CHAPITRE UI

Equilibre d'un nombre quelconque de forces, appliquéei à différent point i d'un corpi, maU aainant toute* dam un mime plan.

55. Sur line table horizontale et polio, plaçons nn largf plateau r l) ABC (fig. 20), et fixons-le sur le bord circulaire de la table par une série de poulies Pi , Pj , Fi, et? {sises dans des plans à angles droits avec son plan), chaque poulie ayant la portion la plus haute de sa circonférence an niveau de la surface du plateau. Attachons des cordelle en des points quelconques pris k la surface du plateau, p. Pji p,, etc., et après les avoir passées sur les poulies P,, Pi. pi, etc., suspendons des poids à leurs extrémités qui seront représentées dans la figure par les mêmes lettres P>, P., P., etc. .2). Abandonnons maintenant lo système i lui-même, et quand il aura atteint l'état d'équilibre, on trouvera la relation remarquable suivante entre les quanti lé; et les directions des forces appliquées. Si d'un point quelconque M pris dans le plan de la surface du plateau, on mène les perpendiculaires M m , M » t> M etc., aui directions P, p t . Pi p i% P, p , etc., des diffèrent» forces appliquées, et qu'on multiplie le nombre des unité? dans la longueur de chaque perpendiculaire par le nombre des unités dans la force à la direction de laquelle celle perpendiculaire est menée, la somme de ces produits, prise par rapport i celles des forces qui tendent h faire tourner k

(1) Pour éviter, nu unit que possible, lei frotleraens, le plateau doii reposer sur trois billes d'ivoire assez espaces pour oc pas se trouver en contact ensemble.

ii.-. ri- siriu 'i filant miens 11

ilr- [xuilius étant plos grands, la ri| opposés au mouvement du plateau

marque lc4 pniili ilam l,i figure. Le* e\jiiTlcik:'faiilant fiiir'ii fiiili-3 ijim- II'- poids et les iliam.' rr- ■ loi grands, la rigidité d«s cnrdellos et le frotteœciii

système autour de co point, dans un sens, est égale à la somme de ces produits pris par rapport à celles des forces qui tendent A faire tourner le système en sens inverse (1).

Ainsi, dans la fig. 20, si l'on multiplie (2) la force P, par Mm,, la force Pa par M m„ et la force P* pnr M m s , on trouvera, en faisant la somme de ces produits, qu'elle est égale à celle des produits de la force P . par M m , et P , par

(1) L'expérience nous montre cette importante loi de statique , que ii un système quelconque de forces est applique à un corps de manière à ce qu'il soit en équilibre, et qu'un second système de forces soit encore appliqués ce même corps, en maintenant son équilibre, alors les conditions de ce dernier équilibre seront précisément les mêmes que si le premier système de forces n'existait pas ; les deux systèmes neso mêlant en rien l'un à l'autre. Donc, s'il y a deux systèmes de forces dont chacun, appliqué séparément, suffise à maintenir la corps en repos, le corps restera encore en repos si l'on vient à y appliquer les deux systèmes à la fois; et réciproquement, si deui systèmes de forces appliqués à un corps le maintiennent en repos, et que les forces composant l'un de ces systèmes soient en équilibre avec un antre.cet autre aura dès-lors ses forces en équilibre entr'elles. Dana la recherche des lois de la statique à l'aide d'expériences, ce fait est important a ne pas perdre de vue. Le grand obstacle au modo expérimental de recherche consiste dans l'impossibilité d'obtenir aucune portion de matière, où l'on veuille appliquer des forces, pour en rechercher les lois d'équilibre, qui ne soit pas déjà sous l'influence de la force de gravité, dont il faut supposer qoe nous n'ayons pas à connaître la nature et la valeur. Cependant on pare a cette difficulté, en faisant agir sur le corps des forces qui neutralisent exactement sa gravité ou son poids. Alors la condition de l'équilibre des forces qu'on applique, devient précisément la même que si aucune autre force n'agissait déjà. L'expérience que nous venons de citer dans le texte en offre nn exemple. Le plateau est, de fait, sollicité par deux systèmes de forces , Bon poids et la résistance des billes en directions perpendiculaire) an plan de la surface , plus les tensions des cordelles dans ce plan. Les forces du premier système sont en équilibre entr'elles, car si l'on Ûte les cordes, do manière quo les poids et les résistances des billes soient les seules forces agissant sur le plateau, il restera en équilibre. On en conclut quo les forceB du second système agissant sur le plateau sont en équilibre aussi. Le principe ci-dessus établi s'appelle le principe de tuperpoiition dei (nrcet.

(•i) Ici et dans tout le reste de cet ouvrage, où l'on parle d'une força mlliptiét; par une ligna, il faut entendre quo le nombre des unités de la force est a multiplier par lo nomfrre des unités de la !%w.

