CHAPITRE XI

!!7, La manivelle. ~ 129. l'excentrique. — 130. U levier 3e la presse Stanhepe. — 131 . Le renvoi iemouvemenl.

1ÏT. la manivelle. — A l'extrémité M [fig. 110) du le. net CU, mobile autour du centre C, concevons une verge UN qui lui soit jointe par un assemblage, lui permettant de tourner librement autour de ce point. Cette disposition est cille d'une manivelle. Le» deux force» appliquées agissent l'eue suivant la direction de la verge M N, et l'autre (à l'aide d'une roue d'engrenage ou par tout autre moyeu) aur un essieu dans lequel C H est fixé par son extrémité C, tandis que I essieu CM tourne autour. Les conditions d'équilibre font lift. 36) que le moment de la force appliquée à l'essieu soit égal au produit de la force en N H multipliée par la perpenfoolaireC».

Or comme les positions de C T» et de H N changent {fig. Ht et 112), de manière a venir jusqu'en ligne droite, la perpendiculaire Cm diminue continuellement, et quand cette position est atteinte, elle devient nulle. La force H doit donc ■ accroître continuellement, afin que l'égalité de» momens Soiue tubiirter, et aucune force, quelque grande qu'elle soit,

ne suffit pour conserver celte égalité. En effet le moment d« I* force appliquée à l'essieu, a une valeur déterminée ; mais aucune force multipliée par C n» ne peut avoir de valeur déterminée, quand cette ligne devient nulle. L'équilibre, dans ces circonstances, est donc impossible, et il y a une position de la manivelle dans laquelle elle ne supporte l'action d'aucune force, tant petite soit -elle, appliquée a son essieu. Quand la force musculaire du bras est appliquée (fig. 113) pour donner le mouvement rotatoire soit a une roue, soi i au treuil, cette action est précisément analogue à celle d'une manivelle.

128. Par le moyen d'une manivelle, le mouvement en longueur peut être converti en mouvement circulaire. Supposons que la verge RM [fig. 114) ne puisse se mouvoir que dans le sens de sa longueur. A son extrémité M , attachons nne seconde verge M N à l'aide d'un assemblage, et joignonsla à une troisième CN parmi autre assemblage, qui porte, a angles droits à sou extrémité, un essieu mobile en C , dans une douille ou sur un pivot. La verge CN faisant sa révolution par le moyen de sou essieu entraînera l'extrémité N de la verge M N dans son mouvement de rotation, et communiquera ainsi no mouvement alternatif de va et vient suivant la longueur de ME; ou réciproquement, le mouvement de va et vient de M R fera tourner C N autour de C et entraînera son essieu dans ce mouvement de rotation.

129. L'excentrique. — Il y a une autre disposition pour convertir le mouvement circulaire continu en mouvement recliligne alternatif. Cn cercle est fixé à l'essieu d'une roue, ou manivelle, qui porte la puissance en un point C [fi'j. 115), qui n'est pas son centre ; L N est un assemblage dans lequel est une ouverture circulaire précisément de la grandeur du premier cercle, et qui est placée dessus ou faite pour le contenir. L'extrémité N de cet assemblage peut être jointe à nne verge mobile seulement dans une direction verticale, et disposée pour appliquer la force de la machine.

La tension sur l'assemblage est évidemment dans la direction de la ligne M N, passant par le centre M du cercle , et autour duquel elle est symétrique. Prenons donc C pour centre du mouvement, et menons C K perpendiculaire sur M N, si la force P appliquée pour faire tourner le cercle sur son axe C, reste la même, l'effort multiplié par C K doit rester le même. Ainsi donc, à même que CK diminue,

l'effort doit augmenter, el réciproquement. La force R, indispensable à l'équilibre, peut être considérée comme variant presqn'autant que l'effort sur l'assemblage.

La puissance de l'eieenlrique est d'autant plus grande que l'aie autour duquel tourne le cercle est moins distant de son centre.

130- Levier de ta preue Stanhopc. — Il y a quelques faits relatifs à la combinaison de deux manivelles, qui sont dignes d'attention. Concevons deux manivelles assemblées par une verge commune M N (jty. 116) et ayant leur centres de mouvement en C et C Supposons qu'une force donnée communique le mouvement au système par la révolution de C M. Ou a vu que l'effort produit par cette force , dans la verge M N , sera plus grand à mesure que C M el M N seront plus prés d'arriver eu même ligne droite (art. 127). Cet effort se transporte en N et tend a communiquer le mouvement à C N. Si donc le système est disposé de manière que lorsque C M et MN sont presqu'en ligne, MN soit perpendiculaire a C'N, . de manière à agir sur le levier à son plus grand avantage, il est évident qu'il se produira une force énorme tendant à faire tourner l'essieu auquel le levier est attaché. Cette disposition de leviers est celle employée dans la presse Slanhope. L'essieu C guide la vis qui presse le papier a imprimer, avec une force énorme contre les caractères.

131. Renvoi de mouvement. — C'est une disposition qui, sons diverses formes, entre dans la construction d'une roule de mécanismes, el dont l'usage a pour but, en général, de convertir un mouvement continu de rotation, en mouvemens divers rectilignes. ,

G E (fig- H" 1 ) est une verge pouvant se mouvoir dans le sens de sa longueur, soit par son propre poids, soit à l'aide d'nn ressort, el mise en contact avec le bord d'une masse irrégulièrc AD; cette verge *por(e avec elle la partie du mécanisme à laquelle on doit communiquer un mouvement irrégulier ; et les irrégularités du bord de la masse A D sont faites, par eipérience, comme il convient pour assurer ce mouvement irrégulier, lorsque la masse tourne régulièrement sur ■on aie B, autour duquel elle est mobile.

