PROPORTIONS. — RÈGLES DE TROIS ET DE SOCIÉTÉ

§ \. Rapports et proportions.

1° Des rapports *.

I. Qu’appelle-t-on rapport en général, et combien y en a-t-il de sortes:’ — 2. Comment s’écrit le rapport géométrique? — 3. Comment s’appellent les deux nombres dont on prend le rapport , et quel nom donne-l-on aux deux termes dun rapport ? — 4. Un rapport géométrique change-t-il lorsqu’on en multiplie ou qu’on en divise les deux termes par un même nombre?

|. — On appelle rapport , en général, le résultat de la comparaison de deux quantités. Or, on peut comparer deux quantités entre elles de deux manières , soit par soustraction ou différence, soit par division ou quotient : de là deux sortes de rapports, le rapport par différence, ou rapport arithmétique, et le rapport par quotient, ou rapport géométrique.

Ainsi le rapport arithmétique de 18 à 6 est 18 — 6 ou 12, et le rapport géométrique est *£ ou 3.

1. 11 ne sera question ici que du rapport géométrique, le seul usité dans l’arithmétique élémentaire. Le rapport arithmétique s’emploie dans l’arithmétique supérieure, c Vst-à dire dans la théorie des progressions et des logarithmes.

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2 . — Le rapport géométrique s’écrit en plaçant le second nombre la suite du premier , et en les séparant par deux points.

Ainsi le rapport géométrique de 19 à 6 s’écrit 18:6.

3. — Les deux nombres dont on prend le rapport s’appellent termes du rapport; le premier terme se nomme antécédent , et le second terme, conséquent.

4. — lin rapport géométrique ne change pas lorsqu’on en multiplie ou qu’on en divise les deux termes par le même nombre.

En effet, tout rapport géométrique équivaut à une fraction qui a l'antécédent pour numérateur et le conséquent pour dénominateur ; or, une fraction ne change pas lorsqu’on en multiplie ou qu’on en divise les deux termes par un même nombre (p. 513): donc, etc.

2° Des proportions.

1. Qu’est-ce qu’une proportion géométrique, ou simplement une proportion r — 2. Comment écrit-on et énonce-t-on une proportion ? — 3. Quels noms donne-t-on au 1 er et au 4° terme, au 2® et au 3 e ? aux deux termes du premier rapport et aux deux termes du second ? — 4. Quelle est la propriété fondamentale de toute proportion ? — 6. Que peut-ori faire de 4 nombres, lorsque le produit de 2 d’entre ces nombres est égal au produit des 2 autres? — G. Lorsque 4 nombres ne sont pas en proportion , le produit des extrêmes est-il égal à celui des moyens? — 7. A quoi est égal chaque extrême cl chaque moyen d’une proportion ? — 8. Lorsqu’on connaît trois termes d’une proportion , que peut-on en déduire ? — 9. Combien de transformations peut-on faire subir à toute proportion? —10. Peut-on, sans détruire une proportion , multiplier ou diviser par le même nombre les 2 antécédents ou les 2 conséquents, ou les 4 termes a la fois? — 1 1. Comment fait-on disparaître les nombres fractionnaires d’une proportion , et dans quel cas peut-on en. simplifier les termes? — 12. Qu’est-ce qu’un rapport compose? — 13. Lorsqu’on multiplie les termes de plusieurs proportions les uns par les autres et par ordre , les quatre produits formentils une nouvelle proportion? — 14. Lorsque deux proportion* ont les mêmes antécédents ou les mêmes conséquents, les quatre autres termes forment-ils une proportion ?

1. — Une proportion géométrique, ou simplement une proportion, est la réunion de deux rapports égaux.

Ainsi :-le rapport de 6 à 18 étant ou -j, et le rapport de' 8 à 24 étant ou -j comme le premier, ces deux rapports sont égaux ; on a donc ~ — t $, et les quatre nombres 6, 18, 8, 24 sont en proportion.

2. — On écrit «ne proportion en mettant deux points entre les termes de chaque rapport, et quatre entre les deux rapports. Ex. :

cé que l’on énonce ainsi : 6 est <i 18 comme 8 est à 24.

5. — Le 1 er et le 4 e terme se nomment extrêmes ; le 2 e et le 3 e se nomment moyens.

On appelle 1 er antécédent et 1 er conséquent les deux termes du 1 er rapport; 2 e antécédent et 2° conséquent , les deux termes du 2 e rapport.

4. — La propriété fondamentale de toute proportion géométrique , c’est que le produit des extrêmes est égal au produit des moyens.

Soit la proportion 6 : 48 : : 8 : 24.

Le produit de 6 par 24 est 144, et le produit de 18 par 8 est aussi 144 : on a donc 6x24 = 18x8.

En effet , les rapports égaux de la proportion donnent les fractions égales t| et rf : on a donc ^ =

La réduction au même dénominateur donne ^ X t =

— Ces fractions sont égales: or elles ont le même déno-

minateur, donc leurs numérateurs sont égaux ; donc : 6X24=18X8;

donc le produit des extrêmes est égal au produit des moyens.

<>. — Lorsque le produit de deux nombres est égal au produit de deux autres nombres , on peut avec ces quatre nombres former une proportion , en prenant les deux facteurs de l’un des produits pour les extrêmes et les deux autres facteurs pour les moyens.

' Soit 7 X 42 = 28 X 3 = 84.

On' aura la proportion 7 : 3 28 : 12.

En effet, si Fon divise les produits égaux 7 X 12 et 28 X 3 par , . 7 X 12 28 x 3

3 X 12 , les quotients et seront égaux; or, -en

supprimant le facteur 12, commun aux deux termes de la l rr fraction, et le facteur 3, commun aux deux termes de la 2 e , on obtient les fractions équivalentes y et -f* ; les rapports y et f* étant égaux,

’ on a, la proportion 7 : 3 : : 28 : 12.

PROPORTIONS. ÎJ4ÎS

G. — Lorsque quatre nombres ne sont pas en proportion, te produit des extrêmes n’est pas égal à celui des moyens.

En effet, si ces produits étaient égaux, les quatre nombres donnés formeraient une proportion ; ce qui est contre l’hypothèse.

7 . — Chaque extrême d’une proportion est égal au produit des moyens divisé par l’autre extrême :

Soit la proportion 7 : 3 : : 28 : 12.

Celle proportion donne 7 X 12 = 3x28 : si l’on divise par ■ 7 les deux produits égaux 7 X 12 et 3x28, les résultats 12 et 3 X 28

' — - — sont égaux. L’extrême 12 est donc égal au produit 3 x 28

des moyens divisés par l’autre extrême 7 : ce qui démontre le principe énoncé.

On prouverait de même que 7 =

Chaque moyen d’une proportion est égal au produit des extrêmes divisé par l’autre moyen.

Soit la proportion 7 : 3 : : 28 : 12.

Cette proportion donne 7 X 12 = 3 X 28. Si l’on divise par 3

les deux produits égaux 7x12 et 3 X 28, les résultats • — - —

et 28 seront égaux. Le moyen 28 est donc égal au produit 7x12 des extrêmes divisé par l’autre moyen 3 : ce qui démontre le principe énoncé.

On prouverait de même que le moyen 3 = — — — .

8- — (Il résulte de là que) lorsqu’on connaît trois termes d’une proportion, on. peut toujours en déduire le quatrième terme.

Soit à trouver le quatrième terme de la proportion dont les trois premiers sont G, 2 et 24.

Si l’on désigne le terme inconnu par x, on aura :