CHAPITRE IV

4T. Equilibre dei force! parallèles. — 49. Si elle! contenant toujours leur va KALLKUSM r. dans foute» les position du corps auquel elle! sont appliquées, leur résultante passe toujours par le même POINT du système. — 51 . Centre de gravité. — 54. Méthode expérimentale pour le déterminer. — 53. 51. Exemples de centres de gravité.

47. Tachons de trouver maintenant la quantité et la direction de la résultante d'un nombre quelconque de forées agittant dont des direction! parallèles l'une à l'autre, mais non dans le mime plan.

Il faut observer d'abord que deux lignes parallèles étant nécessairement dans le même plan, les directions de deux forces parallèles quelconques du système seront essentiellement

48. Trouvons, avant tout, la résultante de deux forces parallèles ; puis considérant celte résultante comme remplaçant les deux premières, trouvons la nouvelle résultante avec une troisième force ; ensuite nous aurons de même nue résultante avec une quatrième force, et ainsi de suite. Nous arriverons donc à déterminer, par ce moyen, la direction et la valeur de) la résultante générale des forces du système.

49. 11 est évident que la valeur de celle résultante générale est la somme des forces composantes, dans le cas où toutes les composantes tendent à faire mouvoir le corps dans le même sens (art. 46). Car la résultante des deux premières

est leur gomme, et la nouvelle résultante avec la troisième force est aussi leur somme, c'est-à-dire celle des trois premières forces; la résultante avec la quatrième force est encore la somme des quatre premières forces, et ainsi de suite ; ea sorte que la résultante définitive est la somme de toutes les composantes.

50. Si quelques-unes des composantes tendent a faire mouvoir le corps dans un sens opposé k celui de l'impulsion des autres, ou les retranchera de la somme totale, et l'on aura de même leor résultante définitive.

51. Si un corpi est lollicité par un nombre quelconque de forces parallèle», de manière à ce que ta position venant d changer, cet forée* continuent d agir tur les mêmes points, toujourt parallèlement à leur* premières direction»; il g aura alart un point dan» ce corps, par lequel pattera constamment la résultante de toute» le» force», dan» quelque position que te trouve le eorpt.

En effet, soient P, P' {fig. 2*1 les points d'application de déni de ces forces; joignons PP', et divisons-la en G, de telle sorte que les produits des forces P et P', par les lignes GPelGP' soient respectivement égaux ; alors les produits de ces forces par les lignes G M et G M' menées perpendiculairement sur leurs directions, seront égaux aussi. Car c'est un principe élémentaire de géométrie, que, puisque les triangles GMP et GM' P' sont semblables, quelque partie de G P qoesoit GM, G M' sera la mémo partie deGP'. Donc quelque partie du produit G P par P que soit le produit G M par P, le produit G M* par P' le sera de GP' par P'. Or les produits de G P par P et de G P' par P' sont égaux ; les produits de G M par P et de GM' par P' sont donc égaux aussi ; c'est-à-dire que leurs momens autour de G sont éganx. La tésultanle de P et P' passe donc par le point G (art. it), Gela est vrai d'ailleurs, quelle que soit la position de la ligne PP' par rapport aux directions des forces P et P'. Ainsi , quelque position que paisse prendre cette ligne, dans le mouvement du corps, par rapport a ces forces, leur résultée passera toujours par le même point G, dans ce corps.

Or, ayant trouvé un point par lequel passe loujourt la résultante des deu* premières forces, joignons ce point et le point d'application d'une troisième force. La résultante des deui premières forces étant supposée remplacer ces forces,

m trouver;* le point par lequel panera toujours la nouvelle résultante, de la même manière; en sorte qu'en continuant ainsi , on arrivera a trouver le point par lequel la résultante de tonte» les forces dn système passe toujours.

02. Maintenant les forces qui, de tomes les parties d'un corps, tendent à descendre vers le centre de la terre, peuvent Ctre considérée* comme parallèle*, puisqu'elles convergent * eri an point, le centre de la terre, dont la distance est infinie par rapport aux dislances qui séparent les différentes parties du corps lui-même. Dès-lors un pareil corps peut toujoura être considéré comme sollicité par un système de forces parallèles dont on peut (rouer ia résultante; et cea forces, dans toutes les positions du corps, agissent sur les mêmes points, dana des directions parallèles à leur première direction; il y a donc, dans ce corps, un point par lequel passe toujours la résultante, dans quelque position qu'on mette le corps. Ce point s'appelle le centre de granité du corpi.