Quelques-unes des combinaisons les plus ingénieuses de ce mécanisme sont en usage pour les métiers A tuile. L'extrême variété des mouvemens entrelacés qui doivent dériver

du mouvement régulier du piston do la machina a vapeur, OU de la continuité do mouvement d'une roue hydraulique, jointe a leur précision, à leur rapidité, à leur délicatesse extrême, la rangent parmi les prodiges de science de la mécanique-pratique.

La relation entre la puissance appliquée pour donner on mouvement de rotation au renvoi , et celle par laquelle il glisse, peut, dans chacune de ses postlions de transmission, être calculée ainsi qu'il suit.

Par le point où il glisse en contact avec le bord dn renvoi, menons une ligne oblique à la perpendiculaire sur sa surface, sous un angle égal à l'angle limite de résistance, et à partir de l'axe du renvoi, abaissons une perpendiculaire sur celle ligne. La résistance entre le renvoi et le glissement se calculera {art. 86) en divisant le moment de la force appliqués è faire tourner le renvoi (c'est-à-dire son produit par la longueur de ta manivelle), par sa perpendiculaire. Hais tonte la résistance du renvoi et du eoulissean, ou l'un sur l'antre, n'est pas entièrement employée a communiquer le mouvement a ce dernier; une partie est supportée pour les surfaces entre lesquelles il se ment et qui serrent à le diriger. Pour obtenir la portion de toute la force effective employée a faire mouvoir le coulisseau, il faut multiplier la résistance par le co-sinus de l'angle que la ligne de résistance fait avec la direction du coulisseau.

11 est évident, d'après ce qui précède, que l'on doit donner au bord dn renvoi une forme telle, qu'il soit impossible aa eoulissean de l'éviter, quelque fiUU» d'ailleurs que soit la pression du coulisseau.

CHAPIIBE XII.

1UM. (r U ,<,. ,<l j, „, fc ^ ,

— Vit «on* j!n. - Vit conique. — fi. Hanter.

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Supposons le tout mobile autour d'on aie 00' coïncidant avec celui du cjiindre, eL soit »'» la force appliquée au do. «ta plan du. une direction amour de l'a». detl force se propagera en Q, el agira sur ce point parallèlement à la base du plan, précisément comme elle l'eût fait avant si le plan eût eIe courbe, en sorte que l'équilibre lubiirte dans les mêmes circonstances. w Nous pouvons snpposer la force *»' engendrée au moyen d un levier avant son point d'appui en L sur l'axe du cytondre, el sollicue par une force P appliqnêe à son extrémité suivant la direction Pp\ La pression convenable en n sera engendrée par une force beaucoup plus petite en P.

On a yu {art. 86) que l'offet de la force n m* appliquée au dos du plan incliné mobile, sur un obstacle M, supposant luimême au mouvement du plan, et agissant sur sa surface, est toujours dans la direction limite delà résistaDcedu plan, c'estù-dire inchnée à la perpendiculaire sur cette surface, sous un Mécanique indattriclle, \'<>part, 9

angle égal à l'angle limite de résistante. Connaissant donc la valeur de la force n n on Q, qui agit parallèlement à la base do plan ; et aussi la direction de la résistance q, on peut trouver la valeur de celte dernière (art. 80). Quand les forces qui maintiennent en place la masse M (ordinairement sa cohésion avec les autres parties de la masse), ne sont pas suffisantes pour produire celle résistance, la masse M sera élevèo et mue sur la surface du plan.

Supposons maintenant un second plan incliné «'enroulant sur le cylindre à partir du point C, et avant sa base parallèle a la base du cylindre. L'équilibre d'une masse ayant la même pression sur lui , sera précisément semblable à celui que nous avons trouvé pour l'autre. Supposons une série de pareilles masses tontes pressées centre le plan par des forces égales et semblables, occupant tonte la longueur du plan et en contact avec chacune de ses parties. Les conditions de l'équilibre pour chacune seront les mêmes, et peuvent être amenées par l'action d'un levier semblable à PL; ou bien un simple levier placé à l'extrémité du cylindre pourra faire fonction de tous ces leviers séparés. Ainsi construit, l'instrument sera une vis; AD est sa base, AEC est un de ses filets, et A C est la distance entre ses têtes. La force imprimée au levier sera sur 1b point de communiquer le mouvement au tout, quand elle sera telle qu'elle dirige la pression sur les diffêrens points de la tète de la vis, de manière à faire avec sa perpendiculaire des angles égaux a l'angle limite de résistance.

135. La vis que nous venons de décrire s'appelle mile; et si an lieu d'envelopper le cylindre en dehors, elle y était creusée en dedans, sa surface aurait formé la tête de la femelle on écrou. Si ies diamètres des deux cylindres et les dimensions des plans sont les mêmes, les deux vis, maie et femelle, se conviendront exactement, et leurs Glels coïncideront. Si l'un étant fixe, l'autre tourne sur son axe, il y aura, outre le mouvement de rotation, un mouvement de translation dans le sens de l'axe.

134. La vis d'un sergent (fig. 119) et celle d'un élan (fig. 120) sont des exemples de vis de rappel. Dans la première, l'écrou, ou la femelle, est fixe, et la vis, ou le mâle, est mobile ; dans la seconde, l'écrou est mobile, cl la vis reste fixe.

