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déterminé par l'équation précédente; d'ailleurs Pi + P , — Il détermine Pi.
Comme appliealion-praliqne de ce qui précède , supposons qn'un poids \V [fig. 183) soit supporté sur deux points fixes P), Pi, par l'intervention d'une verge Pi Pj, que nous supposerons n'être pas pesante. Par le principe de l'égalité des momens , on a
P. XP«P* = W XP-ffi
El de même
Pi X P< Pa = W X P-W.
Ainsi P< et Pj sont connus.
236. S'il j avait Iroii points de résistance an lieu de deux, il y aurait un cas el seulement un seul, où les valeurs des résistances de ces points pourraient être déterminées par quelques-unes des règles de statique que noua avons données. Ce cas est celui dans lequel les résistances sont ceux des points qui sont fixet dans les deui surfaces , et dont les directions sont par conséquent parallèles a celles de la résultants des autres forces imprimées au système.
Supposons un plan mené perpendiculairement i la direction de la résultante R (fig. 184) et coupant les directions des trois résistances du système aux points P,, P,, p, ; lesquels points seront supposés , pour l'instant, n'âtra pàs en ligna droite.
'Joignons ces points par des lignes formant le triangle Pi P j P.. Menons aussi de ces points des lignes à R, divisant le triangle Pi P. P. en trois autres triangles P.P, p a , R p a p, RPiPi.
Alort la grandeur de chaque rètittancc tera à la résultante du tout, comme le triangle élémentaire du côté opposé à celle rètittancc eitav, triangle total (i). Ainsi la résistance en Pi est à R, comme le triangle R Pj p, cet an triangle
[1] Cette élégante propriété dea régalantes de trois pointu fut découverte par Euler ni donnai; par lui an commencement du ïli/moire intitulé : deprtssione ponderis ui plr.nuw rai. ntembit, dons Im Mémoires ds l'aeuiiVaiic dr-.s snc-iirns de Nain [-[>.: tersbonrij nort eommenfarii, toraelS, où la question de résistance cat traitée avec
On peot le prouver aisément. Supposons les forces Pt et ■ remplacées par leur résultante: les forces P> et Pi remlacées aussi par leur résultante. Ces résultantes sont nécessairement égales et opposées (art. 6). Or la direction de la iremière résultante est en quelque point de la ligne P. S irotongèe, et la direction de l'autre en quelque point de la igné Pi Pi. Les deux résultantes passent donc par le même ■oint M d'interseclion de ces lignes.
f'uisqu'alors la résultante de P. et de R passe en M P. MR
Pi X MP. = R X MR et— —
P, Triangle P.RP.
on ■ — —
R Triangle P. Pi Pi l'ne démonstration semblable s'applique aux autres réiis-
Si R est le centre de gravité du triangle Pi Pi Pi , MR ara égale au tiers de MP. et
p, = ysR.
Se même, chacune des autres résistances sera égale an tien JfiR; ces résistances sont donc égales l'une à l'autre.
Ainsi une table triangulaire uniforme, supportée par des pieds k ses coins, pressera sur tous avec une égale force, quelle que soit la forme du triangle, puisque la résultante des poids des parties du triangle, qui sont les seules forces qui lui Client imprimées , passe par le centre de gravité du triangle. SI l'on place un poids sur cette table , en ion centre de grasIM, la pression de ce poids sera également divilée entre les
Un poids donné R étant ainsi tonjonrs placé sur » cantre de gravité du triangle, supposons que le coté Pi "< tourne autour du point T., jusqu'à ce qu'il vienne k coïncider avec P< P>. Le centre de gravité R se trouvera, walgri celle variation , en joignant le point Pi avec le point « rencontre M du coté P, P., el prenant MR égale à un liera de MPi ; la pressioD de R sera encore également divi-
séé entre les points p,, P, et P, : celte division égale continuera donc quand Pi P. prend sa position définitive coïncidente a ybc P* P*.
Par conséquent, dans cette dernière position de Pi f. {fig. 18S), si 1IR est é S alc au tiers de JIP,, M étant la direction de Pi Pi, la pression de chaque Force appliquée en R se divisera d'elle-même également entre les points Pi, Pi et Pi.
Il esl aisé de voir que lorsque le point R est pris suivant les conditions précédentes ,
P,R = V» (P- P" + P'Pi).
238. Quand le nombre des points de résistance excède trois, le problème n'a plus de solutions pat les principes précédemment eiposés , et il faut avoir recours à an autre principe appelé le principe de dernière résistance (1), et qu'on peut établir comme il suit :
S'il y a un système de forces en équilibre , parmi lesquelles soit un nombre donné de résistances, alors chacune d'elles est un minimum, sujet aux conditions imposées par l'équilibre du tout.
Ce principe se prouve aisément, maïs son application offre de grandes difficultés d'analyse.
Supposons que les forces du système gui ne »on( pas dès résistances, soient représentées par là lettre A, et les résistances par B; de plus représentons par C un nuire iyttème quelconque de forces qui puisse remplacer les forces B et supporter A.
Supposons le système B remplacé par C ; alors il est visible que chaque force du système C est égale à la pression propagée à son point d'application, par les forces du système A ; ou qu'elle est égale à celle pression , à la foi», avec la
£ression ainsi propagée par les autres forces du système C. ans le premier cas, elle esl identique avec une des résistances du système B ; dans le second cas elle est pins grande.
Dès-lors chaque force de système B esl un minimum , sujet anx conditions imposées par l'équilibre du tout. Toutes
[1] Le principe do dernière résistance fut découvert par Tuteur, el publié pour la première fois dans la phil. viag. Octobre 1833.
les résistances d'un système quelconque de forces étant sujettes à celle condition, la grandeur et la direction de chacune peuvent être déterminées en fonction des antres forces qui le composent, par la méthode du maximum et minimum d'un nombre quelconque de variables.
339. Il résulte de celle détermination que lorsque les résistances sonl parallèles, il y a un cerf ai» axe, autour duquel leurs momens sont fout égaux.
Quand elles sont toules en lignes droites, cel axe se réduit à «n point.
La condition qu'un nombre quelconque de résistances parallèles en même ligne droite, aient leurs momens égaux autour d'un certain point, conduit à la fois a la détermination de la position de ce point et à la comparaison des valeurs des diverses résistances du système.
Si ces résistances sont égales , le point autour duquel leurs momens sont égaux, se trouvera à une distance inGnie (1).
240. Il s'ensuit évidemment que puisque ces résistances sont les moindres possibles pour supporter la résultante des autres forces imprimées au système , elles sont aussi près que possible d'élre en directions parallèles à la direction de la résultante. Par conséquent, si chaque point résistant est capable de suppléer la résistance en nne direction quelconque, elles sont exactement parallèles a cette direction. Sinon , elles lui sont inclinées sous le moindre angle poa-
Ainsi, dans le coin (art. 87), puisque la force imprimée sur le dos est supportée par les résistances sur les colés, ces derniers onl leurs directions inclinées sous le moindre angle possible par rapport a la première , et sont par conséquent dans les directions limites des résistances des surfaces; ainsi que nous l'avions établi d'après d'autres principes.
(1) Cela a lieu qnanil une force dontiéo est rapportée par trrti résistance* égales en mime ligne droite, dans le» circonstance» établies à l'article précédait.
