APPLICATIONS
Du principe du parallélogramme des force*.
I! n'y a guère de cas d'équilibre où le principe de la composition des forces agissant sur do point ne trouve son application. Parmi les exemples nombreux qu'on en peut citer, noos choisirons les suivons :
33. Supposons un poids W supporté comme dans la fig. 8 par une poutre horizontale A C, en saillie snr le mur où elle se loge ou A, et soutenue par uno jambe de force oblique B C ; et qu'on demande de déterminer ln pression (1 ] et l'effort sur les charpentes A C et B C, ainsi que sur le mur aux points A et B. Menons II D parallèle âACetCDaAB. Divisons G D en autant de parties égales qu'il y a d'unités dans le poids W, et cherchons combien il se trouvera de ces parties dans C B et C A. Les nombres ainsi obtenus seront égaui à ceux des unités de poids dans les pressions sur A G etBC, car le point C est maintenu en repos par des forces agissant dans les directions CD. C A et B C. Ces forces seront donc représentées en grandeur et en direction par les cotés et la diagonale d'oo parallélogramme {art. 17). Or CD {art. 14] représente l'une do ces forces en grandeur et en direction, et CA et CB sont dans les directions des deux antres. Si donc l'on construit un parallélogramme ayant C D pour un do ses côtés, l'autre dans la direction C A, et sa diagonale dans la direction C B, ce sera le parallélogramme des forces agissanlen C (art. 21 ). Le seul parallélogramme que l'on puisse former ainsi est évidemment ABCD.
Si C restant le même, on ramène le point B vers A, en donnant à C B une obliquité plus considérable, C B sera diminué d'autant ; et le divisant, comme avant, en autant de parties qu'il y a d'unités dans W, chacune de ces parues sera moindre qu'avant; le nombre de parties égales en AC sera donc plus grand en AC, cl par conséquent le nombre d'unités de poids dans la pression sur A C deviendra plus grand ;
(I) La pression est la force qui, agissant sur la longueur d'une charpente, tend à la i inn.n imer, il L'iaiittr; l'effort tend à l'allonger.
ou démontrerait de même que la pression B C i'est accrue.
Dans cet exemple nous avons négligé le poids de ta charpente elle-même.
25. Pretse Ruuei. — AC clBC {fig. 9) représentent deux barres jointes ensemble an point C; elles sont placées entre deux surfaces A et B sur lesquelles, ou sur l'une desquelles, on veut produire une pression, la force agissant au point C, suivant la direction PQ. La tendance de celle force a ouvrir l'angle A C B est détruite par la résistance des surfaces en A et B. Celte résistance se transmet le long des barres A G et B C, cl quand il y a équilibre, le point C est maintenu en repos par des forces agissant dans les directions AC, B C et P Q. Pour déterminer les deux premières forces, connaissant la dernière, on n'a qu'à compléter le parallélogramme A C B D, et à diviser sa diagonale G D en autant de parties qu'il y a d'unités dans P Q ; les nombres de ces parties contenus dans A C et B G donneront les pressions cherchées. {Art. Si.)
Il est clair que plus C D est petit, plus l'angle A G B est grand, ou réciproquement; ensuite qu'à mesure que la grandeur do chacune des parties dans lesquelles CD est divisée devient moindre, le nombre de ces parties s'accroît dans A G et B G ; conséquemmeut les pressions s'augmentent dans ces directions. Quand G D est extrêmement petit, ou bien que A C et C B sont presqu'en ligne droite, les divisions devenant extrêmement petites, A G et B G en contiennent un nombre excessivement grand, Ainsi les pressions sur A et B peuvent s'accroître presqu'indèfinimenl en amenant A G et B C de plas en plus a se rapprocher d'une ligne droite.
23. Le mécanisme au moyen duquel sont attachées les cordes d'une harpe, permet a l'accordeur de les tendre avec une force égale à trois ou quatre fois celle de son poignet (1), tandis qu'un enfant a dans ses doigts assez de force pour les faire vibrer, malgré cette tensinn. Cela s'explique ainsi ;
Si AQB [fig. 10) représente la corde infléchie, et qu'on achève le parallélogramme Q m no, dont les eûtes égaux Qm et Qn représentent, chacun, la tension de la corde, 1* diagonale Qo représentera la force d'inflexion, qui résiste
ît tcnduCî par
(i] M. Prnny a calculé que les cordes d'un une force éjalc a celle do qoatro chevaux.
«actement à ces tensions (art. 17). Or die est évidemment très— polile, quand on la compare avec les tensions, poorvu que ia flèche d'ioDeiion soit courte.
96. Un etemple très-simple de l'application da principe dti parallélogramme des forces se rencootre dans la manière habituelle de ficeler un paquet. Après avoir passé la corde tout autour, dans la direction ABE {fig. 11), cl l'avoir arrêtée fcrms par un nœud coulant du coté opposé h celui que présente la figure, on replie la corde longitudinalement, el après l'avoir passée sous la corde AU, ou la retire eu arrière; on trouve alors que, quelque ferme qu'ait été tendue la corde A B E, ïl suffi! d'une faillie forte appliquée dans la direction P B, pour produire une forte inflexion de la corde entre A et B, et pour la tendre de nouveau plus fortement dans toute su lungoeur. On peut aisément faire le compte de celte tension en complétant le parallélogramme APBm, on n'a qo'à diriserla diagonale Pm en autant de parties égales qu'il y a d'uniléadâns la force qui agit suivant P ii. Le nombre de ces parties coutenu dans P A ou PB, donnera le nombre des unités de la force de tension (art. 17).