Ainsi le centre de gravité d'un corps est un point par lequel paie toajouri, dam chaque poiition du eorpt, ia résultante de* poids de les élément. Si la totalité de ces poids pouvait être retirée des diverses parties de la masse conservant son volume et sa solidité, et concentrée en ce point, les mêmes effets seraient constamment produits dans toutes les circonstances.

33. Quoique le procédé indiqué dans l'art. fil sotUuiRsent pour nous assurer de l'existence, dans tous les corps, d'un point possédant les propriétés du centre de gravité, il ne nous met pas cependant à mémo de déterminer U poiition tffectiee de ee point. Evidemment par la raison que les points d'application de la gravité dé la masse étant infinis en nombre et infiniment près l'an de l'autre, ee procédé ne pourrait Dons conduire au résultat qu'en le répétant à l'infini, et encore les lignes qu'il suppose n'auraient-elles pas de longueurs appréciables. La position du centre de gravité d'un corps peut d'ailleurs toujours être déterminée par le calcul intégral; mais dans un grand nombre de cas, sa position peut être trouvée d'une manière beaucoup plus facile, ainsi que rions Talions voir; et lu méthode expérimentale soKante est applicable & tous.

M. Soit AP : fi:i. 23) une cordelle suspendant un corps, et soi t P M la direction que prendrait le fil à plomb ab*a-

Jaune librement â partir du même point de suspension. Les seules Forces qui sollicitent le corps sont les poids des différentes parties du corps et la tension de la cordelle dans la direction PÂ. Les poids peuvent être remplacés par leur résultante, et le corps ne sera plus dès-lors soumis qu'A l'action de deux forces, savoir : la résultante des poids des différentes parties de la masse, et la tension de la cordelle. Puisque le corps reste en équilibre, ces forces sont en ligne droite, nais en directions opposées; la résultante des poids des diverses parties du corps agit donc suivant la direction de la ligne P M. Mais elle passe toujours par le centre de gravité ; le centre de gravité est donc dans la ligne P M. Avant marqué cette direction Pp {fig. 26), suspendons le corps par un autre point Q. On trouvera de même que le centre de gravité est dans la ligne Q M; il est donc à la fois dans les lignes Qq et P p. Ces lignes se coupent donc, et le centre de gravité est à leur intersection G.

55. Un corps placé sur un plan horizontal, tombera toujours à moins que son centre de gravité ne soit sur celte baie. En effet, les forces qui sollicitent le corps à tomber étant équivalentes a une seule force verticale, agissant en ce point, ne peuvent être détruites que par la résistance que le plan leur oppose dans une direction opposée à cette force, ce qui ne peut évidemment avoir lieu, à moins que sa direction ne passe pas la base du corps.

Si donc G est le centre de gravité des masses représentées dans les fig. 27 et 28; la résultante des forces agissant sur la masse est équivalente à une simple force agissant dans la direction verticale Gg, et ne peut être détruite par la résistance du plan AB, à moins que cette simple force ne soit tonne en équilibre; c'est-à-dire a moins que le plan n'oppose une résistance égale dans une direction opposée à Gg. Mais cela ne pent évidemment avoir lieu, à moins que Gg ne passe P»r A B. Dans la fig. 27 le corps restera donc en repos, mais dans la fig. 28 il tombera.

Si l'on a égard au centre de gravité, on pourra construire des batimens solidement, quoique leurs murs s'écartent beauceopde la verticale. La tour de Pise (fig. 29), nommée la tour penchée, s'incline assez loin de la verticale pour faire criiadre aux étrangers qu'elle ne vienne à tomber. Mats la

verticale qui passe par son centre de gravité n'est pas hors de sa base, en sorte que la tour est solide (1).

50. Il n'est pas nécessaire à l'équilibre d'un corps solide, posant sur un plan horizontal , que la verticale passant par son centre de gravité coupe ce plan en un point qui soit eu contact avec le corps. Tout ce qu'il faut, c'est que la direction de cette verticale soit telle que les pressions sur les divers points des surfaces en contact pviuent avoir pour leur résultante une force en direction opposée à cette ligne. Or cela devient évidemment possible, quand diverses parties dn corpsont en contact avec le plan, et que la verticale qui part du centre de gravité passe entre les pointa de contact. Ainsi, dans la fig. 30, il y a équilibre si Gg passe entre les surfaces de contact A et B ; dans la fig. 31, si c'est entre les trois points A,B,C.

Généralement, si l'on mène des lignes joignant tes points extrêmes de contact du corps avec le plan sur lequel il repose, l'aire que renferme ces lignes est strictement la base A» corps, et il y aura équilibre toutes les fois que la verticale qui part du centra de gravité, coupera le plan en nn point quelconque, dans cette aire.