WcMjgM* industrielle, V partit- 4

Le produit d'une force, par la perpendiculaire abaissée d'un point quelconque sur sa direction, se nomme le momeDl de celle force autour de ce point. Par conséquent la loi précédemment établie peut se formuler ainsi :

36 Pour un nombre quelconque de forces, agùtant d'un» manière quelconque dam le même plan, et sur un point quelconque pris dans ce plan, la somme des moment de cet force» tendant à faire tourner le système dam une certaine direction autour de ce point, est égale , dam le cat d'équilibre, à la somme des moment des forces qui tendent à le faire tourner en sens opposé.

37. Ce n'est d'ailleurs pas tout; et l'on verra plus loin que si les forces agissant sur les différent points d'un, système, peuvent (Ire transportées sur un seul point, et appliquées eu ce point parallèlement à leurs directions, elles le maintiendront en repos. Il faut donc qu'il esisle enlr'elles celte relation qui est nécessaire à l'équilibre de forces agissant sur un point.

38. Après tout, enfin, les forces agissant comme ci-dessus, en un nombre quelconque de poinls diOftrens dans le même plan, sont sujettes d'abord aux mêmes conditions qui régissent l'équilibre des forces agissant sur un point ; ensuite d celle dernière condition, que les sommet de leurs montons opposes autour de ce point , quel qu'il toit, sont égales.

39. N'oii-seuIemenL on ubtient ces conditions partout oui il y a un équilibre, mais dès qu'on les obtient on est sur qu'il y o équilibre. Elles sont non-seulement nécessaires, mais encore suffisantes. Si donc on a un système de forces qui ne soient pas en équilibre, et qu'on feuille les équilibrer, ou les placer en équilibre, on n'a qu'à ajouter une ou plusieurs forces qui déterminent les conditions dans le système.

Supposons que le système représenté dans la fig. 20 soit sollicité par les forces P,. P,, P., P., et qu'il faille déterminer la valeur de là force P., ainsi que la direction suivant laquelle on doit l'appliquer pour produire un équilibre. Prenons un point quelconque X dans le plan de la surface du plateau, et menons par ce poiul une ligne N », parallèle à P. p, qui représente la force P, eu grandeur ^art, 14); paru»,, menons n, parallèles à Pi p 1 et repré-

senlant p a en grandeur. Menons de même « , n ,, unis m , n ( représentant P ( et P . en grandeur, et parallèles a leurs directions; joignons N celle ligne représentera la force Fi en grandeur et sera parallèle à sa direction (art. 33).

Nous avons maintenant déterminé Ps de manière à faire que le svslème satisfasse a la première condition d'équilibre; c'est-à-dire que les forces soîenl telles qu'appliquées en un même point, elles le maintiennent en repos. Il reste à appliquer cette force an système, de manière a produire l'égaillé de momens qui constitue la seconde condition.

Pour ; parvenir, prenons un point quelconque M, et Taisant les sommes des momens opposés des forces Pi, Pi, Pj,Pi, autour de ce point, et comparons ces sommes avec une antre qui sera le complément nécessaire pour qu'il y ait égalité entr'elles. 11 suffira d'appliquer alors P., parallèlement a sa direction N à une telle distance de M, que son moment fasse justement les deux sommes égales.

On trouvera enfin cette dislance, en divisant les sommes des momens autour de M, parla force P« précédemment déterminée.

La méthode la plus facile de déterminer la ligne suivant laquelle P. doit être appliquée, sera de mener par M une ligne M m s égale en longueur à la distance précédemment trouvée, et perpendiculaire à la direction N»,. Une ligne Pi p, perpendiculaire à son eulrémilé sera celle suivant laquelle la force devra être Appliquée.

40. Si un nombre quelconque de forcés est en équilibre, fine force égale et oppoiée à fuite quelconque d'elle e»t la rtWfaWK de tout h mie. Car si l'on fite tout le reste, pour !nl substituer celle seule force, l'équilibre sera maintenu évidemment, puisqu'elle détruira la force qui se trouverait alors lui elre uniquement opposée. Il résultera donc de l'action de celle seule force, le même effet qui résultait de toutes celles qu'on a filées ; donc elle est leur résultante. Ainsi, on déterminant, dans l'article précédent, la force nécessaire pour produire l'équilibre entre plusieurs forces, nous avons déterminé leur résultante, car nous savons que celte résultante sera une force égale et opposée.

U. L'ne des conditions d'équilibre peut s'obtenir sans l'autre entre plusieurs forces. Ainsi l'égalité des momens peut "oir lieu entre plusieurs forces, mais ces forces ne pas être

telle» qu'appliquée! en un point, elle* maintiennent ce point

en repos (art. 58).

