CALOTL DES COTES ROUGES

i05. QtJAifD OD a adopté, pour le projet, un système de pentes et rampes, ce qui constitue son profil en long , on M rechercher de combien chaque point de ce nouveau profil se trouve aa-dessous ou au-dessus des points correspondans du. terrain, ou, ce qui revient au même, calculer les côtes du projet qu'on nomme côtes rouges.

Supposons qu'au profil n.^i , fig. 3S, la ligne du projet soitètablie à 1. 50 au-dessous du terrain, et à 2. 43 au-dessus, au profil Q.^ 4 , les côtes rouges seront en ces mêmes points: 51.50 et54.d4 , dont la différence est 2,64, ainsi la peflte totale, du profil n.*" 1 au profil n.» 4 , est 2.64, la

dislance étant 605», la pente par mètre est -—-=0,044.

Pour avoir les côtes rouges aux profils intermédiaires , on dispose les calculs comme il suit :

Cote roBge au point de départ . . . . • 5d.50O

Quantité dont le projet descend pour 20"» à raison de 0, 044 p.' 1» 0,880

Cote rouge au profil n.<> 2 52,380

Quantité dont le projet descend pour 15*^ . 0,660

Cote rouge au point n.o 53,0^0

Quantité dont le projet descend pour 25"^ . ^ i ,i00

on a tQi^ours soin de calculer la dernière côte rouge, bien

qu'elle soik donnée à priori » parce que cela sert de vérification ; si le projet allait en montant , il faudrait retrancher , au lien d^ajouter les quantités dont le projet monte entre chaque profil, ainsi en partant, par exenaple, du profil n.° 4, on ferait les calculs comme il sait :

Cote rouge au profil n.^ 4 54,44

Quantité dont le projet monte pour 15. . . i,40

Cote rouge au profil n.** 3 . . • • Quantité dont le projet monte pour 15.

Cote rouge an profil n.° 2 . . . . Quantité dont le projet monte pour 20.

Cote rouge au profil n." 1 51,50

406. QvAifD on a obtenu les cotes ronges du profil en long du projet , leur différence avec les cotes noires correspondantes, indique de suite de combien le projet est en déblai ou en remblai , on les inscrit au-dessous oo audessus le terrain, suivant le cas de déblai ou remblai.

liC profil en travers ou la forme de la route, étant choisi^ ou. le trace sur le profil en travers do terrain , en établissant le point milieu à 1,"^50 par exemple, au-dessous du point milieu du terrain, pour le profil n.<» 1 ; à 0,78 pour le profil n.o 2 , etc. , et Ton calcule les cotes rouges de même que pour le profil en long.

107. Cbs opérations préparatoires terminées , il s'agit d'évaluer le cube des terrassemens à effectuer pour donner à la route la forme indiquée par les profils en travers.

Four bien concevoir tout ce que nods aurons à dire sor ce calcul, on doit tacher de se représenter, dans l*espace les profils en travers dans leur plan vertical perpendico" laire au plan du profil en long, aux points marqués 1, 2* 3, 4. On voit d'abord qu'entre les profils n,^ 1 et n-* 2 le profil se trouve constamment au-dessous du teriain , et qu'en conséquence on doit enlever des terres dans tout l'espace compris entre les plans verticaux de ces deux

profils , et les lignes qui limitent là route dans le sens de la largeur , qai sont déterminées par l'intersection des plans des tains extérieurs des fossés avec le terrain. An profil D.<> i , la lettre A désigne Tnn des points de cette intersection , au profil n.*> 2 la lettre C en désigne un second. On suppose que cette intersection est en ligne droite, et ces deux points sufiisent pour la déterminer. En projetant les points A et C en A' et C, sur le plan de companison , la projection de la ligne dont nous parlons y soriemème plan , sera représentée par A' G' ; à droite de h route , car nous supposons qu'elle va dans le sens des iMiroéros , la ligne B' IV représentera de même la {wojectien de l'intersection des talus extérieurs avec le terrain*. Ces lignes droites portent le nom de lignes de passage on U911M hleuea , parce que l'usage est de les tracer avec de Veocre bleue , sur le dessin de la route.

