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^^ CODRS RAISONNÉ
RiSLBS SUm LA. TABLB FIÉCBDBNTB :
!• Pour détenniner le diamètre d'une roue d*eiigreDage, connaiBflant le pas des dflats et leur nombre :
MmitipUez le diaméire correspondant dans ia table au nombre de denU donné, porte pas donné en wêéires, le produU exprimera le dUtmétre en métrés.
Premier exemple : Quel est le diamètre d'une roue de 63 dents dont le pas es de 0-^0335?
On a dans la tMe ns-àMs 6S dents, un diamètre de 30,05S, alors
20,053 X 0,0336 = O^OTa,
diamètre de la roue.
Deuxième exemple : Quels sont les diamètres de deui roues de 41 et de liS dents qui doivent maicher ensemble; leur pas étant de 0-»oa6.
On a d^me paît :
13,05 X 0,035 = 0B336, diamètre de la roue de 41 dents, et d'une autre part :
48,70 X 0,035 = laSlT,
diamètre de la roue de 133 dents.
S* Pour déterminer le pas des dents d'une roue, connaissant le diamètre et le nombre de dents :
Diviser te diamètre donné par le nombre qui dans la table correspond au nombre donné de dents; te quotient exprimera le pas cherché.
Premier exemple : Quel est le pas d^une roue de 63 dents et de 0" 673 de diamètre?
0,673 : 30,053 = 0B0SS5, pas demandé.
Deuxième exemple : On Youdrait construire une roue de 126 dents pour mareher avee la précédente, quel sera son diamètre?
0,0335 X 40,106:= in 34,
diamètre de la roua de 136 dents sur le même pas.
3» IH)ur trouver le nombre de dents d'une roue dont on connaît le pas et le diamètre.
Diph0% ce diamètre par le pas donnée le quotient correspondant dans la table êern h nombre de dents cherché,
81 (Ht nombre n'existait pas dans la table, on prendrait celui qui en approche le plus.
Premier exemple : Le diamètre d'une roue est de 0^672, le pas des dents est de 0">0883) quel est le nombre de dents que la roue doit contenir?
0,673 : 0,0335 a 30,053 s 63 dents.
Deusciéme exemple : Quel doit être le nombre de dents d'une roue de 0» 875, qui doit iiiiir«fli#r aveo um orémaillère dont le pas est de 0,025.
0,875:0,035 = 35, lu iiiiiiibre correipoudant la plus proche est lio, nombre de dents cherché
VITESSE ANGULAIRE ET A LA aRCONFÉRENCE DES ROUES.
319. Connaissant la vitesse angulaire de Taxe d*un volant, d*une roue ou d*une poulie, on détermine la vitesse à leur cinH)aférence par la règle :
Multipliez la circonférence de la roue ou du volant par le nombre de tours de l'axe par minute^ le produit exprimera Pespace parcouru dans le même temps^ et ce produit divisé par 60 donnera la vitesse par seconde à la circonférence de la roue.
Exemple : Soit une roue de 1 m 33 de diamètre montée sur un arbre qui fait 20 révolutions par minute, quelle sera la vitesse à la circonférence ?
Circonférence de la roue : = 1 ^33 X 3,1416 = 4^ 176.
40» 176 X 20 tours = 83» 60,
espace parcouru dans une minute,
83^60 et = |m39,
vitesse à la circonférence de la roue.
liorsque Ton connaît la vitesse à la circonférence d*un volant ou d*une roue , on détermine la vitesse angulaire ou le nombre de tours par la règle suivante :
Divisez la vitesse à la circonjérence de la roue, par celte circonférence, le quotient donnera la vitesse angulaire par seconde^ et en multipliant par 60, on a la vitesse par minute.
Dans Texemple précédent, im 39 étant la vitesse par seconde à la circonférence de la roue de im 33 de diamètre :
im39
ona: —^ — = 0^33
vitesse angulaire par seconde,
tt Ot 33 X 60 = 20 tours par minute.
