P X G A = R X CB

La pression sur le point d'appui est évidemment égale à Il somme de la puissance et de la résistance, quand elles agissant des deux cotés, comme dans les leviers de la première ( lasse ; quand elles agissent du même cûté, comme dans les

leviers de seconde et do troisième classe, elle est égale à leur différence.

99. Nous avons considéré jusqu'ici les forces agissant sur le levier, comme n'étant qu'au nombre de trois, savoir : la puissance, la résistance, el la réaclion du point d'appui.

Le levier cependant est en réalité soumis à un nombre infini d'autres forces, dans le poids de chacune de ses parties.

On a tu que leur influence sur l'équilibre du système èlaît précisément la même que si elles étaient tontes rassemblées an centre de gravité. Soit W (fig. 78] le poids supposé rassemblé au centre de gravité G du levier AB. Le levier, outre les forces P et R en A el B, est encore sollicité par une troisième force W, verticale en G. Menons C K perpendiculaire sur celte verticale qui passe en G. Il est alors nécessaire pour l'équilibre, que les momons de P et de W soient ensemble ègaui a celui de R [art. 35), ou que P X CM + W X CK=R X CM.

Il est évident que le poids du levier augmente on dimjnne la résistance, suivant que le cenlre de gravité est de l'autre côté du point d'appui qu'elle, ou du même côté. Il est évident aussi que si le levier est fait de manière "Jjue son centre de gravité tombe précisément au point de support, au le fasse osciller librement aur ce point, son poids n aura anenne influence sur l'équilibre, el pourra être supposé ne pas exister.

100. Balance romaine, — Tel est le cas de la balance romaine, ou peson italien {fig. 79). Un plateau ayant èlè suspendu au bras du levier le plus court, ce bras est rendu assez pesant pour maintenir tout le système en équilibre sur le point d'appui F. L'effet du poids de la balance est ainsi neutralisé. Le bras le plus long est divisé en parties égales, chacune A la longueur do bras le plus court, et porte en outre des subdivisions. If" poids P, mobile sur ce long bras de levier, y est suspemln au moyen d'un anneau. Suivant que ce poids est placé sur la première, la seconde, la troisième, etc., etc., des divisions du bras de levier, son moment est évidemment égal à celui dn même poids dans le plateau, ou bien au double, au triple, ele; conséqueroment il contre-balance un poids égal, double ou triple, etc., dans le plateau. Supposons qneles subdivisions soient des dixièmes,

chacune d'elles sur lesquelles le poids P sera porlé, à partir de F, élaot égale à un dixième de Fli, accroîtra son moment d'un dixième de P X FB. Pour conserver l'équilibre, le moment du poids dans le plateau doit g' accroître de la même quantité, tandis que la dislance F B reste la même ; conséquemment te poids lui-même doit s'accroître d'un dixième de P, auquel cas le moment s'accroîtra d'un dixième de P X FB, ainsi qu'il le faut. On voit dès-lors que ai l'on fait mouvoir P d'une fraction quelconque des divisions ou subdivisions, le poids dans le plateau detra s'accroître d'une même fraction de P, pour que l'équilibre ne soit pas trouhlè, et qu'en conséquence on peut peser tout article mis dans le plateau, à l'aide de l'échelle des divisions ou des subdivisions, ou même d'une quelconque de leurs fractions.

iÙl.Peion. — Celui actuellement en usage(/Sy. 80) diffère nn peu de la romaine. Il a deux points d'appui, par lesquels il pent être indistinctement suspendu, et deux échelles de divisions qui leur correspondent en partant de chacun des cô— tés opposés du long bras. Cet instrument est rarement fait pour s'équilibrer de lui-même sur l'un ou l'autre de ses points d'appui ; l'erreur qui résulterait de l'action inégale de son poids, se corrigeant en commençant les divisions fa partir du point où le poids P équilibre lui-même l'instrument. Les divisions y sont aussi des parties égales a la dislance du point d'appui au crochet de support des objets à peser; elles subdivisions en sont des fractions égales.

11 est évident que puisque P, quand il est au commence— nient des divisions, ou bien au zéro de l'échelle, détermine l'égalité des momens de l'un ou de l'autre cêlé du point ■l'appui; il faut, quand on le meut, lui faite équilibre par Un poids suspendu au crochet et qui soit la même fraction su le même multiple du poids, qne l'espace parcouru sur e bras du levier 1 est des subdivisions ou des divisions ds 1 échelle. Chaque division ou subdivision du grand bras correspond ainsi h un poids égal au même multiple ou à la Mme fraction du poids mobile, que cette division ou subdivision est multiple ou fraction du petit bras.

