CHAPITRE XIV

158. Isa conditions d'un système rigide tout nécessaire», "tais non mflitanlet d i'euuiiiére d'un Sf/sléme de forme eu- Tiame — 162. Le polygone de oeroei tutpendieei. — 1,6*.

u *a»t. - in». i« * -

113. JiunaJieg*. de eer.ei on d. cordes. — 176. fiio.d.le du Idtis de ekdrpenle. — «». Arehet en toli.

153. Equilibre d'un losleme de forme variable. — Les conditions de l'équilibre d'un système rtoide sont nécessaires à l'éq.ilibre d'un système de /ère» e.cinMc, «m,. el|es ne sent

pas suffisantes. . , i,lî n „

Imaginons en eltet un sjslime qui perme Je une variation da.,1. disiribuli.n de se. p.riie. en équilibra, ..«aine, force, qui agissent dessus et Je certain., rés .l.n que prèsenlent ces parues. Supposons alors ces partie. «M e.tr'elles, en sor.e ,u« le tout devienne solide en laissa»! tomme dev.nl les forces qui agissent dessn.. Alors le pouvoir additionnel de résistance ainsi donné aux parties du svsléme, ne s'éioign.ni pas du pouvoir de ré.i.tance qu elle, avaient avant, cl qui était sullisant pour maintenir un équilibre parmi les torées eppliquée. qui sont restées le. mémos, il est clair que l'équilibre subsistera. Mais le système est rigide maintenant. Les torces qui agissaient sur lu. Tenaient ,„ repos, quand sa forme était variable, sont donc telles qu'elle, froduiraicot nti équilibre sur lui quand même

jeltes aux conditions d'équilibre d'un système rigide.

159. L'inverse de la proposition n'a évidemment pas lieu. Il ne s'ensuit pas que si un certain nombre de forces sont en équilibre sur un système rigide, elles resteront en équilibre quand la forme du système est sujette à variation. Ainsi les forces P et Q peuîent èlre suffisantes pour tenir en équilibre la force R [fig. 147), lant que la verge PQR reste inflexible; mais si l'on admet un joint en R, l'équilibre cessera évidemment. :

160. Si la masse solide (1) AB (fig. US et 149) est sollicitée par deux forces égales et opposées, P, Q, elle se tiendra en repos. Mais si la masse peut se diviser suivant l'intersection M N, l'équilibre sera détruit, soil parce que la partie supérieure viendra A tourner sur son angle M {fig. 148), la direction des farces P, Q se trouvant en dehors de la surface commune MN par laquelle les masses agissent l'une sur l'autre (art. 55); soit parce que la partie supérieure glissera sur la surrace de la partie inférieure, la direction de la ligne P Q étant en dehors de l'angle limite de résistance (fig. 149).

161. Ces exemples sont pris de deux classes impartantes de corps de forme variable, c'csl-a-dire :

1° Systèmes formés de verges ou de cordes, dont les parties sont liées ensemble suivant leurs angles, mais mobiles autour.

3° Systèmes de corps solides en contact, dont les surfaces communes ne sont pal autrement liées entT'clks que par leur commune pression.

A la première classe appartiennent les polygonesde cordes on verges, liées, assemblées, et formant des courbes semblables à celles en usage pour la suspension des ponts. A la dernière classe appartiennent les constructions de toute espèce.

Par rapport à toutes, le principe est que les forces qui les maintiennent en repos quand leur forme est susceptible da variation, les maintiendraient également si le système était

ldi.Equililired'unpolggone île ttrgelou à* torde* (polygone funiculaire). — Soient Pi, P,, Pi, etc..., P, (fig. loO), un

(1) NonsftiBoiu abstraction du poids de la masse.

polygone de verges ou de cordes , que nous supposerons sans poids, et sollicité sur ses angles pour les forces Pi, Pi..,, f:. Ces forces tiendraient le système en équilibre, s'il était rigide. Il s'ensuit que si ces forces étaient réunies en un seul point, et appliquées en ce point parallèlement à leurs direcs ions, elles seraient en équilibre (art. 57). Tontes les forces Pi, Pi.... Pi, appliquées sur l'un des angles du polygone, parallèlement h leurs directions actuelles, maintiendront donc ce point en équilibre.