Noos pouvons donc dire que toute la surface i déblayer se projette , entre les deux premiers profils , sur le quadrilatère A' B' D' C, ou , si l'on ne considère que la moitié de gauche de la route , puisqu'on opérera de même poor celle de droite, la surface à enlever se projette sup le trapèze A' C (2) (4). '

^OS. BsiffABQiTOirs maintenant que , dans les profils en travers, les points T, T, T ont été choisis par la considération que le terrain pouvait être regardé comme en ligne droite de l'un à l'autre ; mais quand même cela serait parfaitement juste , ces profils ne nous indiquent <|ne la position des points du terrain compris dans leur plan et rien pour la position de ceux qui sont en dehors. Cependant comme il est impossible de rapporter tous ces points au plan de comparaison, puisqu'ils sont en nombre infini , on est bien obligé de se contenter d'une certaine ^vyroximation. Pour parvenir à évaluer le cube de déblais à faire, on admet que si, à partir du plan vertical qui passe par Taxe, c'est-à-dire à partir des points Ti T» , on faisait glisser sur les lignes (Ti, Ti, A) et (T», T», C) une règle bien droite, qui resterait toojours parallèle à ce plan vertical, elle s*appoieraitcon8tamhient,et dans toute son étendue, sur la surface du terrain. De celte hypothèse, on peut conclure la position d^un point quelconque de cette surface. Il suffira de porter au-dessous du plan de compa-

( li6 )

raison les cotes connues des points T», et R. , de joindre leur extrémité par une droite R« T* {fig 39 , plane. 2), et de mener ia verticale BR', qui sera la cote du point R.

Le cube ctierché se trouve donc compris entre les surfaces planes déterminées par les lignes du projet de deui profils en travers consécutifs et la surface du terrain , que nous supposons engendrée par la ligne ci-dessus. (Les surfaces qui ont la génération que nous venons dUndiqoer, portent le nom de surfaces gauches) t

109. Da profil 2 an profil 3 , en ne considérant toujours que la moitié de la roule à gauche, on voit qu*ii y aur» partie en déblais , partie en remblai ; les points où a lieu le passage du déblai au remblai , sont appelés points lU passage ; eu supposant toujours à la surface du terrain la même génération que dessus , on peut facilement trouver le point de passage , à. une distance quelconque de Taxe ou sur l'axe lui-même. Ce point , pour Taxe , est désigoé par P, dans le profil en long. Dans les triangles semblables PM»/», PPa/a , en représentant par d» , la côte rouge T«/9i et par r» celle de Ts^s , nous avons :

dt : r#:: p/»: vt%\

mais en désignant par s la distance horizontale du profil B.(* 2 au point de passage , nous avons :

Vu : P/a :: X : /»— JT,.

d'où nous déduisons u

d* : r» :: j? ; /•— j?oud» ; d^X^» \\ x i U et, pour la distance du point de passage au profil en déblai,

/» dit d»-\'r% '

la dislance au profil en remblai serait évidemment :

(117) CD «ppliquant les chiffk-es indiqaés sur la ligne ,

Onoe calcule ordinairemenl les points de passage qu'aux ÎDflexioDsda terrain T», T», Tt, Tt, et à celles du projet /•/•, on obtient ainsi une ligne brisée P'P"P*Piy qui représente la suite des points de passage. Tout ce qui est à droite decette ligne, jusqu'au profil n.° 3, est en remblai, et tout ceqai est à gauche, jusqu'au profil n,^ 2, est en déblai.

iiO. AiBiTÉ au point Py, sur ie pied du talus intérieur du fossé, on doit chercher le point de passage qui correspond m point £. Pour l'obtenir , il faut faire attention que Ton CKQie les fossés toujours suivant la pente du projet , sans s'injoiéter si la roule sera en remblai an profil suivant ; poof obtenir le point de passage il faut donc imaginer un fossé an profil n.<* 3, et combiner le côté E G avec F H in lieu L H , comme on pourrait le croire au premier abord, ce qui donnera un point py, ; de même les points £' et F donneront Pvi, la ligne FvPvi indiquant l'intersectioo da fond da fossé avec le terrain naturel ; le point Pvi ^of joint avec le point C, donnera la projection de la %e d'intersection dn talus extérieur du fossé avec le ter- T«B ; le point I ou sa projection l' limitent , an profil n.^ 3, ^ terrain occupé par le projet. On suppose que de V à Pv, le pied du talus en remblai suivra la droite Pvl', sa crête étant PivK.