102. Balance danoite (fig. 81). — Elle diffère du peson, en ce qne c'est son point d'appui qui est mobile; et non plus- 'e poids. Sa construction est plus simple que celle de toute balance, car ce n'est qu'une verge portant un poids k

Mécaniqut Muttrielte, \te port. 7

l'une de ses extrémités, nu crochet a l'antre, et un anneau mobile enlr 'elles deux, servant de point d'appui, et par lequel on suspend la balance. L'objet à peser s'attache au crochet, et le point d'appui se meut sur la verge jusqu'à ce qu'on arrive à l'équilibre. On lit alors son poids sur une échelle de divisions tracées à cet effet sur la verge.

103. Balance ordinaire (fig. 82). — Elle se compose d'un fléau rigide dans lequel sont fixés transversalement, en son milieu et à ses extrémités, trois axes F, S et S'; celui du centre F sert de support au fléau, el les deux autres S et S' à suspendre les plateaux. Le fléao est ordinairement symétrique par rapport à deux lignes, l'nue qui le traverse en longueur el l'autre en largeur.

Les forces agissant sur le fléau sont :

1° Son propre poids ;

1" Les poids des plateaux el de leur contenu ;

3" La réaction du point d'appui. La première peut être supposée réunie à son centre de gravité G, qui se trouve évidemment sur la ligne transversale de symétrie du fléau.

La seconde agit suc le fléau en ses points S et S', et quand Ces poids sont égaux on peut les supposer réunis en K, point d'intersection de la ligne S S' qui les joint avec la verticale de symétrie; quand ils sont inégaux, leur résultante est trèsprès du point de suspension du plus fort poids.

La résistance du point d'appui est au point de son contact avec la surface qui supporte la balance. Soient K, F, G les points où nous venons de trouver que les forces agissant sur le fléau peuvent être supposées réunies; la résultante du poids dans les plateaux agissant en K, celle du poids du flèan agissant en G, et la réaction du point d'appui en F. Les denx premières peuvent être considérées comme des forces agissant sur un levier mobile autour de F- Il y aura équilibre quand leurs momens autour de ce point seront égaux. Si les poids dans les plateaux sont inégaux, en sorte que le point K ne tombe pas sur la ligne de symétrie A B, il est évident que cette égalité des momens ne pourra exister dans une position inclinée du fléau, que lorsque le produit delà perpendiculaire Fm {fig. 83) par la somme des poids des plateaux, étant ta force qui agit en K, sera égal à Vn multipliée par le poids du fléau.

On dit cette balance la plus sensible de tontes, parce que la moindre inégalité de poids cause In plus grande déviation de l'horizontalité du fléau. Or cette déviation est évidemment plus grande, d'abord suivant que la distance de À B où le point K est amené par l'inégalité des poids est plus grande, el que la longueur du fléau est plus considérable. Ensuite cette déviation est d'autant plus grande que lo point K', intersection de AU avec S S' qui joint les points de suspension, est plus distante de F (1). La déviation est d'autant plus grande enfin, que le poids du Dèau agissant en G est moindre el que ce point est plus près du point d'appui. Le point K est ordinairement amené à une coïncidence parfaite avec F, quand la balance n'est pas chargée, la ligne qui joint les points de sospeasion passant par te point d'appui. Le point G se met un peu en dessous du point d'appui. On peut se demander si cet arrangement est le meilleur.

On voit que, dans la position horizontale du fléau, s'il est symétrique, le moment de son poids réuni en G disparaît, puisqu'il agit suivant la verticale AB passant en F. Le fléau ne peut donc rester dans celle position , qu'autant que les momens des poids agissant en S et S' sont égaux; ou si les distances KS el KS' sont égales, qu'autant que les poids euxmêmes sont égaux. Une telle balance indiquera donc parfaitement si tea poids placés dans les plateaux sont égaux, et ce sera une bonne balance.

D'ailleurs si les dislances K S el K S' sont inégajes, le fléau ne pourra rester horizontal qu'avec des poids inégaux dans les plateaux ; et quoiqu'il resle bien en équilibre quand il n'y a pas de poids dans les plateaux, ce sera nne fausse balance. On peut cependant s'en servir pour peser aussi bien qu'avec nne autre, si après avoir placé dans l'un des plateaux des poids tels qu'ils fassent équilibre à l'objet h peser dans l'autre, on l'enlève et qu'on observe quels poids placés dans ce plateau d'où on l'a enlevé rétablissent l'équilibre; ce dernier poids sera précisément celui de l'objet à peser, et celle méthode, de la double pelée, est peut-être In plus exacte de toutes

(Il Cette élévation des pointa de suspension sur le Beau ne doit leurs pas «céder certaines limites au-delà desquelles k plus "'ble inégalité de poids renverserait te fléau.

celles qu'on peut employer pour s'assurer da poids d'an objet quelconque.