Mais de plus, il est clair qne si l'un suppose appliquée sur le cité du polygone, dans la direction de sa longueur, une forte égale a la tension sur ce coté, et qu'on enlève toute cette partie du polygone qui est vers la direction de celte tension, le reste du polygone restera en équilibre.

Si donc nous appliquons suivant la direction du cûlé P» P< ( une force égale à la tension de ee cûle, nous pourrons enlever la portion P,, P,, P, du polygone sans troubler l'équilibre Preste. Il s'ensuit que les forces appliquées a P Pi P, P,, le maintiendront en équilibre comme s'il était rigide , et que si « lei réunit en P., elles maintiendront ce point en repos.

P»r conséquent, les forces agissant sur une portion queltonqoedu polygone P Pi P», sont telles que si elles étaient appliquées au point extrême P,, elles seraient en équilibre am la tension du coté Pi P> se terminant à ce point.

1C5. Cette proposition nous conduit à plusieurs conclusions d'une grande importance en pratique. Supposons que les fortes p, p, soient remplacées pnr des poids suspendus ani du polygone {fig. \T,i). Il suit de ce qui précède que si [m poids P., P., P*, étaient tous suspendus au point P> comme le «présente P* P'i F'i, et que la force P ffil aussi appliquée (n ce point suivant sa parallèle P'; ces forces produiraient précisément la même tension qui existait déjà sur le cordon P 'P', et qu'en conséquence elles auraient cette tension I»ur leur résultante. Il s'ensnit dès -lors que plus les poids sl »t lourds et nombreux sur la branche PP> du polygone, pins la tension est grande sur lo côté P.P.. La tension sur on polygone de ce genre est donc la plus grande a ses points ia suspension, et la moindre au point milieu enlr'eux.

•M. La chaînette. — Tout ceci a lieu, quel que soit le «ombre des cotés du polygone, et par conséquent pour nn HïBoûb d'un nombre infini de côtés. Dans ce cas le poly-

eone devient une courbe, et si les poids sont égaux nul r 'eux,

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gale épaisseur, sus) Une semblable 1

be est, par conséquent, plus . rompre près de ses points de suspension que près de son point le plus bas, et pour être de force êgJe partout, elle doit être renforcée près des points de suspension. On l'appelle la chaiueite, ou courbe do lu chaîne, et c'est

(4MBI). La force ^agissant sur le ? aisseau , on la tension

d'après les principes que nous venons d'expliquer, la même que si la résistance horizontale, que fournit l'ancre, était appliquée immédia lement en ce point, ei que tout le poids

longe P A et P«li , ces lignes rencontreront RT M Un minn point T.

166. Semblablement , dans la courbe funiculaire ou chatnelle ( fig. 1 54 ) , si l'on y mène deus tangentes aui points de suspension A et B , ces tangentes Étant dans les directions des forces qui soutiennent la courbe en ces points, se rencontreront prolongées sur la verticale G T passant par le centre de gravité de la courbe.

Représentons par GT le poids de la courbe AB, el menons GN el G M parallèles aux cOtés BT et AT. Les lignes NT et MT représenteront alors les tensions ( art. 21 ). Ainsi AT étant divisé en autant do parties égales qu'il y a d'unités de poids dans la corde ou chaîne AB, autant il y aura de ces parties dans MT et NT, autant il y aura d'unités de poids dans les tensions en A et B. Or a mesure que la corde est tendue plus raide, le point G s'approche de plus en plus, et la ligne GT diminue continuellement. GT étant toujours divisé en un môme nombre de parties égales ( c'està-dire autant qu'il y a d'unités de poids dans AB), il est clair que ces parties continueront è diminuer de grandeur. Si donc MT et NT restent les mêmes, les nombres de ces parties contenues dans ces lignes, respectivement, s'accroîtront continuellement, el les tensions en A et B s'accroîtront aussi. Mais à mesure que AB se tend, les tangentes AT et BT s'approchent de plus en plus d'être sur la même ligne droite. GN et GM qui leur sont parallèles approchent donc de plus en plus aussi d'une ligne droite parallèle à la pression, et les distances TM et TN continuent de croître. Pais donc que les tensions s'accroîtraient si TM et TN étaient constans, elle croîtront beaucoup plus encore dans les circonstances où elles se trouvent maintenant.