£d pratique, on peut facilement se rendre compte sur place de la vitesse d'une ipue 9Bi a un mouvement uniforme. On marque à cet effet avec de la craie un point sur la circonférence de la roue, on note combien de fois ce point mobile vient coïncider, dans ^ temps donné, avec un point fixe d*observation, puis on multiplie ce nombre de tours par la circonférence décrite par le point mobile; ce produit, divisé par le temps d*obs^ation exprimé en secondes, donnera la vitesse à la circonférence de la roue; tout antre point aurait une vitesse différente proportionnée à sa distance du centre de mouvement.
Exemple : Une roue de 2 mètres de diamètre a parcouru , d*après Tobservation, 75 révolutions dans une minute, quelle est sa vitesse à la circonférence ?
Vitesse i la drconférenoe de la roue.
Réciproquement : connaissant la vitesse à la circonférence d'une roue, on détermine le nombre de tours qu'elle parcourt dans une minute par la formule :
j^^ VX60
OU d'après l'exemple précédent : N = — - — — - = 76 tours par 1'.
Quand plusieurs roues ou poulies sont placées sur un même axe, on détermine (connaissant la vitesse de rotation de ces axes) la vitesse à la circonférence de chacune d'elles, en multipliant successivement la circonférence de chacune des roues par le nombre de tours de Taxe par minute, et en divisant chacun de ces produits par 60.
Exemple : Trois roues ou poulies a, 6, r, sont placées sur le même axe, le rayon de la roue ou poulie a, égale 1"*10, le rayon de la poulie b = im60y le rayon de la poulie c = 3,15, et Taxe fait 12 tours par minute, quelle est la vitesse à la circonférence de ces 8 mobiles?
on a pour la roue o: V = ' ^ ' ^ = imss par 1",
B. V, 6,MX1«60X12 ^^ pour la roue b: V = = 2n00,
^n M3X 2mi6X 12 ^^^ et pour la roue c : \" = -^ ^ = 2«70.
DIMRNSIOINS DES ENGRENAGES.
230. En construction, on a à déterminer dans les roues d'engrenage : 10 La force et les dimensions des dents ;
2*" Les dimensions de la jante qui porte ces dents ; S"» Les dimensions à donner aux bras.
231. Épaissbub des dents. — La résistance opposée au mouvement de la roue pem'^ être considérée comme une force appliquée à la couronne pour l'empêcher de tourner, ^^ la puUsance, dans le cas de son plus grand effort , comme appliquée à Textrémité de^ dents. Ces dernières peuvent donc être considérées comme des solides encastrés d'u^^ bout et chargés de l'autre, et l'équation d'équilibre est alors,
VX h^hX e* xl
dans laquelle
1% exprime la pression en kilogrammes à l'extrémité de la dent ;
A, la hauteur ou saillie des dents en dehors de la jante (en centimètres) ;
A , un coefficient numérique;
/», l'épaisseur des dents en centimètres ;
l, Irur largeur suivant l'axe.
Dans cette formule, le coefGcient numérique k, qui est déterminé en tenant compte Au mouvement des dents de l'engrenage, est variable suivant la nature delà matière.
D'après les expériences de Tredgold, sur des roues d'engrenage bien construites, ou
a adopté généralement pour valeur moyenne du coefficient k^ le nombre 25, pour les dentures de fonte. La formule devient alors :
P X A = Î5 X e* X /, d'où P .
formule dont trois dimensions sont variables. On établit habituellement entre ces quantités les relations suivantes : /, varie entre 3 « et 8 e.
Et A = 1,2 e à 1,5 tf.