Si la vis est fixe, de manière qu'elle puisse tourner simplement autour de son axe, tandis que l'écrou ne peut sa mouvoir que long itadin aie ment, alors le mouvement de rotation donné à l'une communiquera un mouvement longitudinal a l'antre. Celte disposition (fig. 121) s'appelle cil dé micromètre, et pins généralement vit de rappel.

135. Les matières que l'on doit soumettre à de grande! pressions, sont, pour la plupart, par leur nature, plus on moins compressibles et cèdent plus ou moins; il est néanmoins indispensable d'agir toujours sur elles sans interruption, et avec la même force, quelque modification que subisse leur forme. De toutes les puissances mécaniques, la vil est celle qui est le mieux calculée pour ce genre de pression

L'action du levier marche continuellement suivant sa position, et à raison de ce que la surface sur laquelle elle s'exerce cède ou résiste, la vis opérant dès-lors une pression égale, dans la même direction, et sans relâche.

136. La puissance de la vis est d'autant plus grande que l'inclinaison du plan qui forme son filet et l'angle limite de résistance de la surface sont moindres, et d'autant plus que son rayon est moindre par rapport à la longueur du levier à l'extrémité duquel la puissance est appliquée. Dès-lors, ai le frottement est le même et qu'on se serve du même levier, la paissante de la vis sera d'autant plus grande que son diamètre sera plus petit et la distance moindre entre ses filets, on que le pas de la vis sera plus fin.

137. D'ailleurs, en diminuant le diamètre de la vis, et accroissant la finesse du filet, on diminue sa force, car il n'y aurait pas, sans cela, de limite à sa puissance.

137. La vit Hunier {jlg. 193), qui porte le nom de son inventeur, obvie en grande partie à ces inconreniens. Elle consiste dans la combinaison de deux vis, dont l'une travaille dam l'autre. La puissance de cette double vis ne dépend pas des distances entre les filets des deux vis qui la composent, mais de la différence entre ces distances. Dès-lors les fileta peuvent être d'une épaisseur et d'une force quelconque, pourvu qu'ils ne diffèrent guère d'épaisseur enlr'eux.

De simples vis d'ailleurs peuvent avoir une prodigieuse puissance. La première impulsion que reçoit la carène d'un vaisseau qu'on lance à la mer, provient de l'action d'une petite vis. Une première vis assure l'assise sur laquelle il re-

pose, en avant des coulisses, ei la vis retirée, le vaisseau glisse à l'eau par son propre poids. Far l'action d'une via, une volumineuse balle de colon, telle qu'il n'en faudrait que quelques-unes pour encombrer un vaisseau, sont réduites en paquets si minces, que cette substance, l'une des plus légères connues, devient assez pesante pour ne plus surnager dans l'eau. Les usages de la vis sont innombrables. Il n'est pas de charpente si dure, qu'une vis ne puisse traverser; et une fois fixée, il n'est pas de puissance qui puisse l'arracher, en agissant seulement dans la direction de sa longueur et sans la détourner. C'est ainsi que l'on assemble deux- morceaux de bois assez ferme pour n'en plus faire qu'un seul. De grands piliers de baiimens ont été ramenés d'une position inclinée , h celle verticale, a l'aide d'une petite vis mue par une faible force. La vis sert à exprimer le jus des substances végétales ; c'est un grand agent du paquetage, du monnayage et de l'impression en tous genres.

138. La vis est quelquefois combinée avec la roue dentée, et constitue ainsi ce que l'on appelle la et* sans fin. Cette combinaison peut s'obtenir en plaçant l'axe de la vis dans le plan delà roue {^9. 123), ou bien à angles droits avec lui , comme dans la vis américaine sang fin.

Dans l'un et l'autre cas, les roues doivent avoir une conformation convenable à l'inclinaison du filet. La dislance entre deux filets de la vis doit titre exactement égale à la largeur d'une dent de la roue ; en sorte qu'une complète révolution de la vis est nécessaire pour mouvoir la circonférence de la roue d'une distance égale à une seule de ses dénis.

139. Quelquefois la vis, au lieu d'agir sur des dents en taîtlie sur le bord de la roue, est faite pour agir sur le filet d'un éerou creusé' dans son bord (fig. 121), disposition qui présente l'avantage d'une forme plus convenable et d'une action plus ferme de la vis sur la circonférence de la coue.

. On a vu qu'une roue dentée constitue de fait une série de leviers, et que la vie n'est autre chose qu'un plan incliné en spirale. La vis sans fin n'est donc qu'une combinaison du plan incliné et du levier.

liO. Au lieu d'être engendré par une spirale autour d'un cylindre, le filet de la vis peut être formé par une spirale autour d'un cône (fig. 125). Une vis de cette ferme combine, avec la pression d'une vis cylindrique, l'action d'un coin, et

it puissance pour pénétrer dans un corps solide s'accroît à raison de ce qu'elle se termine en pointe. La vrille el la tarière sunt des applications de cette forme de vis, qui permet de la retirer promptement.

v CHAPITRE XIII.

Ul. Flexibilité. — 142. Xention. — 1«. Frottement d'une corde. — 144. Poulie, — 145. Simple poulie fixe. — 147, Simple poulie mobile. — 148. Moufle espagnole. — 150. Premier eyilème de pouliei. — 151. Second système de poulies. — 159. Combinaison de» deux systèmes. — 156. Poulie Smiaton. — 157. Poulie White.