167. Or si GT est inGniment petit, ses parties seront infiniment petites, et leur nombre eu sera infiniment grand dans MT et NT. 11 faudrait donc des tensions infinies en A etB pour redresser la courbe. En d'autres termes, aucune ligne fleiible, sollicitée à ses extrémités par des forces de grandeur déterminée, ne peut être tirée par elles de manière à devenir droite (!].

(t) Les deui propriétés suivantes de 1» ebainette ne peuvent élre dimoiurfea autrement qu'en s'sppuyaut sur des principes dont nous ne supposons pas <]ue les lecteurs à qui ce livre est destiné aient

168. Lu propriétés de la chaînette onl acquis une grande importance depuis l'usage général de cette courbe dans les ponts suspendus. Cependant la courbe des chaînes supportai le tablier de ces pools n'est pas une chaînette rigoureusement. Dans la chaînette, le poids est censé distribué de manière qu'une longueur égale en soutienne une égale partie. Or le poids du tablier n'est pas ainsi réparti sur les chaînes. Les verges de suspension {ftg. 1SG ) sont, à la vérité, placées a distances égales les unes des antres; mais les longueurs des portions de courbe qu'elles comprenne ut sont différentes; celles près des points les plus bas de la chaîne sont seulement égales aux parties do tablier qu'elles coupent, tandis que celles près des extrémités sont plus grandes. Dès-lors la chaîne employée à supporter le tablier d'un pont suspendu, ne doit pas affecter rigoureusement la forme d'une chainelte. Si la chaîne était sans poids, la pression sur le tablier lui ferait prendre la forme d'une parabole.

C'est en réalité une courbe intermédiaire entre la chaînette et la parabole, et participant des propriétés de ces deux courbes.

169. Polygone de verges debout, — Nous avons, dans notre discussion du polygone de verges chargé de poids, supposé qu'il était suspendu. Tout ce que nous avons dit a lieu également pour un polygone debout. Toute la différence consiste en ceci, que l'effort sur les verges du polygone suspendu tend

connaissance. Leur grande importance, dans la pratique, réclame ici pour eux lear place.

Trouver la longueur de la chaîne P AI [fig. Xlîi) qui, 'étant passée sur une pnnlic en nn point P de la cliaîncttc, supporterait la tension en ce point, ion point le pins bai If tirant la linue horiiontale CM». Alora la tension en un antre point Q serait supportée parle poids de la^chatac Q N, menée semblablement de Q sur la même horiion-

I.a méthode suivante donne un moyen facile de trouver géométriquement ta distance de la ligne CD au point le plus bas E de la chaînette (ftg. 1B7). Menons les horliontaies A L et H E K, ainsi qne la Verticale L E F N ; prenons une ligne droite LM, égale on longueur à la courbe E B, et telle qu'à partir de L elle rencontre H K en M. Par M menons M N perpendiculaire à M L et rencontrant IV E en F. La ligne horiiontalo C D passera par F. Cette ligne une foi» déterminée, les tensions de tous les points dans la courbe sont connues par la propriété mentionnée au commencement de cette note.

àlcs allonger, tandis que dans l'autre il tend è les comprimer. Or la verge est censée avoir le pouvoir de résister aussi bien fa l'un des efforts qu'à l'autre. Dans l'un des cas les forces agissent toutes, à partir des angles du polygone, tandis que dans l'antre elles agissent vers ces angles [fig. 13S). Le cas du polygone debout est donc précisément le mSme que si toutes les forces, à chacun de ces angles, avaient leurs directions renversées. Si elles étaient en équilibre avant, (Iles; relieront donc.

1"0. On en tire celte importante conclusion, que la position dans laquelle un polygone debout, chargé de poids, restera, est la même que celle qu'il prendrait étant chargé des mêmes poids et suspendu.