27. Supposons (fig. 12) une flèche dans la position E F G, juste au moment où elle Ta s'échapper de l'arc tendu; la force exercéepar la main de l'archer coG, pour vaincre la résistance de l'arc, est celle avec laquelle la flèche est lancée. Or le point G est maintenu en repos par celle force el par les tensions de la corde suivant les directions G C el G D. — Cea tensions sont égales, si la corde tirée par la main droite et l'arc tendu par la main gauche le sont l'uu et l'autre, chacun précisément par son point milita. Prenant alors deuï lijnes égales, GitelGn pour représenter ces tensions, et complétant le parallélogramme m tn G, la résultante (art. 19) fiant cette force avec laquelle la flèche sera lancée, sera représentée par la diagonale Glc (art. 17). Il est évident que
est d'autant plus grand que l'arc est plus tendu,
28. La direction suivant laquelle te meut d'abord un coi-ji» "'Uicilè par un nombre quelconque de farces, est évidemment ff Ile suivant laquelle il suffirait d'une simple force appli- 1"it convenablement pour maintenir le tout en repos. Vue
force est égale et opposée à la résultante des forces qui tyitnM sur le corps. Dès-lors, et réciproquement, la direc-
lion mitant laquelle un corpt te meut, eit celle de la rètultante des forces qui lui tant appliquées.
29. La résistance de l'air au mouvement de chacune des ailes d'un oiseau est perpendiculaire à la surface des ailes. La force avec laquelle un oiseau se meut lui-même en avant avec chaque aile, est en direction opposée à cette résistance. Menons [fig. 13) D A et DB perpendiculaires à la surface de chaque aile ; DÂ et DE seront les directions des forces par lesquelles l'oiseau se pousse en avant avec chacune de ses ailes. Prenons les lignes DE et DF pour représenter ces forces en grandeur, et complétons le parallélogramme EGF; la résultante DG (art. 19) ainsi déterminée, est dans la direction suivant laquelle l'oiseau se meut. Si les ailes sont également étendues, et que la force avec laquelle l'oiseau agit suivant chacune d'elles soit la même, les lignes ÀD elBD feront des angles égaux avec la ligne P D passant au centre du corps de l'oiseau, et les ligues E D et F D élanl égales, DG coïncidera avec celte ligne, le mouvement de l'oiseau sera ainsi directement en avant.
29. Les forces avec lesquelles un nageur se meut, sont suivant des directions perpendiculaires aux plantes de ses pieds, et des paumes de ses mains. Si ces forces sont égales de chaque côté do son corps, son mouvement est dans la direction de l'axe do son corps, la résultante des deux forces passant par le centre de son corps. Si la force avec laquelle il meut un pied est plus forte que celle avec laquelle il meut l'autre, un des cotés adjaceosdu parallélogramme A' B* C* D', (fig. 14} sera plus grand que l'autre, la diagonalo tendra vers le plus grand câtè, et le mouvement de la partie inférieure du corps se fera dans cette direction. S'il meut avec plus de force la main du même côté, la résultante des forces des mains sora au contraire de ce côté, et la tète s'y portera, en sorte que le corps tournera en rond.
ôO. La marche d'un bateau à rames offre {fig. 15) un autre cas d'un corps poussé par des forces obliques à chacun de ses flancs, mais ayant leur résultante dans le sens de sa longueur.
51 . Les voiles d'un vaisseau peuvent se placer de manière a déterminer son mouvement dans une direction bien différente de celle où souille lo vent, et réellement a le faire marcher en sens opposé au vent.
Supposons (fig. 16) que le Tent souffle dans la direction
[' Q, et qu'une des voiles du vaisseau soil placée obliquement Idns la direclion C D. Prenons P Q pour représenter la force lu vent et complétons le parallélogramme PRQT; avant un :ùlé TQ parallèle à la voile et l'autre QB qui lui soil perpendiculaire. La force PQ (art. 2!)) est alors équivalente aux icux forces TQ et RQ, dont T Q appliquée dans une direcion parallèle à la surface du vaisseau né fait pas d'effet sur ni. La seule force effective est donc R Q. Menons Q M suirul l'aie du vaisseau QS perpendiculaire à l'axe du vaisseau, et complétons le parallélogramme Q M RS. Alors la Wce RQ est encore équivalente aux deux forces MQ et >Q, dont la première tend à donner au vaisseau un mouvenenl dans la direction de sa longueur, et la seconde un mou- (.■ment de coté. La première force est détruite par la résisaace de l'eau à l'avant du vaisseau, et la seconde par la résistance de l'eau à son flanc. Dès-lors le mouvement de flanc 'st très- faible par rapporté celui de l'avant.