II résulte de ce qui précède que la portion de surface <^ terrain, comprise entre le profil n.<» 2 et la ligne brisée ^T'PivPv C, est en déblai , que celle comprise entre I> naême ligne et le profil n.° 3, est en remblai.

Ul. £n décomposant le cube total des déblais en autant de parties que nous avons décomposé les profils pour <^ercber les points de passage , on reconnaît que chacun ^ ces cubes se projette suivant un trapèze, tel que QP'T'S; ^ dans le sens vertical, il est limité par le plan du profil ^^ les plans SP',QP ; en dessus , par la surface du terrain,. ^n dessous, par le plan de la route. Le dernier cube se pro- ]«Ueseul suivant un triangle VPviC.

Kelaiivement aux remblais, on reconnaît encore la même

chose, mais le cube, situé à rexirémité, se (ropTe projeté suivant on quadrilatère K l' Pv Fiv.

Si nous considérions ce qui se passe entre les profils! et 2, en opérant une décomposition analogue, nous reconnaîtrons encore que le cube total se compose de cubes partiels, se projetant suivant des parallélogrammes ou des trapèzes VC'A'X.

Nous serons donc à même de calculer tous les cubes qui peuvent se présenter dans une route si nousconnaissons l'expression d*nn cube compris entre quatre plans verticaux aba*b' , ada'd' , dcd'</ , cbc'b^ ( fiy, 40 ); un plan incliné à l'horizon, abcd^ei une surface gauche a'b^c'W.

112. Ov démontre ( voir la note ( a ) ) que , lorsque le quadrilatère abcd se change en un rectangle, on a, en dé-

(ftj Soit àbcd I fig, 40, un quadrilatère quelconque , dont non* ■uppoteront, pour plus de généralité, le plan obliqne ; Ol àt e'* d% ta projection «ur un plan horizontal ; 0> b <rd , une aurface gaucbs qui limite , Bn«de«*UB , le volume comprit entre flOCu et Je< quatre

plans verticaux f^^ ofd'y dc d'cf ^ ch </6', ab ofl/y que noua noua propotona de déterminer.

RepréaentonaJ?^. 41, par d b'c d' cette aurface gauche, que nous considérons, pour plus de généralité, comme engendrée par une ligne

qui se mouvrait sur les directrices d d , vC , en parcourant des espaces proportionnels sur chacune d'elles^* puisque, par hypothèse, a'd', b (r , ue aont pas dans un même plan , nous pouvons en mener un par les points a 6 <r , et un autre par les points tl d tr , îU le couperont suivant la ligne fl^ C , en faisant un certain angle; si de plus, nous en menons deux autres par les points b crd , et If d a ,

ils se couperont suivant l'arête b d'^ et Tensemble^de ces quatrcs plans formera une pyramide irrégulière, ayant si l*on wut, sou sommet en A et pour base, le triangle Vf/d,

Menons actuellement un plan parallèle à la fois aux deux lignes a tr ^ a ,.qui. ne peuvent être dans le même pian, car il sca sai-

( ii9 )

signant pnr P la projection de ce rectangle snr le plan horizontal ; par h^h\h'^,h!'^ les quatre arêtes verticales, qni ne sont antre chose que les cotes comprises entre le projet et le terrain ; et par V Je volnme :

eo appliquant cette formule an cube qui se projette snr le

^tait que les lignes à Cr *'^ a d »*y trouveraient au wi* ce qui eut contre riiypothèse . Soit m n p q rinteriection du tétraèdre par le plao, les ligues np et fnq sont parallèles toutes deux à a'6', et eonséquemuient parallèles entre elles; les lignes mn^ pq «ont aussi parallèles, comme Tétant toutes deux k d^(/j ainsi rintersection mn P9 est un parallélogramme et nous avons, dans le triangle O^^'c .*

</n :na' :: cp' :py,

dans le triangle a'd'c' X

(/n ina' ;: mà'^ : ma' dToù nous déduisons immédiatement la i»ropoTtion :

cpf \ph' :: md'lma'

et qni prouve que la diagonale, mp^ du parallélogramme', divise en

deux parties proportionnelles, les deux lignes d d y t/b . Cette diagonale appartient donc à la surface gauche , d'après la définition que nous en avons donné*. Mais cette diagonale, divisant les pa« ralJèles en deu? partie* égales, quels que soient les points que Ton cboissise pour mener ces plans , on conçoit facilement que la sur* face gaucbe entière, qui n*est composée que de ces lignes, divise le tétraède entier, qui n*est composé que de ees deux parrallélogrammes, en deux parties égales.