171. Nous avons supposé sans poids les verges qui composent le polygone, ce qui n'a jamais lieu. Hais notre supposition n'introduira aucun désordre dans le calcul, si l'on ijoute 3u poids agissant à chaque angle du poljgune, moitié du poids des deux verges qui forment cet an^le. En effet, le puidu de chaque verge, que nous supposerons d'égale épaisseur, a pour résultante une fnree agissant suivant la verticale qui passe a son centre de gravité, et qui peut 90 ■i- . eu deux forces égales passant par ses extrè—

«9, Nous avons ainsi nu mi>yen très-facile de déterminer, dans la pratique, !. * positluna suivent lesquelles un nombre quelconque de charpentes peuvent se disposer rn an polygone tel qu'elles se supportent l'une l'autre. Prêtons une cor.!'?, et mesuruoi sur elle des distances respecliemeol égales, en longueur, aux côté» du polygone. Attachons a ces points des poids, égaux chacun à la demisomme du poids des cotés adjacens; alors les deux extrémité! de la corde étant tenues à une distance égale à la longueur de ta base du polygone, la forme que prendra la tarde, abandonnée à elle-même, sera celle suivant laquelle il faudra disposer les charpentes.

173. Equilibre d'un assemblage de Verges ou de Cordes. — Précisément de la même manière que précédemment, on peut faire voir que puisque les conditions d'équilibre d'un 'JBlème rigide peuvent s'obtenir dans un système de forme Wriable, les forces agissant sur ^'assemblage de verges ou

en un seul point du système (art. 57) ; dès-lors que cet portions d'assemblage, chargées de poids, à mesure qu'elles sont plus près des points de suspension,' sont plus sujettes à céder; qu'aussi, quelle que soit U forme que prenne cet assemblage tutpendu, ce sera celle dans laquelle il restera quand on le placera debout.

174. Quand un assemblage ou polygone funiculaire, chargé de poids, est snspendu, son centre de gravité est à son point le plut bas, et son équilibre est dit stable; en sorte que si on le dérange de celte position, il y reviendra. Il n'est donc pas nécessaire à la permanence d'un système de ce genre, que ses parties soient rigides, on ses angles inflexibles. Mais si l'on renverse celte figure, son centre de gravité sera il son point le plut haut, et son équilibre deviendra instable ; en sorte qu'une fois déplacé, le système no se remettra plus en équilibre, et que changeant de figure, il tombera par terre.

Pour l'équilibre continu d'une charpente debout, il est donc essentiel que ses joints soient raidis. Or cela ne peut avoir lieu par aucune particularité du joint en lui-même; car tes différentes parties d'un tel joint étant situées extrêmement près du centre vers lequel chaque verge tend a se mouvoir, sont, d'après le principe du levier, promptement renversées par l'action d'une force, quelque faible qu'elle soit, agissant h l'extrémité de la verge. II est donc nécessaire que chaque joint soit raidi par une charpente subsidiaire. De cette nécessité do renforcer provient une plus grande économie de l'assemblage suspendu, que de celui debout. Dans le polygone suspendu, ou courbe, la seule prècauliun nécessaire est que les parties ne se brtient pas séparément. Dans celui debout, il faut se mettre en garde tant contre leur flexibilité que contre les chances de compression. Ainsi les ponts en cbaloes de fer contiennent moins de matériaux et sont moins coûteux de beaucoup que les ponts à arches en fer. D'un autre cûlé, une difficulté sérieuse dans l'usage des ponts suspendus, est leur disposition à vaciller. Nons donnerons des explications à ce sujet, en traitant de la dynamique.

175. Outre cette économie, résultant de la petite quantité de matériaux nécessaires à leur construction, les ponts suspendus ont une prééminence qui tient à ce qu'ils sont

indépendant du lii de la rivière qu'ils traversent. On peut ainsi se frayer an passage dans un endroit qui serait impraticable soit par la rapidité du courant, toit par la hantent des rives, et où l'on ne pourrait fonder les supports nécessaires aux arches d'un pont de pierra ou de fer.

176. Il y a plusieurs modes de donner de la rigidité à nn système de verges; mais tous se réduisent, directement ou indirectement, à la disposition en trianglet des verges qui le composent.