ST. Le corps humain repose sur une hase dont les limites sont les lignes extérieures des plantes dos pieds et les lignei qui joignent d'une part les talons, et de l'autre les pointes [fig. 32) ; tout changement dans sa position est régi par celle loi , que ion centre de gravité ne dévie jamais des limites de celte étroite base. Le mouvement de chacune des parties du corps est ainsi toujours accompagné du mouvement de quelqu'autre partie en direction opposée, en aorte que chique action de chaque partie exige une attitude convenable de l'ensemble.

Dans le choix étonnant des altitudes par lesquelles nous ré par tissons ainsi convenablement le poids de tout le corpipsr rapport à aa base, nous ne pouvons dire cependant qu'il y ail quel qu'adresse, car cela se fait instinctivement sans qu'en J

(1) Les dimensions de cette tour diminuent à mesure qu'elle s'élire, et ses mors ont bien moins u'épcisaeur par haut qne par bai. Ces déni cames tendent à ramener le centre de gravité bien au-dessous du milieu de la tonr, et à faire Jès-tors passer la verticale qui part du «litre de gravite, bien en dedans de sa base.

pense. La pose el les meuvemeng gracieux dépendant du moindre déplacement possible du corps dans chaque altitude ; et c'est dans la connaissance des attitudes les plua convenables à chaque espèce d'action, que consiste l'habileté du peintre et du statuaire. Dans la belle statue de Mercure (fig. 33) le dieu s'élance de terre; son corps et l'un de ses bras sont en avant, portant le centre de gravite hors de la verticale qui passe à l'extrémité du pied sur lequel repose la figure. Pour l'y ramener, le sculpteur a placé l'antre bras et I autre jambe eu arrière, donnant ainsi à la statue une stabilité que le corps humain a lui-même dans diverses circonstances.

58.' L'homme qui porte un fardeau répartit sa position et I attitude de son corps, de manière que la résultante du poids passe toujours par la base sur laquelle il se porte lui-même Ainsi le porteur de la fig. 34, qui a un paquet sur le dos, s incline en avant pour que ie centre commun de gravité g de son corps et de sou fardeau passe dans l'aire tracée par ses pieds. Ce point g se trouve dans la ligne qui joint les centres de graviiè G et H du corps de l'homme et de son fardeau ; la position de ce point est telle que G g multiplié par le poids du corps est égal à H 3 multiplié par celui du fardeau.

S'il so lient parfaitement droit (fi.g. 5s), il est clair que quoique le poids du fardeau ne porte que sur une petite portion de son corps, la verticale g viendra couper la terre en deçà de ses talons, et que l'homme tombera en arriére. t Tous ceux qui portent des ferdeaux savent cela par expérience, et en prenant lenr charge sur leurs épaules ils ont soin de sa baisser on avant, afin d'amener la résultante du poids de la charge et du corps dans les limites voulues. Si te fardeau peut se répartir de manière à changer sa forme extérieure, la forme qu'ils choisissent est la plus plate possible, ce qui rapproche d'autant son centre do gravité de la verticale qui passe par le centre de gravité du corps du porteur el produit l'équilibre avec la moindre inclinaison.

Un fardeau porté par-devant force, au contraire, à rejeter lecorpsen arrière. Ainsi 1 eventairo d'une marchande [fig, 30], quand il est d'un poids considérable, pla-e le poinl g si fort en avant que sa verticale viendrait au-dela des pieds et entraînerait une chute si la femme n'avait soin de rejeter sa téte et ses épaules eu arrière.

Q □ and elle s' arrête pour mettre à terre son fardeau (fig. 31), cette position détermine sa tête et tes épaules eu avant, et pour compenser ce désavantage elle courbe le reste du corps bien en arriére de la ligne des talons, et d'autant plus en arrière que le poids est plus lourd. Encore la ligue de gravité est-elle nécessairement beaucoup plus en avant que dans toutes les poses droites du corps, et consèquemment c'est la position où le corps est le plus sujet à tomber. C'est pour des raisons analogues que certaines personnes inclinent le pins possible en arriére la partie supérieure du corps. L'homme au gros ventre [fig. 38) est dans ce cas, ainsi que la femme portant un enfant {fig. 40), et qui ramène le centre commun de gravité d'elle et de l'enfant entre ses pieds. L'homme qui porte un panier d'une main {fig. 39) penche son corps de l'antre côté. La nourrice {fig. 41) qui porte deux enfans se tient droite ; il en est de même du porteur d'eau {fig. 42), qui a ses deux seaui dans chaque main , et de l'enfant {fig. 43) qui a ses bras également pendans.