Cette proposition préliminaire établir, on reecnnatt, en se repor>

rectangle ( 1 ) ( 2 ) Q Y, et, en désignant par *,;/,&",&', Id quatre arêtes verticales , parm la largeur du rectangle « noua avons :

mais les deux termes entre parenthèses expriment les sur*

tant à la^^» 40, que le volume compris entre la surface ganclierf M projection borizontale, Qt ot Cl ai, «'obtiendra en prenant !• volume dea deux prismes ai ^1 di et a'b'c^ et &l Cl dï Vc'd'^ ploi la moitié de la pyramide <ï b'Crd ^ ou bien encore, en prenant la volume de deux autrea priamea aiJiCi ofh^c'^ OtdiCt t/^C^% moina la moitié du même tétraèdre. Ainsi en désignant par;

V le volume cherché i par p,p , lea deux premiers prisme*} M^ lea deux aecooda, et par T le volume du tétraèdre^ noua auronai

V'=^p-iy-*-|-T, ou V'=P-l-P'-i-T,

en ajoutant ces deux égalitéa , nous obtenons :

2v'=tp+p'-hpH^' ou vîs?±î!±î:±p1

Pour avoir la valeur de ces quatre primes, déaignonii par Ai, h i^ hl^f hx" lea quatre arêtes verticalea Oio', 616', Cic'^ dxdf; pac>

S la surface du triangle ffi&ici ;

S' id. id. ' axdxci ;

st id. id. ai&iii ;

s^ id. id, hxdxci \

noua avons

faces des portions de profil TtKi/ifi et TeT»ff /• $ on démontrerait la même chose pour tons les cabes partiels, 2k Texceptlon de celni qni se projette snr le triangle CZÀ'; ainsi, pour avoir une première partie «lu cube compris entre deax profils en déblai, on calculera la surface entière du moins large de ces profils et la partie de surface de même largeur (4) Z de l'aulre, et il suffira de moltiplier la somme par la demi distance.

p/^s'Ciî±îî^i±5-i)

d'où noQi coMcl\ion« , pour la yaleur cherchée ;

iTAiRfpotiT le solide compTÎs entrt Ir quadrîUtèfe incliné tlhcd et n% pTPJprtion, nous v^riona anui évidemment, en dénignant par h»h ê^ W'%^h^» le» quatre arêtes verticale»: Alû, ^l^, CtC^ dtd ;

er la diffère"" de cet deux vpluraei donnrra celui compri» entre Ko^TES ET ChRIII^S. ^^'

Il reste, pour avoir le cube entier, à évaluer la portion triangulaire, On pourrait la calculer comme une pyramide ajant pour base le petit triangle S, alors son volume serait:

mais comme généralement cette portion est Ires-petite^ on ajoute la surface S è la première partie de la surface do

le qua(lriUtëre dbcd et la aurraee gauche} en le désignant par m nous autons, pour Texpression la plus générale t

Si le quadrilatère. QihtCtd , devient un trapèxe , alors on a Sszê S =4^, et la formule (1) devient;

(2)V.=-|. I S(2&-i-2fc'-*-V'-i-fc*)+S'(*-l-fc'-f-2A"-f.2&') J .

Si le trapèxe se réduit lui-même à un rectangle» alors

et la formule devient, en représentant par F la surface du icelanglel

(3) V= fiM'+W+k')

En faisant dans ces formules, une, deux on trois arêtes égales à aéro , on en dédoira toutes les formules propres à calculer tons 1rs volumes partiels qui composent le cube total compris entre deux profils en travers.

