DÉVELOPPEMENTS

168. Développer une surface , c'est la dérouler sur un plan pour se rendre compte de sa forme et de son étendue.

Les surfaces développables les plus usitées, sont : le cylindre, le cône, les prismes, les pyramides et les troncs ou fragments de ces corps. Les chaudronniers, tôliers et ferblantiers qui opèrent avec des feuilles

métalliques minces, ont constamment a transformer ces feailles en des o1 qui ont généralement des formes analogues à ces corps. ;|| Pour opérer avec exactitude et sans tâtonnement, ils doivent préalablei

faire Fépure de Tobjet fini, soit isolé, soit assemblé , puis en chercher le d loppement afm de connaître le véritable contour suivant lequel la feuille être découpée.

DÉVELOPPEMENT DU CYLINDIiB.

169. Ainsi, admettons que la fig. 2* que nous avions d'abord supposé n senter deux cylindres pleins, représente au contraire deux tuyaux ou cylii creux, formés de feuilles minces, et proposons-nous de trouver quel doit le contour de la surface de chacun de ces cylindres ramenés sur un plan.

On observe que le développement d'une circonférence sur une ligne d est égal au produit du diamètre multiplié par par S, H16, ou pratiquem( 3 fois le diamètre plus 1/7 de ce dernier; d*après cela le développement i base PQ, du cylindre vertical droit A (fig. 2), dont le diamètre est de 0" est égal à 3x0, 322 + ^^ = 1" 012. (72)

On porte donc cette longueur 1''' 012, sur la droite MM^, tracée fig. puis, si on a préalablement divisé la circonférence abkV' en un certain i bre de parties égales, comme on l'a fait fig. V^ pour obtenir l'interse des deux cylindres, on indique sur la ligne MM^ le même nombre de sions; de chacun de ces points de division, à partir de M, on élève sur droite, une suite de perpendiculaires qui représentent les génératrices co pondantes à celles du cylindre A, tracées fig. 2; comme repère, nous { désigné ces lignes par les mêmes lettres ; on porte ensuite respectivemen chacune d'elles , les longueurs }Ab\e' c^ /' P, P u\ //», o' o», Q A/ etc obtient ainsi dans la fig. 10, les points b'^ e\ /^ P, qui forment le coi correspondant à Tintersection du demi-cylindre V a V (fig. 1) avec le cyli horizontal B.

Comme Tautre moitié du cylindre est exactement égale à la première développement est semblable à celui obtenu, et se répète comme le vba h fig. 10.

Nous croyons inutile d'indiquer le développement du cylindre horizon! puisque l'opération est identique.

On voit donc, d*après ce qui précède, que le principe à suivre pour dév per un cylindre quelconque, consiste à l'ouvrir suivant l'une de ses générati puis à porter sur une ligne droite les positions successives d'une suite de p prisàégale distance, ou si l'on veutarbitrairement sur toutle contour de la; et dont on a préalablement déterminé les projections sur T intersection, q il est assemblé ou relié avec un autre, ou sur sa section quand il est coup un plan quelconque ; on trace ensuite par les points marqués ainsi sur lad des perpendiculaires à celle-ci, et on porte sur elles les hauteurs des g6 trices comprises entre la base et les points d'intersection ou de i

DÉVELOPPEMENT DU CONE.

170. De même que pour le cylindre, pour développer un cône, on l'ouvre suivant une de ses génératrices , or toutes les génératrices d'un cône sont égales, et passent toutes par un même point qui est le sommet ; il en résulte qu*en étendant la surface du cône sur un plan, toutes les génératrices forment autant de rayons d'un fragment de cercle ; par conséquent si on trace un cercle avec un rayon égal à la génératrice , et si Ton porte sur la circonférence de ce cercle une longueur développée égale à la base du cône, on formera un aecteur circulaire égal en surface à la surface latérale de ce cône.

La Bg. 9 représente le développement du tronc du cône a' b\ A'B^ projeté Ûg. 3* dont le sommet est en S'. On opère de la manière suivante :

Supposons le cône ouvert suivant la génératrice S^ A^ fig. 3^ ; avec un rayon égal à sa longueur, on trace, du centre S^ (ig. 9, le fragment de cercle A'B^A*.

Ayant divisé le cercle AB, base du cône fig. 3, en un certain nombre de parties aux points 1,2, 3, etc., et tracé les génératrices correspondantes IS» 2S, 3S, etc., on reporte respectivement ces parties rectifiées sur Tare A' B' A*, en r, 2^ 3', etc., fig 9. Puis on mène les rayons 1'S^ 2^8', 3' S', etc., qui représentent les génératrices correspondantes projetées sur la fig. 3«.

Le cône entier, d'après cette opération, serait donc développé, suivant la surface S' A^B^ A^ (73), dont le périmètre circulaire est égal à la base rectifiée du cône.

Mais ce dernier étant coupé par un plan a' b\ parallèle à la base (fig. 3'') se trouve réduit a un tronc de cône dont le développement est compris entre la base A'B' A^, que Ton vient de déterminer, et le fragment de cercle acb, que Ton trace du même centre S', avec la génératrice a' S' de la portion enlevée. Le développement du tronc du cône est donc dans ce cas une portion de couronne circulaire indiquée par un ton de hachures sur la fig. 9.

171. Dans le cas où le plan de section a'b' n est pas parallèle à la base, ou bien si le cône pénètre une surface cylindrique ou sphérique, suivant une courbe quelconque, le développement de cette courbe ne sera plus une portion de cercle tel que celui acb.

On obtiendra son développement en reportant sur le rayon de la figure 9, la longueur respective de cha(!une des génératrices comprises entre la base et les points de section ou de Tintersection (figure 3«]. A cet effet, il est important de ramener chaque génératrice intermédiaire sur la génératrice extrême par une horizontale partant de chaque point , pour avoir la véritable longueur. C'est ainsi que le plan coupant milieu a' g (fig. 3'), donne lieu à une ellipse qui dans le développement (fig. 9) est représentée par la courbe aigb. Pour obtenir, par exemple, la longueur, on rectifie le point t , de la partie de la génératrice projetée en iV (fig. 3^). Puis on trace l'horizontale t f^ qui donne alors A' •^ et on porte indifieremment la longueur S^ i' sur le rayon S^ t iftg. 9), ou bien la distance A^ i^ sur ce même rayon de V en i.

dans la fig. 1 . On obtient alors une sorte de spirale ou de volute €?J^^ ^, A', etc. Od pourrait également tracer sur le môme principe les hélices situées sur des sphères ou d*autres surfaces de révolution.