' et d'un cylindre afl/df\ lorsque leurs axes se confondent, l'intersection a'I/ est aussi un cercle dont le diamètre est égal à celui du cylindre.

167. Lorsque les axes sont parallèles, mais non situés sur une même ligne, l'intersection des deux surfaces est une courbe à double courbure qui peut se déterminer, soit par la méthode relative aux fig. 1 et 3, soit par une suite de plans parallèles à la base du cône, et par conséquent perpendiculaires aux génératrices du cylindre, afin d'obtenir des sections circulaires; chaque section dans le cylindre reste la même, mais elle est variable dans le cône suivant la distance du plan coupant au sommet ; ce sont les points de rencontre de ces cercles avec celui du cylindre qui déterminent leur courbe de pénétration.