141. Un corps flexible diffère d'un solide en ceci, qu'il m résiste que suivant certain» directiont à l'action d'une force tendant à altérer ta forme ou à léparer tes partiel, fendit qu'un solide exerce eelte puissance en toute direc—

Une corde est un corps flexible, sous la forme d'un mince cylindre , ordinairement formé des fibres de certaines substances végétales tressées ensemble. On la dit parfaitement flexible, quand elle résiste bien à l'action des forces qu'on lui peut appliquer dans le sens de sa longueur. Ce pouvoir de résistance se nomme tension.

La tension sur ebaque partie d'une corde soumise a l'action de forces appliquées à ses extrémités (fig. 196), est la même. Supposons en effet la corde A A' en repos, les forces agissant sur ses extrémités sont alors égales (art. 5). Or la tension en A' étant la résistance que la corde oppose à la force en ce point, est égale à celle force, et par conséquent a la force A. Cela est vrai , quel que soit le point A' pris sur la corde; la tension en un point quelconque est donc égale

Une. corde tendue en ligne droite donne doue un moyen facile de transmission de la force d'nn point sur un autre. Ce

Digilized by

n'«l pas d'aillours seulement, quand elle est lirée suivant la même ligne droite, qu'une corde a la propriété de transmettre une force d'un point a un autre ; elle conserve cette propriété quand elle est courbe. En effet une lignecourie peut se concevoir comme composée d'un nombre infini de ligne* droite*, dont l'inclinaison l'une sur l'antre est si excessivement petite que chacune peut être considérée comme en ligne droit» avec sa voisine. D'après cela, il est évident qne, quelle que soit la tension de la première de ces lignes, elle- sera transmise a. la seconde, et ainsi de suite dans toute la courbe.

La corde nous donne donc aussi un moyen de transmission de force, en ligne courbe, et la reproduisant & l'une des extrémité* de celte ligne (fig. 127), quelles que soient sa forme et si longueur, avec la même énergie qui est imprimée a Vautre extrémité.

Mais la difficulté consiste h la courber; car il est évident qu'à raison de sa flexibilité, elle ne peut conserver aucune forme courte qni lui soit donnée, à moins que ce ne soit sous l'action de certaine* forée*. La méthode la plus convenable d'y suppléer, est de la tendre sur quelque corps solide dont la réaction loi conserve la courbe voulue. Si celle réaction était exercée partout, seulement dans une direction perpendiculaire à la surrace, elle ne détruirait pas celte égalité de tension dont nous avons parlé. En effet elle ne pourrait être affectée tant que l'action serait perpendiculaire fa la tension. Mais malheureusement il n'est pas do surface dont la réaction s'exerce ainsi (art. 75).

142. La résistance d'une surface peut toujours se décomposer en deux, une dans In direction de la perpendiculaire k la surface, et l'autre dans la direction de la surface ellemême. Cette dernière résistance s'oppose à la tension de la corde, qu'elle diminue continuellement avec une telle rapidité, qu'il y a peu de tensions assea puissantes pour ne pas être entièrement détruites par deux ou trois tours de la corde rouée (1).

(1) Les hits juivans relatif» au frottement des cordo sont d'une importance aises grands pour trouver place ici, quoique les principes sur lesquels ils reposent n'y puissent être expliqué.

Si uue corde enveloppe une partie quelconque d'un cylindre, le frottement sera le marne, quel que soit le rayon du cylindre, pourvu seulement que l'angle sous-tendu au centre par l'arc, suivant le^nel

Il devient dé;- lors impossible de tran (mettre la Tores par

« mojen, a moins d'one p rende perle.

143. La poulie est une machine deilinée 1 obvier à celle difficulté, ei qui sert ■ Iransroel la tension d'une corde, MO! la diminuer sensiblement, en permettant de la courber dans toute direction voulue, i. rat un èltoil cylindre ayant une gorge creusée à son bord, et mobile autour do son centre i l'aide d'un aie supporté dans un assemblage qu'on nomme chape (fig. 152 et 135). L'essieu est quelquefois nié par ses deui eilrèmilés dans la chape, en passant par un trou an centre de la poulie, et quelquefois i) est filé dans la poulie, en tournant dans les trous des côtés de la chape qni le recoi-

En général, l'indication du iprésemée par 5; pour un le, ce icradonc3 X 8 on M.

Si donc li représente la résistance

déni P = 27 R ; pour duui tours el

lapuiss.nc.__ -I ment donnera pour un demi-tour p = 5R; pour un tour et

>»tc onicncument n l'action du hmte t'uree jui tend ii le» séparer. Si !a corde s'enroule sur un cylindre, connue dans la fig. 138, et qu'à ses deji eitrémités soient appliquées deui forces P et R, on voit, d'aprèsee que nous venons de dire, que l 1 ne contre-balaricera pas R, à notai qu'il ne soit il ii !) lois cette force. (Je si le cordon auquelR «1 attaché, passe sous l'autre cordon de manière à en être pressé contre la surface du cylindre, ce-mine ou le voit en ni [fig. 129); alors, pourvu que le frottement pruduit par cette pression ne soit pas moindre qu'un neuvième de P, le cordon no se mouvra pas même quoique la foreu R ce;;;; d'unir. Si lu. deui eitréniités du cordon sont oouêca de manière à jio.sor son. l'ennuiii^ncn: [fm. tr.rtj, il y aura besoin d'une moindre iiressi'Vi sur chaîne. Or mi diminuant le rayon du cjlindre, cette pression peut s'accroître, indéfiniment, puisque, pac une propriété connue des courbes funiculaires, elle varie en raison in-