De toutes les figures simples de géométrie, le triangle est la seule dont on ne puisse altérer la force sans altérer les' dimensions des cités (1), et qui ne peut céder par conséquent sans que les angles se séparent ou que les entés se brisent. Ainsi un triangle dont les angles no peuvent se disjoindre et dont les côtés sont d'une force suffisante, est parfaitement rigide; et l'on ne peut en dire autant d'aucune autre figure plane. Un parallélogramme peut avoir ses côtés d'une force infinie, et ses joints assez solides pour ne passe briser, et cependant être fait de manière que sa forme «oit altérée par la moindre force qui agira dessus. Cela est vrai de toutes les figures de quatre cotés et de tons les polygones, k un degré moindre ou plus grand. C'est pour cela que dans tout assemblage, on prend soin de combiner, autant que possible, les comparlimens en triangles. Ceci fait, on sait que la rigidité du système peut s'assurer en donnant une force convenable à la charpente et aux joints.

La charpente d'une simple barrière offre un exemple je ce principe. La forme extérieure est ordinairement un paraît èlo gramme rectangulaire. Si les barres qui la composent [fi g. 1 59) sont simplement disposées parallèlement ans cOtès, en sorte que l'ensemble ne présente qu'une série de parallélogrammes, la barrière aura bientôt sa forme altérée.

Une barré diagonale L*f. 160) remédie an mal, en changeant les parallélogrammes en triangle* et donnant une parfaite rigidité au système.

(t) C'est un corollaire de la proposition d'Euclide : « Que sur la

triangles ayant leurs cûtés termines a une extrémité de base égale l'une a l'autre, avec leurs coté, terminés t l'autre extrémité. »

Mécanique induitrieile, 1" part. U

177. Dans les cintres dont on se sertpour supporter les pierres qui composentune arche, au fur et a mesure qu'on les pose, et avant que la mise en place de la clef les rende capables de se soutenir mutuellement dans leurs positions respectives, par leur pression; il est de la plus grande importance qu'une rigidité parfaite se conserve sous la pression énorme et inégale à laquelle le système doit être assujetti. On y parvient en donnant une grande force aux charpentes du cintre elles disposant en triangles bien joints à leurs angles. La fig. 161 représente un des cintres employés pour snpporter les vousgoirsde la grande arche du pont de Londres, pendant sa construction.

178. On donne quelquefois une forme triangulaire ans com parti ru en s do la charpente d'un pont de bois (fig. 102 ) , on du comble d'un large bâtiment, en combinant deux ou plusieurs polygones. Le dessin représente le comble de la cour des douanes h Cherbourg; il est de très-grande dimension. '

179. Si nous concevons nn nombre infiniment grand de polygones de ce genre, dont les eûtes seront infiniment petits, la charpente deviendra une arche continue en bois, maintenant en usage pour les ponts et les combles des grands édifices.

La fig. 103 donne le dessin d'une arche de ce genre, ayant 23S fecl (71 mètres ) de large. Il y en a un exemple à Moscou an manège militaire, et un autre au pont de Bamberg qui fut construit par Wiebeking. Le plus grand pont de bois qui paraisse avoir été jamais construit, est celui sur le Limmat.prés l'abbaye de Weltingen. Il avait 530 fecl ( 118 mètres) de longueur; il fut bâti en 1778 par deux charpentiers, les frères Grubenmann, et fut détruit pendant la guerre de 1799. Il était construit d'après le principe des arches en bois.

On peut construire des ponts excessivement plots de ce genre-t/iff. 164). Le pont appelé Oête, en Picardie, blti par Coffenetle, a 196 fect (48 mètres) de largeur, et son couronnement est seulement de G fect 5 inchei ( 1", 90 ) andessus de l'eau. Le pont sur le Schuylkill, a Philadephie, appelé le Colosse, est do 340 /"etf (103 mètres) de large; son élévation au-dessus de l'un est de 20 fecl (6 mitres }, et son tablier de 7 fecl (« mètres) de largeur.

Un pont d'une seule arche de 250 feet (76 mètres) de large, et de 27 feet { 8 mètres) de hautenr, a été consiruil à Piscatagua, près Porsmoulh, aux Etals-Unis, en 1796.