Dana ce cas, on peut trouver la valeur de la force P> nécessaire pour produire équilibre dans le système, comme précédemment, et aussi la ligne N n t parallèle à sa direction. Or, pour produire l'équilibre, cette force doit être placée dans le système, de manière à ne pas détruire l'égalité des momens qui existe ; elle doit donc ne pas avoir de moment autour de M; car si elle en avaitun, il faudrait accroître la somme des momens qui sollicitent le système d'un eu d'autre côté. La perpendiculaire de M sur la direction de cette force doit donc être égale à zéro, c'est-à-dire que sa direction doit passer par M : la direction de la résultante est opposée a celte de cette force.

42. La ritaltante d'un nombre quelconque de forces, dont les sommet des moment autour d'un point donne - tont igaltt, patte par ee point.

43. Supposons l'une quelconque des forces d'an système en équilibre représentée en grandeur et en direction par la ligne Pp {fig. il) , contenant autant d'unités de longueur qu'il ; en a de poids dans cette force, et menons des points i'etp des droites vers M, formant le triangle PpM. On sait, par nue proposition bien connue de géométrie, que deux foil ! l'aire de ce triangle est égale au produit du nombre des unités de la base Pp, par le nombre de celles de la perpendiculaire SI m. Mais ce produit est le moment de la force, donc ce moment est égal a. deux fois l'aire du triangle.

Dès-lors, si nous prenons comme ci-desgus nne série de lignes Pi p t , Pip,, P>,p,, etc., etc. (fig. 22), pour représenter les forces du système, et que nous joignions leurs extrémités avec le point M ; les aires des triangles ainsi formés étant doublées, seront respectivement égales aux momens de ces forces; et puisque les sommes des momens, par rapport aux forces agissant dans des directions opposées, sont égales, les sommes des aires des triangles étant doublées, seront égales ; et par conséquent les moitiés de ces sommes, ou les aires elles-mêmes des triangles, seront égales (1).

(1) Si donc les forces, dans la Egare, sont en éqnilibre, leurs directions étant représentées par celle des flijchea,les aires doî triangles P" Mp/tP.H? seront «gales, ajoutes ensemble, à celles dea triangles p. Mp, HP'MfY

44. On formule ainsi celle importante loi : iï l'on représenté un nombre quelconque de foret*, agissant dans le même plan et élan! en équilibre, par de* ligne*, et qu'on joigne les extrémités de toute» eei lignes aeee un point quelconque dans le plan, la tomme des aire) de* triangle* ainti formé*, qui ont pour base* te* forée* tendant à faire tourner te système dam un sens, seront égale* à la tomme de celtes ayant pour bases les force* tendant à le faire tourner dan* l'autre sens.

45. Si taules les forces agissant sur le système sont parallèles l'une à l'autre, la perpendiculaire à l'une d'elles, en les prolongeant suffisamment, sera perpendiculaire t toutes les autres. Le moment de chaque force est donc {fig. 2ô) sa distance du point M mesurée sur cette perpendiculaire, multipliée par le nombre de ses unités de force. Pour qu'il y ait équilibre, la somme de ces momens, pour les forces tendant a faire tourner le système dans un sens autour de M, doit etro égale a la somme des momens des forces tendant a faire tourner le système dans l'autre sens.

46. De plus, los forces elles-mêmes doivent être telles , qu'étant appliquées parallèlement a leurs directions en un seul point, elles maintiennent ce point en repos. Mais, ainsi appliquées, ellesagifsen t évidemment loutessuivant une même ligne droite. Or, les forces agissant suivant une même ligne droite, ne peuvent être en équilibre, a moins que la somme de celles agissant dans nn sens ne soit égale à celle des forces agissant dans le sens oppose. Donc, dans le cas de forces parallèles, U condition pour qu'elles maintiennent la point en repos se réduit a ceei : que la somme de celles tendant à faire tourner Icsgttème dans un sens, soit égale à la somme de etllet tendant d le faire tourner dam l'autre *em (I).

Ainsi les forces P., Pj, Pi, P., élant respectivement îMI., S*, 5*, **, et les perpendiculaires M •»,, M m lP M»„ Mm, étant respectivement 1, 2, 5, 4 centimètres; la force P< nécessaire pour les maintenir eu équilibre devra être égala h la

(I) Ainsi, dans la figure, les forces et les directions doivent être telles que Pi + Pj + P' = P< 1 u0 ï- X H«,+ P, x M», + P. X M», = P- X M m , + P> X AI m . Ces conditions sonl nécessaires el sulïisanies.

somme de lk, 2 k , 5 k , diminuée de 4 k ; c'est-à-dire et moins 4 k , ou 2 k ; et elle doit être appliquée parallèlement a la direction du reste, à une distance de M, telle qu'étant multiplia par 2, elle donne nn produit égal à la différence (6 X 1 +5 + 2 + 2 X S) — (1 x 4)i ou 18.

Or, puisque le produit de 2 par la distance M m, doit être 18, il est évident que cette distance sera 9.