DIMENSIONS

— Loc. fam. : Prendre les dijiiensions de queîgu'un. L'apprécier, le juger ou en lui-même ou dans ses œuvres.

11 Prendre ses dimensions, Prendre ses mesures, ses précautions : Echouer pour avoir mal pris ses dimensions.

— Timbre de dimension. Timbre tarifé selon la dimension du papier sur lequel il est apposé. V. timbre.

— Algèbr. Se disait du degré d'une équation ou d'une puissance.

— B.-arts. En T. de dessin. Rapport entre un objet artificiel et le même objet pris en nature.

— Géom. Chacune des étendues nécessaires à considérer pour l'évaluation des figures et des solides, il Géométrie à deux ditnensions. Géométrie plane, ii Géométrie à trois dimetisJons, Géométrie dans l'espace.

— Pliysiq. Nombre qui exprime la relation entre une unité dérivée et les unités fondamentales dont elle dépend.

— Encycl. Géom. et algèbr. Le mot dimension, dans l'origine, a été employé pour distinguer les trois genres d'étendue. Les lignes n'ont qu'une dimension, les surfaces en ont deux, les volumes en ont trois. On dit » géométrie à deux ou à trois dimensions » pour distinguer l'étude des figures planes de celle des figures dans l'espace.

La dimension d'un terme, ou plus généralement d'une expression homogène, en algèbre, est le degré de ce terme ou de cette expression. Cette assimilation vient de ce que l'expression d une longueur est du premier degré ; l'expression de la mesure d'une surface au moyen des mesures de quelques-unes des lignes qui s'y rapportent est du second degré. De même, l'expression de la mesure d'un volume, au moyen des mesures de lignes convenablement choisies, est du troisième degré.

Viète, pour donner un sens, au moins fictif, aux équations où les termes dépassaient le troisième degré, comme il y introduisait toujours les grandeurs elles-mêmes et non leurs mesures, avait été conduit à imaginer le guadrato guadratiim, le cuho quadratum , le cubo cubus , etc., w^. comme il le dit naïvement, geometria suppleatur géométrie defectus. On disait donc la » dimension d'un terme " pour le degré de ce terme.

— Physiq. Les unités physiques peuvent se ramener à trois fondamentales : longueur L, masse M, et temps T. Ainsi, une vitesse est le quotient d'une longueur par un temps ; l'unité de vitesse varie donc en raison directe de l'unité de longueur et en raison inverse de l'unité de temps ; ses dimensions sont 1 par rapport à la longueur, — l par rapport au temps ; ce qu'on exprime par la formule :

[»]= [lt-'].

îst le quotient c sions 1 et — 2 ; 1 ilération est :

[,]= [lt-].

IS nccHération qui est le quotient d'une vitesse par un temps a pour dimensions 1 et — 2 ; la formule do dimension do l'unité d'accélération est :

La force est le produit d'une masse par une accélération;

par suite, la formule de dimension de l'unité de force est :

[/] = ["lmt-'I.

Le travail ou l'énergie est le produit d'une force par une longueur ; la force vive, le produit d'une masse par le carré d'une vitesse. Ces trois quantités ont donc pour formule de dimension :

Tl^mt-H.

La quantité d'électricité q est définie par la formule de Coulomb :

/"étant la force développée par deux quantités q d'électricité agissant l'une sur l'autre àla distance d. On en tire :

q=d.^J=d.f\ La formule de dimension correspondante est donc:

[?] = [!-][/•'] = [lîM'T-'J.

Les exemples précédents suffisent pour montrer ce qu'on entend par les mots « dimensions des unités » et " formules de dimension ». Voyons, maintenant, l'usage qu'on en fait dans les changements d'unités.

Soit n l'expression numérique d'une grandeur évaluée à l'aide d'une unité de comparaison [NJ ; n^ l'expression de la même grandeur quand on prend pour unité de comparaison [N'}. On a évidemment :

C'est-à-dire que, si l'on change d'unité, la nouvelle expression numérique de la quantité est égale à l'ancienne, multipliée par le rapport de l'ancienne unité à la nou-

velle hrry- Quand il s'agit des unités fondamentales, on a

directement ce rapport.

Dans le cas d'une unité dérivée, le rapport se calcule à l'aide de la formule de dimension. Soit, par exemple, à traduire en kilogrammètres un travail exprimé en ergs. Les unités fondamentales dont dérive le kilogrammèire sont d'abord le mètre et la seconde. Pour trouver l'unité de masse dans ce cas, rappelons que l'unité de masse est la masse à laquelle l'unité de force imprime une accélération égale à l'unité de longueur. Or la force de 1 kilogramme, qui est le poids d'un kilogramme-masse, imprime à cette masse, sous l'action do la pesanteur, une accélération de 9", 81 par seconde ; d'autre part, à force égale, les masses sont en raison inverse des accélérations. Si donc la force d'un kilogramme imprime à l kilogramme-masse une accélération de 9'°,81, la même force imprimera à 9,81 kilogrammes-masse une accélération de 1 mètre. C'est donc la masse de 9,81 kilogrammes-masse, ou 9.810 grammes-masse, qui est implicitement l'unité de masse dans le kilogrammètre.

Les unités fondamentales dont dérive l'erg sont le centimètre, la seconde et le gramme-masse. Quand on passe du premier système au second, le rapport des unités de

longueur est ■ — : celui des unités de masse

des unités de temps 1.

La formule de dimension du travail :

celui