Soit / = 4,5 e et A = 1^2 tf, en substituant ces valeurs dans la formule , elle devient :
25 X 4,5 X g X g* 1,2 Xe
d*où
- et e= 0,098 l/P
Si l'on adopte entre l'épaisseur e et la largeur / des dents, le rapport uniforme indiqué, on a, pour les faibles pressions, des dents trop minces, et pour les fortes pressions des dents trop épaisses et un pas trop grand. Pour rester dans les limites convenables d'épaisseur, il convient de faire varier le rapport de 6 à /, selon les pressions, et afin de n'avoir pas un pas trop considérable, on détermine la largeur des dents, à priori, d'après la charge qu'elles ont à supporter, de la manière suivante : pour la charge de,
lo — 100 à 200 kil. on fait / =3 X e; alors e = 0,126 l^V
2*»— 200 à 300 ... / = S,6X« . .« = 0,117 Kp
/ = 4fixe . . e = 0,104 V/p
1 = 6 Xe . . e = 0,089 j/p
/ = 6,SXe . . e = 0,084 |/^P
/ = 7 X e . . tf = 0,082 J/P
10* — 5000 et au-dessus
La hauteur h doit rester comprise entre, 1,2 x « et 1,5 x «; 1,5 X « applicable aux faibles diarges et 1,2 x «, aux fortes charges.
Pour les dents de bois qui sont ordinairement en charme et en cormier, le coefficient doit être augmenté d'un tiers dans chacune des dernières formules, qui deviennent :
e = 0,168 k^P en faisant / = 8 « e« 0,156 V^P ... / = 3,5e tf = 0,147 l^P . . . / = 46
Isa
COURS RÀISONNfi
. . e = 0,139l/p enfBd8ant/=:4,6e
. . tf=iO,119k^P . . .
. . tf = 0,109 i^P . . .
Ir^Te
On suppose toujours, dans toutes ces formules que quoiqu'il y ait généralement plusieurs dents en contact, chacune d'elles supporte tout l'effort, comme s'il n'y en avait qu'une seule, et qu'elles dussent résister pendant fort longtemps à Fusure et aux chocs.
La pression P sur les dents se détermine d'après la quantité de travail que les roues se transmettent par seconde à la circonférence primitive.
Cette pression s'obtient en divisant Veffort qu'elle doit transmettre^ exprimé en kilogrammétres^ par la vitesse à sa circonférence primitive par seconde. (')
Premier exemple : Une roue d'engrenage doit transmettre à sa circonférence primitive un effort de ôOO kilogrammètres avec une vitesse de 2» 09 par seconde ; quelle est la pression que ses dents supportent?
Ona:
= 239 kil.
effort auquel doit résister chaque dent, sans crainte de se rompre, malgré un long travail.
Deuxième exemple : Soit une roue dentée de 2 mètres de diamètre, transmettant une puissance de 20 chevaux, et marchant à la vitesse de 25 tours par minute, quelle est la pression sur les dents ?
On a d'abord :
20 chevaux s 75 X 20 = 1500 kilogrammètres, 3.14 X 2 X 25
= 2nf62parl',
d'où
;-is="""^-
pression sur la dent.
Quand ou connaît l'effort que doit supporter une roue à sa circonférence, on obtient l'épaisseur de la dent par l'une des formules précédentes, suivant le rapport que l'on adopte entre la largeur et l'épaisseur, et aussi suivant la nature de la matière.
Ainsi dans le premier exemple précédent oii P = 239 kil., l'épaisseur de la dent, supposée en fonte, serait, en faisant / = 3,5 e
e = 0,117 1^239 = 1«- 8, soit 18 millimètres,
1. Voir (i4i et suiv.) pour les expressions de /brce, vitessûf travail et kHogrammitres.
et dans le deuxième exemple où P = 573 kil.» Tépaisseur serait, si la dent est en cormier, avec l=^he
e >- 0.131 ^673 = 3e.23 OU 33,3 millim.
et / ^ 5 X 33,3 »= 161,5 millim.
3« Exemple. Une roue hydraulique de 4"> 20 ;de diamètre fait 4,5 révolutions par minute et transmet une forée de 25 chevaux par un engrenage en fonte de 1"^ 65 de rayon; on demande 1^ la pression sur les dents de cet engrenage, et 3* Tépaisseur de ces dents?
On a d'abord 35 x 75 » 1875 kilogrammètres.
cToù P = ^ = 2413kiL
Par conséquent, en faisant / » 6,5 «, l'épaisseur de la dent est
et/-i37 X 6.5 — 240»" 5.