104. Il 7 a peu de machines usuelles d'une construction plus difficile qu'une banne balance ; surtout quand elle cal destinée à peser de lourdes masses. La combinaison de sa solidité et de sou ajustage exige une grande habileté de la part de l'artiste.

La fig. 84 représente une balamce faite par M. Baie pour déterminer le poids de l'étalon Btukel (30 litres, 380;, et celte balance est remarquable par la combinaison de son ajustage et de sa solidité.

La légèreté étant essentielle a. la sensibilité de la balance, le fléau est fait de bois sec, el la forme qu'on lui a donnée le rend plus solide qu'il ne l'eût été avec plus de masse.

Le fléau est percé prés de son centre de gravité, el dans cette ouverture est logée transversalement une masse solida de bronze L, dans laquelle est une pièce d'acier poli en forme de coin, qu'on nomme couteau (li, dont la section est représentée en P [fig. 85), et qui garnit complètement le travers du fléau. Ce couteau est soigneusement ajusté a angles droits à la surface du fléau, au moyen de vis que l'on voit dans la figure, et de manière à pouvoir glisser au-dessus da centre de gravité de la masse, à l'aide de vis de rappel qu'on ne voil pas dans la figure.

Passant par la même ouverture, mais entièrement détachée du fléau et reposant sur les colonnes C C d'un autre côté, se trouve une autre masse de bronze, sur laquelle est filée une plaque d'acier M, traversant le llèau et supportant le couteau sur toute sa longueur.

Quand la balance est en action, cette plaque en supporte lont le poids et celui des masses à peser, tandis que le couteau est le point d'appui sur lequel oscille le tout.

Dans la traverse que supportent les colonnes C C et qui portclaplaqued'acierM, est une ouverture dans laquelle passe

(I) On avait cru d'abord que le tranchant dn point d'appui était essentiel à la sensibilité d'une balance, et c'est pour cette raison qu'on ae servait sonïent de couteuui très-minces pour points d'appui. Hais «n a prouvé depuis qu'un angle asseï considérable pouvait Ctre donné au bord du point d'appui, sans empêcher l'oscillation, et avec plus de chance de ne pas s'endommager si facilement.

nus pièee de brome on forme de fourche N qui fait partie <Ic l'assemblas? D E D', entièrement dèlacbè du Déau quand Il balance fonctionne, mais qui peut l'élever par le mouvemeut du pied II, de manière à ce que la fourche en N atteigne une pièce saillante L dans la masse qui porte le couteau et qui est fixée dans le fléau. En continuant le mouvement dq pied H, lo fléau et avec lui le couteau peuvent être soulevés de la plaque sur laquelle ils reposent, en sorte qu'on évite la fatigue de pressio continuelle sur le couteau.

Sur des pièces saillantes aux extrémités du fléau, et précisément a égales distances du point d'appui , sont fixés on travers du bras supérieur deux autres couteaux F' [fig. 86), semblables au premier, à angles droits au plan de la surface, lis sont ajustés de même, mais leurs tranchans sont par en haut. Lw plateaux sont attachés chacun par un crochet à une pièce représentée en S' et composée de deux parties, dont chacune, ea forme d'étrier, reçoit l'extrémité du fléau, et s'y lie en dessus parone plaque d'acier M*, qui repose sur le tranchant du couteau ; tandis qu'elle porte en dessous une traverse où s'accroche le plateau. On a ainsi la suspension parfaitement exacte du plateau sur le fléau, et d'où dépend surtout la sensibilité delà balance; avec l'inclinaison du fléan, n'arrive pas la révolution simultanée des deux plateaux autour de leur support; l'effet de l'extrémité montante du fléau est le même sur le plateau que s'il était suspendu à une distance beaucoup plus grande de son point d'appui que son point actnel de suspension ; l'effet de l'extrémité descendante du fléau est le même sur le plateau que s'il était suspendu à une distance bien moindre. Ces deux causes existant toujours a la fois, mime à un faible degré, tendent * empêcher le mouvement du fléau et peuvent affecter sérieusement sa sensibilité.