Il faut remarquer que qusnd on suppose que la surfaee du terrain est engeiKlrée par une droite toujours parallèle au plan vertical pasftant par Tuxe, la formule (l) , ci-ilt«sus, est celle qui est

profil, et on la combine avec la sorfoce da profil suWani, Gonirae noas l'avons dit pour la première portion du cube;

c'est-à-dire, que l'on prend S -^ au lieu de prendre S-^

géoénle, et ne s'applique qu'aux solide* qui se projettent luirant un ttipèse, ou un rectangle, dont deux côtés sont toujours parallèJn à l*aze. Elle ne peut donner les parties qui se projettent sut un triangle A C 7u^ fig, SS, ou tor un quadrilatère K> I F^ F'^» on, si Ton Teut» sur un trapèze A C VXy pour avoir ces parties, on spplique généralement la formule (1), mais cela tevient à cb*ngci le mode de génération primitivement adopté pour la surface da tenain, ainsi» ponr le trapèse A C VX^ cela suppose qu*& pax-

tir de« points O et ^^9 jnsqu*anx points G et A y la surface est engendrée par une ligne parcourant de* espaces proportionnels, sue

iWetCG'.

En nommant d' et df^ , les côté. W X' et W Q'\ V et V les baDtetiM des deux triangles AWX''^ CE Gf on a, par la formule {i)% ponr le Tolume qui se projette sur le trapèse» en observant <|ue

taidia que* par la méthode des snr'acei moyennes, ^e nous avona tadiqnée» dans le cours de Ponvrage^ on aurait 9

1< différence est :

ainsi la formule qu'on adopte quand la surface S est peu considérable sera, en désignant par Di la surface du premier profil, et par D» celle du second :

ainsi, loraque la largeur du terrain occupé par la route , aux deux profils consécutifs , est la même , la méthode des surfaces moyenaa ne diffère pas de la méthode générale , il en est encore de néot lorsque les côtes du fond du fossé sont égales. Il suffira qu9 l'oce des différences l' — l" df' — d^f soit très-pelite^ pour être autorisé à suivre la première. ^

Si Ton reut appliquer au calcul des déblais et remblais , dans le cas de passage , la formule (8), ci-dessus , on suppose que les arétet verticales, qui correspondent aux points F yP ^F ^ etc» JSg» SS| •ont nulles, mais cette supposition en admet implicitement ans autre, qui consiste en ce que tout les pointe de passage se trouveraient sur une droite F' F^, ce qui n*est pas ; au^ , dans ee cas, cette formule ne donne pas utf résultat plus exact que celle qui est ea usage s . -^ '

ï (Be-fr-Rt.)

Voiei comment il faudrait établir le calcul , pour avoir la formole exact: soit,^;. Ai, MN et M'N' les deux portions de profil en déblai et m. remblai; désignons par p, j/) les inclinaisons; ptf nous la ligue A B comme axe des ', et M M comme axe des y* Les déblais , dans ee cas là , sont dounés par la formule ;

IdX» ( p p^d-f-pr ) ld*X l(j/d-^^)»X\ ^"" 4 \d-hr (rf-hr)»j 2(dH-r) * 2(d-*-r)»

If 3. Bq comparant cette formule arec eetîe qu^>n dé>doil da casgéoèral ( voir note ca, formule 3, ) on voit que l'on commet une erreur exprimée par:

Boupou^ons remplacer, dans cctU formule, /> et |/> parleurs raUur»: f — " Y ■ -f y=S' y ^ et nous obtenons :

l*"*"»' T-— = It. noua pouTons décomposer cette formule en trois

tenoei;

Ce premier terme repré* sente un solide ayant pour base le rectangle ABFP»

(F est le point de passage ) deux arêtes nulles, en P et er F } les deux antres égales à d^ d' } la suiface supérieure de ce solide est gauche et a pour directrice, les lignea MN et FF) cette surface gauche ne doit pas étr»

confondue aveo celle du terrain» elle est placée au-dessous.

V^in exprimant la diiférence de largeur des profik ; df^-^' la différeoce des cotes % sur Tarêle extérieure du fond du fossé , ce qui donnera , dans tous les cas , le uiojea de se rendre compte du degré d'approximation que l'on peut obtenir.

/« Atf..^dr* ^ iecond terme repté-

*• 2 2((f- \ r) "'^ ~~ «eute un solide pl&cé au-

dcMUs tlu premier, «e projeUut suivant le mém»

sectangle ABFP, ajut pour surface sopérienie eelJe du tarraia que noua supposons être une surface gauche, dont les directrices sont MN et WWy ou encore MM cl

FG ) «ette dernière ligne étant rinjtersection de la surface du terrain par un plan vertical mené sui*

vaut FX) ce qui donn*

ligne qui est égale à la hauteur du solide considéré.