Il est évident que si le vent soufflait dans la direction B A, I ne frapperait pas sur la Surface de la voile CD qui est vers 'arriére du vaisseau ; surface sur laquelle il doit évidemment 'rappei pour déterminer quelque peu de mouvement du «aisseau en avant. Pour forcer le vent à frapper celte surface io la voile, il faut incliner la position du vaisseau suivant elle direction.
Supposons que l'on veuille marcher de B vers A {fig. 17), evenl souillant directement de A vers B, el tournons le vaisseau dans quelque direction BP inclinée à B A. Les voiles ilors devront être placées de manière que le vent lus frappe 'bliquement et que l'on marche dans la direction B P. Avant marché quelque temps dans cette direction, on les change en marchant vers PQ, puis on revient sur A en continuant à louvover.
CHAPIIKE II.
32. Equilibre d'un nombre quelconque de force» appliquées à un point. — 53. Polygone des forces. — 31. Exemple du polygone de» forces.
32. Pour déterminer les conditions d'équilibre d'un nom- Ère quelconque de forces agissant sur unpoiot, soient {fig. 48) OPi, OP., etc., les lignes représentent en grandeur et en direction ces Tories agissant sur lo point 0, que ces forces soient on non dans un même pian. Par les points P., Pi, menons P. p, et P. p 3 respectivement parallèles a OP, et h 0 P ., et joignons Op a . Les deux forces OPi, OP. seront alors équivalentes à une seule force représentée en grandeur et en direction par 0 p a (an. 19). Par P . etp „ menons les lignes P. p, et p t p s parallèles respectivement à 0 P i et à O p a , et joignons Op s ; Op, représentera dès— lors i n grandeur et en direction les deux forces O p, et 0 P., et par conséquent les trois forces OP., O P-, OP., puisque 0p 3 est équivalente aux deux premières. Sembla!) lement , si l'on mène par les points P . et p,, des lignes respectivement parallèles à Op, et 0 P., et qu'on joigne Op,, cette ligne représentera une force équivalente aux deux forces O p t et O P ., ou bien aux quatre forces 0 P., 0 P., OP., OP.. On obtiendra d'une manière analogue O p, , qui sera équivalente aux cinq forces OPi, OP., OP., OP-, OP..
Ainsi, puisque la force 0 p, est équivalente à toutes celles qui agissent au point 0, excepté la force 0 P., il faut, si le point reste en repos, qu'il y soit maintenu par ces deux forces qui, dès-lors, sont nécessairement égales et opposées. .
Connaissant les directions et les grandeurs d'un nombre quelconque de forces O P., OP., etc., et avant trouvé comme ci-dessus, une force qui leur soit équivalente 0 p., on connaît la grandeur et ia direction d'une force O P . suffisante pour compléter l'équilibre et maintenir le point eu
repos. Celle force Op, estdile la résultant!! des cinq forces 0 P., O 0 P., 0 P<, OP..
On observera que O Pi représente la première force, et que P. p t qui est égale à OPi, comme celés opposés d'un même parallélogramme, représente la seconde force en grandeur, et qu'elle est parallèle à sa direction ; que de même les lignesp a p t , p,p„ p, p s , représentent les autres forces en grandeurs et sont parallèles à leurs directions. Or ces lignes forment les côtés d'un polygone OPi p, p , p, que complète la résultante Op,.
53. Si donc un nombre quelconque de forces agit sur un point et que l'on construise un polygone dont un des côté* soit ta ligne représentant une de cet forées, et les autres côtés successivement des lignes parallèle/, aux direct tans des autres forces el les représentant en grandeurs, la ligne qui complétera le polygone représentera la résultante générale. C'est celto proposition, dont la découverte est attribuée à Leibniiz , que l'on appelle le polygone des forces.
j4. L'exemple suivant est choisi, enlrc plusieurs aulrcs, pour montrer l'action de plus de trois forces.
Les grandes cloches, qu'un seul homme ne pourrait faire mouvoir, sont mises en branle par l'effort de plusieurs hommes. Chacun tire une cordelle attachée à la corde principale delà cloche, et k laquelle vient s'appliquer par conséquent la résultante de tous leurs efforts individuels. La valeur et U direction do celte résullanto peuvent se trouver aisément dans tous les cas. — Soient [flg. 19) O P-, O P., O P 0 P., O Pi, les directions suivant lesquelles s'exercenl les forces des différons sonneurs. Menons parallèlement à ces directions, les ligues p t , p p t , etc., représentant en grandeur la force exercée par chacun, et formant les cotés d'un polygone ; la ligne p,, p t qui complétera le polygone, représentera la résultante en grondeur el en direction.
Les sonneurs, pour chaque cloche, sont ordinairement placé; à égales distances sur la circonférence d'un cercle ayant pour centre le point situé immédiatement au-dessous de la verticale de la corde principale. En supposant que les forces appliquées soient égales, leur résultante alors agit suivant celle verticale même, et n'a aucune tendance à donnera la corde principale une direction qui déïio de cette verticale.