L'assemblage DE D' porte à ses extrémités deux fftur- «elles de bronze N', semblables à celles en L, de chaque côté du fléau. Quaud l'assemblage est à son point le plus bas, ces fourchettes sont à quelque distance du fléau et le laissent osciller librement; mais quand l'assemblage s'élève par l'effet du pied H, elles atteignent les pièces saillantes L' cl L" dans les èlricrs, et soulèvent les plaques qui les portent du couteau 'or lequel elles reposent. Les couteaux sont ainsi mis a l'abri de tout dommage quand la balance ne fonctionne pas, et les

plateaux sont soulagés avant que les poids qui les chargeât ne soieul rulir. s, ce qui apputle de grandes facilités dan» l'usage de cette balance (1). L'aju9iage des cnutcaus dans leur* pi>«itii>ns convenables se fait par des vis de rappel qui se meuvent horizontalement ou verticalement. Celui du couteau dans le milieu en un point immédiatement au-dessus do centre de gravité du fléau, qui est le plus difficile, est facilité par le moyen de petits contre-poids tissés sur des fils métalliques représentés dans les figures comme faisant saillie horizontale aux extrémités du fléau. En les vissant pins près ou plus loin du point d'appui , on obtient un très-faible mouvement correspondant du centre de gravité dn fléau, jusqu'à ce qu'il arrive A la position voulue par rapport' au point d'appui.

105. Balance à levier courbe. — Un levier courbe ABC l/ig. 87), portant un poids a son extrémité C, et à son extrémité A un crochet soutenant un plateau, est mobile sur un aie B. Il est évident que le moment du bras BC varie avec la perpendiculaire B D a la direction du poids C, et par conséquent avec l'inclinaison de B G. Chacun des poids diQerens placés dans le plateau produira donc un équilibre dans quelque nouvelle position de BC. Ces positions correspondantes à diQerens poids peuvent être déterminées par expérience ou calcul, et marquées sur un rapporteur FG, C indiquant toujours le poids du plateau.

106. Levier» composés. — ■ On peut faire agir des leviers l'un sur l'autre, et augmenter ainsi tant qu'on veut la puissance d'un système.

Soient [fig. 88) AP' et BP" deux leviers agissant autour des points d'appui F, F"; sur leurs extrémités plaçons-en nu troisième P' P' ' dont la résistance des points d'appui F' soit dans une direction opposée à celle des antres. Une puissance P appliquée en A produira en P' une résistance d'autant plus grande, que A F sera plus grand que P'F; celle résistance

Le. fléau, ques, pui On a oin:

geui, avant de donner à la rtind 1 ajustage si difficile,

agissant, comme puissance, sur le levier P' P' ', produira une résistance en P' ', ou une puissance sur le levier P' ' R, d'autant plus grande en P', que P' F' est plus grand que P" F* ; ainsi, par une suite de leviers, la résistance qu'une puissance donnée peut produire, s'accroîtra indéfini muni.

Deux leviers de première et de seconde classe sont joints quelquefois par une verge P'R' {fig. 89); la résistance H', prolongée en P' par l'action de la force P, est telle que

P X PF = R' X R'F et la résistance produite en K, par l'action da R' prolongée en P', es) telle que

R' XP'F' = RF XR d'où, en multipliant ces déni équations l'une par l'autre, et éliminant le facteur commun R', on lire

PXPFXP'F* = R X R'F X Rf"

et l'on en conclut la puissance nécessaire a produire une résistance donnée, ou réciproquement.

Les leviers dont on se sert pour fller les roues d'une voiture, en élevant l'essieu, sont de ce genre.

107- Machine à peter ou batcule. — Une combinaison tris-ingénieuse de leviers sert à peser les voitures. Une plaie-forme de grandeur suffisante pour que la voilure y puisse reposer, est supportée à ses angles par un système de quatre leviers dont les points d'appui sont fixes dans nne maçonnerie solide, à peu de distance des points angulaires, et qui convergent suivant les diagonales du rectangle de la plateforme, vers son point central. Ils reposent sur un autre levier, dont le point d'appui est à peu de dislance de ce point de convergence, et qui passe sous la plate-forme, son eitrémïlé opposée se rendant dans le bureau du peseur.

Supposons qne la distance du point où chacun des angles de la plate-forme repose sur un levier convergent, au point d'appui de ce levier, soit un dixième de ta longueur du levier ; supposons encore que la dislance du point d'appui d'un grand levier au point où il supporte les extrémités des petits leviers, soit un dixième de la dislance du point d'appui à l'extrémité du levier dans le bureau du peseur; supposons enfin qu'un poids de 4000 étant mi» sur la plate-forme, cba-

que extrémité en supporte le quart on 1000; et aussi qa'nn poids de 1000 appliqué e chaque point de chaque levier convergent, où il supporte la plaie-forme, soit tenu en équilibre par un poids de 100 appliqué à celle de ses extrémités qui est au centre de la plaie-forme; le tout sera représenté par un poids de 400 au centre de la plaie-forme, et cette pression étant transmise a l'une des extrémités du grand levier, sera équilibrée par un poids de 40 A l'autre extrémité de ce levier, dans le bureau du peseur. Ainsi un poids de 40 suffit pour peser un fardeau du poids de 4000.

