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An lieu de quatre coups de nîvean on peut se contenter d'en donner deux , en eflTel les points » et »', obtenus en faisant faire à la fois une demi-révolution au niveau et à la lunette, sont à égale dislance du point N, conséquemment leur moyenne arithmétique peut donner le point N , il en
seraîl de même des points i' et i"« (i*où il résalte qn^après avoir donoé le premier coup, on retournera iMnstrunient eo fera faire une demi-révolution à la lunette et il sufhra de prendre la moyenne de ces deux coups.
6S. Si V^'^ pouvait parvenir à bien régler son niveau, on n'aurait pas besoin de faire ces corrections , mais comme c'est extrêmement difficile , il sera encore bon de procéder par «^ette dernière méthode , pour obtenir nn nivelle* ment très-exact ^ même lorsqu'on aura réglé Tinslmment aussi bien que possible.
Du Niveau de Pente.
69. Le niveau de pente se compose d*uo nivean ik bull« d'air placé sur une règle en cuivre a b,{pL ifig. 34) munie à chaque exUémi lé d'une pinnule verticale? et P'; la première, désignée par P, est percée d'un petit trou O, la seconde P', a, en face deTouverture o, une petite baie carrée divisée par deux Crins, Tun vertical, l'autre horizontal, dont le point de crolssement so fait en O' , de manière que la ligne o(/ est parallèle à l'axe du niveau à bulle d'air. Ainsi disposé, cet instrument ne donnerait qu'un rayon horizontal , et son usage serait le même que celui des niveaux que nous venons de décrire. Mais la pinnnle P' est plqs élevée que l'antre et le point O' peut s'élever au-dessus de sa position primitive, parce que la pièce qui porte les crins a nn mouvement de bas en haut, à l'aide d'une vis de rappel. Si l'on amène le point O' à la position 0" , par exemple, Taxe du niveau restant toujours parfaitement horizontal^ la ligne O O*^ anra ai:e inclinaison exprimée par le rapport de la hauteur O' O" à la longueur e f. Si ce rapport est égal à 0,« 05, par exemple, la ligue O O" aura une inclinaison de 0, 05, par mètre. Une échelle tracée sur la pinuuleP', indique fidèlement la valeur de l'inclinaison de cette ligne et dispense de faire ie calcul.
70. Cet inslrnmenl, dont nous ne donnerons pas non plus le dessein, pnr les mêmes motifs que pour le niveau h bulle d'air, est d'autant plus exact que la longueur e f, est plus grande, parce que si l'on commet une petite erreur en plaçant le zéro de la pièce mobile devant la division de
l'échelle <iui marqaerihcliDaison que ron veat dbtenir, elle a d'aatant moins d'inflaeoce que l'instrument est plud grand , pûisqu'^elle n*ajoute à Tinclinaison qu'une quantité égale au quotient de Terreur par la loingueur e /'qui sépare les pinnules. ^
71. On se sert du niveau de pente principalement dans le tracé des roules en pays de montagne. Supposons que l'oo veuille connaître la direction à suivre pour s'élever, à raison de 0,05 par mètre d'inclinaison, sur le flanc d'un coleauf on placera le point zéro de la pièce mobile en regard de la division de l'échelle de P'î qui marque 0, 05, ensuite oq fera mettre le voyant de la mire à la hauteur du point O^ aur-dessus déterre, à laquelle il demeurera fixé Portant a^ors celle mire en un point quelconque du versant , il sera évident que si le voyant se trouve dans la direction 00", la rampe , du point où est placé le niveau à celui on est la mire, sera de 0,05 par mètre. Si le voyant ne se trouvait pas dans le prolongement de O 0'\\\ ne faudrait ni l'élever ni l'abaisser , mais changer la mire de position jusqu'à ce que cette condition fût satisfaite; on obtiendra ainsi une suite de points tels qu'en les joignant par une ligne , elle sera inclmè à 0,05 par mètre. Ce qui permettra de tracer facilement le développement de la route sous cette inclinaison.
La recherche des points que le niveau de pente donne d'une manière si facile , serait très-laborieuse an niveau d*eao ou à bulle d'air , puis que pour en trouver nn^ à 20°*, par exemple , de distance de rinstrument, il faudrait commencer par mettre le voyant à (20x0,05ss:1'^) un mètre au-dessous du point 0^ qui est de niveau avec le point O, pois chercher parmi les points du terrain à 20* de distance, celui quiamène le voyant daniï^le prolongement de 00'; pour une autre distance,, il faudrait encore changer le voyant et mesurer de nouveau; cequi serait très-pénible et même impraticable dans certaines circonstances.
Lorsque le versant sur lequel on veut s'élever est à peu près plan, on voit de suite, à l'aide du niveau de pente, la dft-ecttou à suivre, en le faisant tourner jns4a'à ce que te l^rolongemcut de 00^' aille passer par la crêle.
