Soit à extraire la racine carrée du nombre

Le nombre proposé surpassant 10000, sa racine carrée doit être plus grande que 100, c’està-dire avoir plus de deux chiffres; mais,

” quoi qu’il en

soit, on peut toujours la regarder comme une collection d’unités simples et de dizaines. Dés lors le carré de cette racine, ou le nombre proposé , se compose de trois parties, savoir : le carré des dizaines, plus le double produit des dizaines par les unités, plus le carré des unités. Or, le carré des dizaines donne au moins des centaines; donc la dernière tranche 44 ne peut en faire partie, et c’est dans ce qui reste à gauche que se trouve ce carré.

En raisonnant sur le nombre 568214 comme sur le nombre proposé , on est conduit, pour avoir les dizaines de sa racine , à extraire la racine du plus grand carré contenu dans la partie gauche île 14, c’est-à-dire dans 5G82 : et pour obtenir les dizaines de cette nouvelle racine, il faut encore faire abstraction des deux derniers chiffres 82 , et extraire la racine du plus grand carré contenu dans 56.

Extrayons donc la racine do 56 : il vient 7 pour 49 ; on écrit 7 à la droite du nombre proposé , et l’on retranche 49 de 56 , ce qui donne pour reste 7, à côté duquel on abaisse la tranche suivante 82. Séparant le dernier chiffre à droite de "82, puis divisant 78 par 14, double de la racine déjà trouvée, on a pour quotient 5, que l'on écrit à droite de 14, ce qui donne 1.45 : on iqulliplic 145 par

5 et l’on soustrait' le produit 725 de 782; 75 représente alors la collection des dizaines de la racine du nombre 568214.

Pour obtenir les unités, on abaisse à côté du reste 57 la tranche H, ce qui donne 5714, dont on sépare le dernier chiffre. Divisant 571 par 150, double de la racine déjà trouvée, on a pour quotieni 3, que l’on écrit à droite de 150, ce qui donne 1503 ; puis, écrivant 3 au-dessous de 1503, on multiplie 1503 par 3 et l’on retranche le produit 4509 de 5714; 753 exprime alors le nombre total des dizaines de la racine demandée.

Enfin, pour avoir le chiffre des unités, on abaisse à côté du reste 1205 la dernière tranche 44; puis, faisant abstraction du dernier chiffre, on divise la partie à gauche 12054 par 1506, double de la racine déjà trouvée; il vient pour quotients, que l’on écrit à la droite de 1506, ce qui donne 15068. Multipliant 15068 par 8, et soustrayant le produit 120544, on obtient zéro pour reste. Donc 7538 est la racine demandée. Pour vérifier l’opération, il suffit de multiplier 7538 par lui-même, d'après les règles de la multiplication.

O. — Pour extraire la racine carrée d’un nombre quelconque, on sépare, à partir de la droite, le nombre proposé en tranches de deux chiffres (le nombre des tranches est égal au nombre des chiffres de la racine). On prend la racine du plus grand carré contenu dans la première tranche à gauche, qui peut n’avoir qu'un seul chiffre, et l’on soustrait de celte première tranche le carré du chiffre trouvé.

On abaisse à côté du reste la deuxième tranche à gauche, dont on sépare le dernier chiffre par un point ; puis on divise la partie à gauche de ce chiffre par le double de la racine déjà trouvée. On écrit le quotient à côté du double de la racine ; on multiplie le nombre ainsi formé par ce quotient , et Pon retranche le produit du premier reste suivi de la deuxième tranche.

On abaisse à côté du nouveau reste la troisième tranche; on sépare le dernier chiffre par un point , et l’on divise la partie à gauche par le double de la racine déjà trouvée : on écrit le quotient à la droite de ce diviseur; puis on multiplie le nombre ainsi formé par le quotient , et l’on retranche le produit du second reste suivi de la troisième tranche. On continue ainsi cette série d’opérations jusqu'à ce qu’on ait abaissé toutes les tranches.

Si, à la fin de ces opérations, on n'obtient aucun reste, le nombre proposé est un carré parfait. Si l’on obtient un reste, le nombre n’est pas un carré parfait; mais on connaît alors la racine du plus grand carré contenu dans le nombre , ou, ce qui revient au même, la partie entière de la racine carrée de ce nombre. * .

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