108. Point» d'appui de» levier». — Le point d'appui d'un levier {fig. 90) est ordinairement fait en forme de prisme triangulaire et soutient la pression sur un de nés angles, n'opposant dès-lors aucun* résistance appréciable au mouvement du levier autour de ce point. 11 fait partie du levier et reposa sur des plans horizontaux fixés dans no montant à chacune de ses extrémités, ou comme dans la balance de l'art 104, il le pénètre, ou bien il est fixé de support a la surface du levier sur un plan qui la traverse. Nous avons supposé jusqu'ici que le point d'appui fournissait une réaction égale et opposée à la résultante des forces sur le levier, dans chaque position qu'il est fait pour prendre; mais ceci n'est vrai que dana certaines limites. Si la résultante fait avec la perpendiculaire, à la surface sur laquelle agit le point d'appui , un angle plus grand que l'angle limite de résistance, il est clair qu'il glissera sur cette surface et que l'équilibre sera détruit.

Celle condition détermine les cas d'équilibre, possibles, suivant les circonstances décrites dans les propositions précédentes, et dans d'étroites limites comparativement.

109. Si l'on voulait étendre ces limites, il faudrait, par quelque disposition mécanique, empêcher la tendance du levier à glisser, dans certaines circonstances, sur son point de support. Pour ; parvenir, le point d'appui peut Sire changé, au lieu d'un prisme triangulaire, en un cylindre, el an heu de rester sur un plan, il peut être fait pour rester sur la surface inlèrieure d'une ouverture cylindrique, dans la masse deslinée a soutenir sa réaction. Ainsi confectionné, il devient un aie de rotation. Cet aie, comme le point d'appui , peut être nié au levier et inséré 4 choque extrémité en saillie de la colonne de support, ou bien il peut être uxé, lui-même, dans ses supports et insérédsos le levier. On ver* plu» lard

que la première disposition a de grands avantages sur l'antre. Tandis que l'on gagne évidemment ainsi l'avantage d'une position constante du point de support, quelle que soit la position du levier, ou quelles que soient les forces qui agissent sur lai, on perd l'entière liberté de rotation que donne l'autre disposition. On le comprendra facilement. Quand les surfaces du levier et de son support sont en eontact, en un seul point, comme dans le cas du point d'appui triangulaire, il est évidemment nécessaire a l'équilibre que la résultante des forces qui le sollicitent, passe par ce point ; autrement la réaction do support qui a lieu seulement alors ne pourrait soutenir cette résultante ; et le levier ayant été ainsi placé en équilibre, la plus légère altération des forces qui le sollicitent, changeant la direction de leur résultante, serait suffisante pour en- Iraîoer le mouvement de tout le système. Dans l'autre cas, le levier et son support sont en contact suivant toute la surface de l'ouverture cylindrique ou de la douille, et si la résultante des forces agissant sur le levier passe par cette surface, ils seront soutenus, quelle que soit la direction de celte résultante, pourvu seulement qje celte direction ne fasse pas, arec la perpendiculaire à la surface, un angle plus grand que l'angle limite de résistance.' Ainsi {/lg. 01 j si PE est la direction de la résultante et que l'on joigne CE (G étant le centre de l'aie, et C P la perpendiculaire à sa surface ), cette résultante sera soutenue par la réaction du support, quelle qo« soit sa direction, pourvu seulemeol que l'angle PEC icit moindre que l'angle limite de résistance. Il suit de là coe les forces agissant sur le levier peuvent être infiniment lariëes dans certaioes limites, laol eo quantité qu'en direc- / 'ioe, sans le faire tourner. Plos grande est la longueur du lever, plus grande est la distance dans laquelle une varfa- '.oo donnée de forces agissant sur lui peut faire mouvoir l'or résultante, la moindre étant donnée par les limites dans lesquelles cette variation est praticable. On a supposé ici que m dimensions de l'axe restent les mêmes. Il est évident qu'en diminuant ces dimensions, on peut resserrer les limites possibles, dans lesquelles une variation des forces ne produit pas un mouvement correspondant du levier dans une certaine étendue; c'est-à-dire que l'on peut diminuer, autant qu'on le vent, les effet» du frottement de l'axe.