Oi. Poulie fixe. — Supposons deux forces P et R (fig. 134) agissant dans use direction quelconque aux extrémités d'une corde passant sur nns poulie ayant sa chape fixe et qu'on appelle dès-lors poulie fixe. Le frottement entre la corde et la surface l'empêchera de glisser sur cette surface, ainsi que nous l'avons expliqué déjà. Les forces P et R tendront donc, chacune, à communiquer le mouvement à la poulie autour de son aie, et puisqu'elles agissent à des distances perpendiculaires égales CM et C M', de l'axe, cette tendance ne sera détruite qu'autant qu'elles seront égales l'une à l'antre (1 }. Cela donne nn moyen de transmission de force, sans altération ou diminution de force d'une direction à une antre sous un angle quelconque avec la pression, et agissant à une dislance quelconque. On peut changer ainsi la force de haut en bas [fig. 130) en une force de bas eu hant (fi g 132), et réciproquement. Par la combinaison de deux ou de plusieurs poulies, il n'est pas de chemin, quelque long et tortueux qu'il soit, par lequel on ne puisse transmettre ainsi une pression égale.

Quand les forces agissant sur une poulie sont en directions parallèles, il est évident que la pression sur l'axe est égale a leur somme, ou deux fois l'une d'elles , ajoutée au poids de la poulie.

Terso du rayon. On peutdonediminnerassealerayond'uncylmdrc.pour qu'aucuns force ne soit aasct grande pour en chasser uns corde roulée dessus (fia. 150), mémo sans qu'une eitrémité reste libre et sans application d'aucuns force. Supposons la corde double (fig. 131) et enroulée comme précédemment, il est évident qu'on peut encore faire le cylindre assez petit pour qu'aucunes farces P et P ' appliquées aux eilrémités de l'une des doubles cordes, ne soient suffisantes pour les en retirer, dans quelques directions qu'elles y soient appliquées.

Otons maintenant le cylindre. La corde alors étant serrée, au lieu d'iître enroulée sur un cylindre, se repliera sur elle-même, auipoinls m et n, et la corde, au lien d'fitre passée en ces points sur le cylindre par une force agissant sur une portion de la circonférence, sera passée par ono force plus considérable agissant tout autour d'elle. Tout ce que nous avons dit de l'impossibilité de détacher la corde, aura lieu encore à nn plus hant degré. Enfin, aucune force P et P' agissant pour tirer les cordes P et f, ne pourra défaire le nœud.

(1) On ne tient compte ici ni du frottement de la poulie aur son u< ni de son frottement contre m ebape.

145. Quand leurs directions ne sont pus parallèles, la pression sur l'une esl égale à leur résultante. Cette résultante peut se déterminer ainsi qu'il suit : soient M, M' {fig. 132 et 133) les points où les cordes abandonnent les poulies, Joignoni CM et C M', ces lignes sont perpendiculaires a RM et PM', les dernière» étant tangentes en M et M'. Joignons M M', cette ligne sera perpendiculaire à CZ. D'oà il suit que les lioii lignes CM, CM' et MM', formant le triangle CM M', sont perpendiculaires aux directions deslruis forces qui maintiennent la poulie en repos, et sont par conséquent proportionnelles a ces forces il); en sorte que si l'on en prend une pour représenter l'une des forces, les autres représenteront les autres forces. Si donc C M représente la puissance P, M M' représentera la résistance R; et cette résistance peut être déterminée par la proportion

cm:mm'::p:r

Employant la même puissance , mais enroulant diverses parties du cordon sur la poulie, il est clair que l'on

(t] Oo pent le prouver delà manitre suivante : soient AB. ÀC AD [fig- ISS) trois lignes représentant, en grandeur et en direction, irais forées tenant nne masse en repos et f

si deux lignes sont in- ...quo, et qu'on mène»

at indicées sous le même

H s'ensuit qne P c et Q c sont inclinées l'une à l'autre sous le même ■ngle que le sont A D et A C ; ou qne l'angle P c il est égal a l'angle D A C. Par la même raison, l'angle c a b est égal à l'angle C A B. Or l'angle C A D est égal à son alterne A C B ; donc les deux angles CAB et ACE sont respectivement égaux aux deux angles c a S et "et; par conséquent les triangles sont équi angles et semblables. SI l'on divise A C en un certain nombre de parties égales, et O C en aiHsnl de «arlifj, il y aura autant do parties de même longueur que I» première dans A I) et Bfi, respectivement, qu'il j en i de même longueur que la seconde dans it et b c. Or B C esl égal à A D tomme cotés opposés d'un même parai lélogramme. 11 s'ensuit qne si I m des cotés a « du triangle a I o est pris pour représenter le

du que l'on diminue la pression sur l'axe dans la'iDÊrao proportion que l'on augmente ou que l'on diminue la corda MM' de l'arc suivant lequel elle touche la poulie. La plus grande râleur de la résistance est celle pour laquelle Pet Q deviennent parallèles, MM' devenant un diamètre du cercle (A?- 134) et égale à deux fois CM; en sorte que la plua grande résistance, est égale à deux fois la puissance.