Quatrième exemple : Le pignon droit en fonte des machines pneumatiques de Sain^ Germain a 1 m 06 de diamètre, et il est monté sur un arbre de couche qui doit transmettre une force effective de 200 chevaux, à la vitesse de 45 révolutions par minute : quelles sont les pressions sur les dents et les dimensions de celles-ci?
L*effort transmis est de 300 di. X 75 « 15000 kilogrammètres.
La vitesse V = — = 3»87 par 1".
La pression sur les dents est P = -— = 6333 kilogrammètres.
Par conséquent en fieusant / s 8 e,
on a pour les dents de fonte «^0,077 l/6m=?6ei2»6inui.3,
et / — 8 X 61.3 = 489inin.6.
On leur a donné en exécution, 75 n/m d'épaisseur et 52 cent. 5 de largeur.
222. Pas DBS DBNTS. — On se rappelle (203) que le pas d'une denture en fonte , mesuré sur la circonférence primitive, comprend : V l'épaisseur e de la dent; 2» la largeur du creux, laquelle est^ale à e augmenté de 1/10« dans le cas ordinaire,
ee qui domi# p s 2,1 e.
Ainsi des exemples qui précèdent, on trouve successivement :
rp = 2,l X 18=27mUl.8 8» p = 2,1 X 37 = 77,7 4»pz=2,l X 61,2 «128,5.
Lorsque la roue d'engrenage est calculée pour porter des dents de bois, comme dans le deuxième exemple qui précède , elle doit alors marcher avec un pignon dont les dents sont en fonte et n'ont que les 3/4 de l'épaisseur de celles en bois ; dans ce cas le pas est égal à :
Ainsi on aurait dans cet exemple ,
D'après cela, connaissant le pas de Tengrenage qui, pour deux roues en contact, doit être rigoureusement le même sur les circonférences primitives, on obtient le nombre de dents de l'une des roues par la formule suivante :
dans laquelle N représente le nombre de dents de la roue,
R, le rayon de cette roue,
et p, le pas des dents mesuré sur la circonférence primitive.
V Exemple, Quel est le nombre de dents de la roue de 1 mètre de rayon et dont le
pas est égal à 0» 0278?
On a:
-- 2 X 8.1 4 X 1 ««^ , ^ N = — rrrir^s — •= 225 dents.
On comprend sans peine qu'il est indispensable de négliger la fraction qui reste en effectuant l'opération, ce qui modiGe le pas d'une quantité insensible. Ainsi dans cet exemple, en adoptant 225 dents, le pas devient
2icR 6«28 ^^^^
au lieu de 0,0278.
Deuxième exemple : On demande le nombre de dents de bois qui doiTeot garnir h roue de 2 mètres de diamètre, dont le pas est de 0,0598 ?
rx iw — 8,14 X 2
On a : N = -^- rr- = 105.
Lorsqu'une roue est à dents de bois, il est souvent utile, pour k légnkrité de km ajustement dans la jante, de mettre leur nombre en rapport avec oelui d« lnti,«talM(t il faut modifier le pas ; ainsi, dans cet exemple, la roue devant porter 6 bras, pov QNle nombre de dents soit divisible par 6, il faudrait 102 ou 108 dents : en adnyîiMt 1» |it«
ier, le pas est un peu augmenté. Afin d'éviter des calculs qui sont quelquefois pénibles, »us avons réuni dans la table suivante les épaisseurs et le pas des dents, pour des ues d'engrenage y en adoptant, d'après M. Morin, le coefficient 0,105, ce qui suppose formule e = 0,105 l^P pour les dentures de fonte et e = 0,145 I^P pour les denres de bois; la largeur constamment égale à près de 4,5 fois Tépaisseur.
XXVr TABLE DES DIMENSIONS A DONNER AU PAS ET A L'ÉPAISSEUR DES DENTS d'engrenage quand ON CONNAIT LA PRESSION QU'ELLES DOIVENT SUPPORTER.