\nnX de se eemr d'an niveaa de pente, il faut le régler. On amène le point O' qai porte le zéro de la pièce oMbile, devant le zéro de la coulisse. On vise une mire , et OQ en fait fixer le \ojant à la hauteur du rayon visuel. Poison retourne le niveau de manière à ce que Tasil vienne s'appliquer , non sur le croisement des crins de la baie CV,mais sur on petit trou à côté , toutà-fait semblable à celai désigné par 0 dans la pinnnle P. A ce. petit trou correspond dans celte dernière pinnule une baie comme edie en O'. On dirige donc un antre rayon Tisnel comme 'e premier ; si la mire se trouve à la hauteur convenable , J'instni|nent est réglé, dans le cas contraire^ on prend la moyeooedes deax coups, on y place le voyant, et on élève OD on abaisse au moyen d^une vis de rappel la pinuule P W^Q*à ce que le rayon visuel soit dirigé sur le milieu de U mire. On est sôr alors que la ligue O O' est parallèle à l^axeda niveau à bulle d'air, et Ton peut se servir sans <^inte de Tinstrument pour tout ce à quoi il s'applique. Bien entendu que nous supposons exacte la division de Téehelle des inclinaisons. Si on avait quelque crainte à cet égard, on saurait à qnoi s'en tenir en appliquant Pinstruinent au nivellement de deux points dont on connaîtrait d'avance la différence de hauteur et leur distance.
Du NiTEAU TRÂI XT SV NlYEÂU APPAEENT.
72. Lis instruments que nous venons de décrire , doni^t, comme on voit , le moyen de mener une ligne hori- MRtaledans une direction quelconque. Ainsi, le niveau «tant placé en A ifig. 33, pi, 2), l'observateur peut mener va rayon horizontal A B', c'est-à-dire, perpendiculaire au nyon de la terre C A , passant par le point A , car telle est la définition de l'horizontale. Et le voyant d'une mire plu- ^cen N, étant amené au point B' nous dirons, diaprés la Bumière dont nous avons envisagé le nivellement jusqu'à présent , que les points A et B' sont de niveau , mais ce ^'ttllà que ce qu^on appelle le niveau apparent.
Le niveau vrai est une courbe parallèle à ta surface Atla terre, de telle sorte que deux points véritablehient ^ tiiveau sont à égale distance du centra de la terre , et
KOUTZS ET CUEMIKS. 7.
l'on voit , par ce que noas venons de dire, qae le niveat apparent est une tangente à cette courbe.
La hauteur du niveau apparent an-dessus du niveau vrai est égale à la partie extérieure N B' de la sécante C N B'. A Taide du niveau apparent , qui est le seul que noos puissions déterminer directement, on peut parvenir à trouver le niveau vrai.
Avant d'entrer dans les détails à cet égard , il faut s'entendre sur la yaleur du rayon de la terre : quoiqu'elle ne soit pas exactement sphéçiqne , on peut la considérer comme telle, dans les opérations ordinaires da nivellement , mais celle sphère étant hérissée de montagnes, son rayon varie d'un point à un autre, et parmi celte infinité de valeurs qu'il prend, il faut en choisir une pour point de départ. Quand il s'agit de comparer entre elles les différences de niveau des soniniets des montagnes , situées dans diverses parties du monde , on prend pour rayon de la terre , celui qui aboutit à un point qiielcontjue de la surface tranquille des eaux de TOcéan. Car telle est la propriété des fluides en repos que leur' surface libre est une portion de sphère dont le centre est celui de la terre. Ainsi, pour indiquer la hauteur d'une montagne, on dit que son sommet se trouve à mille ou deux mille mètres au-dessus du niveau de la mer, ce qui signifie que le rayon de la terre qui aboutit à ce sommet , a mille ou deux mille mètres de longueur de plus que celui qui aboutit à la surface des eaux de l'Océan.
Dans les nivellements que Ton fait ponr l'établissement des routes , pour les irrigations , pour les canaoi etc., il n'est nullement nécessaire de connaître la position absolue , par rapport au centre de la terre , des points que l'on a à considérer, il suffit de déterminer leur position relative , ainsi en représentant par C M (fig, 33) le rayon de la surface des mers, par G A celui de la sphère concentrique qui passe par le point A , qiie je suppose le point de départ du nivellement, on ne s'occupe^ nullement de la différence de rayon de ces deux surfaces.' ' Oii rapporte tout le nivellement à la sphère C A , comme surface de niveau vrai, et l'objet do nivellement est de faire connaître de combien un point tel que B , par
exemple , se Irouve au-dessus ou au-dessous de cette surface, c'est-à-dire la quantité N B, N étant un point an néiue oiveau que A»
Les instruments que nous avons décrits, nous feront connaître la longueur totale B B'=B N-H-N B', d'où nous déduisons pour B N la valeur :
BN = BB'— B'N,
dans laquelle la quantité B' N est inconnue.
Mais, ayant la distance qui sépare les poiuts A et N,que l'on mesure directement dans les nivellements, et qu'il est permis de considérer comme étant très sensiblement égale à la tangente même  B', nous pouvons facilement obtenir B' N : en eifet , on sait (voir la trigonométrie de Legendre) que (cale tangente A B' est moyenne proportionnelle entre la sécante entière B' N^el sa partie extérieure B' N , on. a donc : »
B'N' : AB' :: ab': b'n,
d'où l'on déduit :
B' N' 2 C JS -t- B' JS 2 K -♦- B' N
CD désignant par K le rayon de la terre.
Si nous TouHoos avoir une valenr rigoureuse de B' N > cUenous serait donnée par la résolution d'une équation du second degré ; mais si nous remarquons que cette hauteur est toujours extrêmement petite, comparativement an diainèlre de la terre, nous en concluerons que Ton peut né* gliger B' I< dans le dominateur de l'égalité :
XR-t-B' N
el prendre pour la valeur de la partie extérieure de la séante , que nous désignerons par A = B' N , la suivante