146. Dans l'établissement des conditions d'équilibre de la poulie fixe, nous avons négligé le poids de la corde. Mais, dans la pratique, ce poids constitue un élément important du calcul. En premier lieu, tout son poids doit évidemment s'ajouter à la pression sur l'axe. En second lieu, si ta longueur du cordon de l'un des côtés de l'axe excède celle de l'autre coté, le poids de l'excès doit s'ajouter a cette des forces du côté de laquelle il agit. Dans presque tous les cas, cet excès existe. Si donc une poulie fixe sert, ainsi que cela a lieu souvent, à élever des matériaux sur les échafaudages d'an bâtiment en construction, l'une des extrémités delà corde étant tenue par une personne à la hauteur de laquelle le poids est élevé; il est clair que dès que le poids s'élève, l'excès du poids de la corde est eu faveur de la puissance et tend k soulager le manœuvre ; en sorte que lorsque le poids arrive à sa plus grande hauteur, l'effort nécessaire pour l'élever est diminué de beaucoup. Ce poids de la corde peut même être tel, qu'après une certaine hauteur il suffise seul pour élever le fardeau avec une rapidité qui n'est pas sans inconvénient. Pour prévenir cet inconvénient, l'extrémité d'une corde est quelquefois attachée au poids, de manière a se détourner d'ellemême à mesure qu'il monte, balançant ainsi le poids de la corde qui s'ajoute à la puissance.

147. Poulie simple mobile. — Dans ce genre de poulies {fig. 1ÔC), au lieu d'avoir la puissance et la résistance aux deux extrémités d'une corde, l'une de ces extrémités s'attache à un obstacle invincible ; la puissance agit sur l'autre, et la résistance R en est la résultante, appliquée à la chape. On peut prouver de la même manière que ci-dessus, que si le rayon

force AC, h laquelle il a été mené perpendiculaire, quant a lu grandeur, les denx autres cotés a h et i C représenteront eu frondeur, aussi, les deux autres forces A B et A D auxquelles on les a me-

e la ponlle est pris pour représenter la puissance, la Corde E H' [fig 132 et 133) de l'arc de contact représentera la réistaDce. Ainsi la plus grande résistance possible, étant celle ù les cordons sont parallèles et la corde M M' double do ajon.est deux fois la puissance. Il s'ensuit qu'avec une pouie de ce genre, une force de 100 peut élever un poids de 200.

Dans la pratique, la poulie fixe et la poulie mobile sont orinaireraonl combinées comme on le Toit (fig. 136), la même âble passant sur tontes deux.

148. Moufle (1) etpagnol. — C'est un système de trois soulies {fig. 137), dont Tune est fixe et les deux autres sont nobiles. Ces dernières ont leurs chapes attachées par le nème cable P' Z' P' ', passant sur la poulie fixe Z'. La puissance P est faite pour agir sur un second câble passant sur la première poulie, sous la troisième et fixé en Z. La tension ur le cable P P' QQ'Z est parloat la même (art. 141) et :gale à la puissance P; tandis que la tension sur le cflble ? Z', el par suite sur P' ' Z', est égale à deux fois la puisance. Dès-lors la troisième poulie est supportée par trois or ce s , les tensions de P' Q', Z Q, et Z' P" , dont deux sont égales à la puissance P, et la troisième au double de cette puissance. En somme, la force qnî supporte la résistance est égale au quadruple de la puissance , ou bien R — 4P. Les deux poulies mobiles étant ici suspendues aux extrémités d'an môme cible, se contre-bal an cent évidemment.

149. La fig. 138 représente un autre système de deux poulies fixes et d'une poulie mobile. Le même cible passe sur tontes les trois, amenant la puissance a l'une de ses extrémités ; il passe sur la première poulie fixe A, sous la poulie mobile P<, et sur la ponlie fixe P>, pour revenir s'attacher à la chape de la poulie mobile en Pi. La résistance R est supportée ici par les tensions igale* des trois cordons APi, P. C, et P» Pi , formant en somme trois fois la tension de l'une d'elles, c'est-à-dire trois fois P, ou 11 — "P.

150. Premier tyrtème de poulies. — On peut combiner plusieurs poulies mobiles de manière à augmenter la puissance d'un système. Supposons que la première ponlie C (fig 139),

[i) Ce nom de moufle s'applique en général k toute espèce de sjslèmede poulies; mais il oatjplos ordinairement emplojré pour désigner onsTitème de poulies enfilées dans une infime ebape.

sur laqnella passe le câble PCD, ayant une de ses extrémités sollicitée par la puissance P, et l'antre fixée à l'obstacle immobile D, soit attachée par sa chape a une seconde corde P. Ci, passant sur une seconde poulie attachée à un second point fixe Dtj qu'une troisième poulie s'attache de même à la seconde, et ainsi de suite.

Supposons enfin que la dernière poulie porte an poids R. Puisque les cordons C, P. et Ci D> supportent également à eux deux le poids R, chacun d'eux en porte moitié, et la tension sur le cordon Pi Ci est moitié du poids R. Or les cordons Ci P. et Ci Dj supportent également celle tension ; chacun d'eux en supporte donc moitié, ou */4 deR. De même Pi C. et C. Di se divisent la tension sur Pj Ci , chacun portant '/8 de R, et C P et Cl» en portant chacun moitié on V« U de R, ce qui est, par conséquent, la valeur de la force P nécessaire à l'équilibre, ou bien R = 16 P. On peut ainsi déterminer la puissance nécessaire pour supporter le poids, quel que soit le nombre des poulies intermédiaires, en divisant le poids par le nombre résultant de la multiplication de deux fois autant de fois par lui-même qu'il y a de pouvons avons négligé ici les poids des poulies; la puissance additionnelle nécessaire d'ailleurs pour les supporter se calcule aisément en considérant le poids de chacune comme nne force appliquée séparément a cette pmtlie. Ainsi, pour supporter la première poulie, moitié de son poids doit être ajoute à la puissance. Pour supporter la féconde, il suffit du '/4 de son poids, de '/8 pour la troisième, et de */l6 pour la quatrième. En les ajoutant a la puissance on a tout ce qui est nécessaire à l'équilibre.

Dans la fig. 1Ô9, les poulies augmentent de diamètre, à partir de la première. La raison en est que les pressions: sur les axes s'accroissaul continuellement, si l'on no fait que d'une force suffisante l'axe de la première, celui de la seconde doit Sire d'un diamètre plus grand que celui de la force suffisante, celui de la troisième plus grand encore, et ainsi de suite. Les essieux augmentant de diamètre, les frotteméns sur ces essieux s'accroissent aussi. Il faut donc que les diamètres des poulies deviennent de pins en plus grands, afin que chacun puisse agir avec la même puissance pour contrebalancer ce frottement.

151. Second système de poulies. — Dans le système qa« nous venons de décrire, ta résistance sur la corde de la dernière poulie et le; poids des différentes poulies agissent contre la puissance ou tendent à accroître la résialaiTee. Noos allons décrire un système dans lequel tes tensions des cordes de toutes les poulies agissent immédiatement sur la résistance, el dans lequel les poids des poulies favorisent la puissance ou agissent de concert avec elle.

Pi, Pi, Pi (fig.i'tQ) sont des poulies mobiles, et P.eit nne poulie fixe. Un cible passant sur la poulie P« est attaché par l'une de ses extrémités i nne barre portant un poids R, et par l'autre extrémité à la chape d'une ponlie mobile Pi, sur laquelle passe un second cable agissant de même sur R , el portant une troisième poulie Pi ; le nombre des poulies peut ainsi s'accroître indéfiniment. Le câble qui passe sur la dernière poulie supporte l'action de la puissance P.

Or la puissance P, par le moyen du cable PPip, , rapporta une portion du poids R égale a P et transmet sur U corde Pa p, , par laquelle la poulie Pi est suspendue, nne tension égale à -jP, el conséquemmeut elle supporte en » une portion ultérieure du poids, égale à 2P. Cette tension de 3P sur Fa p, produit de nouveau sur P, p, une tension égale à 4P, et supporte par conséquent, en p. , nne portion du poids égale à 4P. On verrait do même que la portion du poids soutenue en p, est égale à SP. Ainsi le poids P est fait pour supporter aux points p, , p a , p s , p,, des portions du poids R, égales à P, 2P, 4P, Sp, respectivement ; et tout le poids supporté égale lfiP, ou bien R = ISP.

Ou peut calculer, d'une manière analogue, le rapport de la puissance i la résistance du poids, quel que soit le nombre des poulies dont lo système soit composé. Nous avons ici négligé les poids des poulies ; il est évident qu'ils agissent ton pour tupptirter le poids R. Leur effet dans ce sens doit Cire calculé comme précédemment. Les poulies doivent s'accroître de grandeur, 6 partir de celle qui porte la puissance, pour les mêmes raisons que dans le système précédent.

152. Les deux systèmes précédens se modifient quelquefois en combinant avec chaque partie mobile, une poulie fixe d'un diamètre moitié moindre. Le cable passe dessus, et retourne s'attacher à la chape. Chaque poulie mobile, alors, an lieu d'être soutenue par les tensions égales des deux câbles , est

Mécanique indaitrietle, 1" part. 10

soutenue par les (disions égales de trois {flg. 141) ; ces tensions sur les cables successifs, an lieu d'être, par suite, le double, sont le triple l'un de l'autre. Le rapport de la puissance, et de la rtsislence peut, en ayant égard à celte différence, se calculer précisément de la même manière que précédemment.

1S5. Bans la pratique, on n'emploie que rarement, ou même pas du tout, les systèmes de poulies que nous venons de décrire. Les poulies en général sont mises en usage, nonseulement pour surmonter de grandes résistances, m&is pour produire un degré plus ou moins considérable de mouvement continu. Or, revenant a la fig. 140, ii est évident qu'en raccourcissant chaque cordon qui passe sur une poulie, d'une Cértaine quantité, nous ferons mouvoir la poulie elle-même et nous raccourcirons le cordon Voisin auquel cette poulie est attachée, seulement de moitié de cette quantité; et donnant ainsi un certain mouvement a la puissance, nous ferons moùvolrles diverses poulies, a partir de la première, chacune en des espaces égaux à la moitié de celui parcouru par la poulie précédente. Les poulies se sépareront ainsi rapidement l'une de l'autre. Celle qui porte la puissance descendra vile, et deviendra inutile, avant même que la résistance soit remontée Sensiblement.

C'est pour cela qu'on a inventé un autre système de poulies dont on fait habituellement usage, et qui, sons avoir la même puissance avec le même nombre de poulies, ou la même liberté de frottement, est d'un emploi beaucoup plus commode.

454. A et B (fig- 143) sont deux blocs dans chacun desquels une série de poulies est disposée, l'une au-dessus de l'autre, et chacune mobile sur un essieu séparé. Le bloc supérieur Àestfixe, et le bloc inférieur B est mobile, emportant le poida IL. Un câble portant la puissance passe sur la poulie supérieure du bloc d'en haut et sur la poulie inférieure du bloc d'en bas, et ainsi de suite jusqu'à ce que son extrémité vienne se fixer a l'extrémité du bloc d'eu haut. La tension du cable est la même partout, et par conséquent la puissance est la même partout. Or l'effet de ces tensions sur le bloc d'en bas, si elles sont parallèles l'une à l'autre, esl égal b leur somme, ou bien à autant de fois la puissance P qu'il y a de cordons

(ill )

passant »ur le bloc d'an bas. Si doue il y a six cor dons, comme

dans la ^j. 142, R = 8p.

II y a, dans la pratique, uu inconvénient à, se servir de ce système, et qui provient de ce que la longueur des blocs empêche d'élever le poids à une distance considérable du point auquel le système est suspendu.

155. Pour obvier à cet inconvénient, on a disposé un système dans lequel les poulies, au lieu d'être ensilées l'une au* dwtout de l'autre dans chaque mouOe, ce qui nécessita uu* grande longueur des moufles, sont simplement côte à côte et ■épatées par des chapes qui leur permettent de tourner sur lamine axe (fig. 143). Un Inconvénient dans l'usage de cette espèce de moufle, c'est que les cordes changent de plan en passant d'un moufle a l'autre, en sorte que, quoiqu'elles soient parallèle* l'une à l'autre, de chaque côté du moufle, elles ne le sont pas respectivement à celles qui sont du cùté oppose du même moufle. Il en résulte un tirage oblique des cables sur les poulies, ce qui tend a accroître les frotte mens <l i détruire les axes.

156. Poulie Sméaton (/ig. 141). — Le célèbre Stnèalon a disposé un système de poulies d'une manière fort iagéniense. Les deux moufles renferment chacun dix poulies, en deux rangées l'une au-dessous de l'autre, et un seul câble passe sur toutes dans l'ordre indiqué par les chiffres. La tension étant la mémo sur le cible, partout, chaque briu agit sur la résistance avec une force égale à la puissance. La totalité de l'action est égale à la puissance répétée autant de fois qu'il y » de leviers.

La seule objection contre le système, c'esi que chaque poulie tournant sur on axe séparé, le cible perd une partie de sa Uosion en passant dessus (l), en sorte que tes tension» sur

(1) La porte totale par le frottement peut se déterminer aisément. Nousaïoni , u 'an. lit!! que la pmilie ne peut pas c-lre mine en œoQïem eI ii,à iniiin- 'in.'ki réélit. ;:>!.■ Y. -le ;.. puissance ot de la résistasse ce passe en > fi<j. t lii , de «ïlo que l'angle CS Z soit égal ' linglc limite d? i.iaure, [| sVusuit que if étant oblique par "Pport à B P et A R, sous un onde égal à Tendu limite de réals- «rn^et MN étant mené par K parallèlement il 1! P ou A R,R

O'oiil'on tira la valeur de R. La différence entre R et P est ta fenspaiie frottement. [Yoyei l'appendice.]

les brins diminuent continuellement à partir de celui sur le quel agit directement la puissance, cl leur somme est beaucoup moindre que celle que nous avions déterminée.

157, Poulie White {fig. 145). — C'est un système de moufles où toutes les poulies tournent sur le même axe. A et B sont les moufles dans lesquels les poulies, au lieu d'être rangées l'une sous l'autre, ou cote à côte, sont concentriques l'une fur l'autre. Le même câble passe successivement sur toutes, commençant à la plus grande poulie du moufle supérieur, et elle est attachée au centre du moufle inférieur.

Supposons que les deux moufles soient rapprochés l'un do l'autre a une distance quelconque. Le câble C Ci sera alors raccourci d'une longueur égale à cette dislance, et cette longueur sera celle du brin qui passe sur la poulie Ci et sur la poulie Ci ; mais en venant sur la poulie C-, il se raccourcira de même que C Ci. Donc en passant sur Ci, il aura deux fois la longueur du brin passant sur Ci. En passant sur Ci, il aura une longueur de brin égale à celle sur Ci, plus la longueur dont a été raccourcie Ci Ci, c'esi-a-dire qu'il aura trois fois la longueur du brin qui passe sur C, ; et ainsi de suite. Les longueurs des brins qui passent sur les poulies seront donc respectivement comme les nombres 1, 2, 3, A, etc. Ceux qui passent sur les poulies du moufle supérieur étant comme les nombres impairs de la série, et ceux qui passent sur les autres comme les nombres pairs (1), il est évident que les dimensions des poulies doivent iHre calculées de manière à ce que chacune reçoive le brin qui vient de la précédente. Il est aisé de voir que pour que cela ait lieu, leurs rayons doivent Être dans ie monflo supérieur comme les nombres i,

3, H etc. , et dans le moufle inférieur comme les nombres 2,

4, 6, etc.

(1) Or pendant que les deus moufles sont près, toutes les poulies de chacun, puisqu'elles sont fnées ensemble, tournent suus le mime angle. Les différentes longueurs des cordes sont donc tirées des arcs sous-tendant les mêmes angles dans les poulies, et leurs longueurs égales à celles des arcs. Les arcs sous-tendant le même angle en différentes pouliesdu même moufle sont donc l'un o l'autre comme les nombres 1, 3, B, elc.,pour le moufle d'en haut, et 2, 4, (!, etc., pour le monflo d'en bas. Mais les arcs sous-tenJant des angles égaui sont comme les rayons. Les rayons des différentes poulies «ont donc dans le même rapport.

C'est une grande difficulté de faire dei pouliea de cee dimensions précises, .urtont puisque le rayon du brin du.1, dans chaque cas, èire ajouté à celui de la poulie. Cette difficulté est si grande qu'elle rend imposable I eieculion d une poulie de ce genre- La moindre déviation, même celle de 1 epaiueur du brin, suffil pour rendre le ten.iou beaucoup ■oindre .ur certains brins, et détruit tous les avantages de leur arrangement.