I.#s moyens demandés sont donc 5, 8, M, I I, 17 et

O. — I.a seconde propriété des progressions arithmétiques , c’est que la somme de deux termes quelconques pris à égale distance des deux extrêmes, c’est-à-dire du premier terme et du dernier , est égale à la somme des deux extrêmes.

Ainsi dans la progression :

on a 1 -(- 37 = 4 + 34 =7 +31 = 10 + 28....

7. — La somme des termes d’une progression arithmétique est égale au produit de la somme des extrêmes, multipliée par la moitié du nombre des termes.

Soit la progression arithmétique -f 3. 3. 7. 9. 11. 13. 15. ; si on l’écrit dans l’ordre inverse, on a ; 15. 13. H. 9.

7 y rr *

En ajoutant les termes correspondants de ces deux progressions , j’obtiens les sommes partielles :

3 + 15, 6+ 13, 7 + 11, 9 +9, Il + 7, 13 4- 5, 15 + 3.

Or, dans la 2 e somme partielle, 5 est égal au 1 er terme plus la raison, et 13 est égal au dernier leçmc moins la raison. La somme de ces deux raisons se réduit donc au I er terme plus le dernier. De même, dans la 3 e somme partielle, 7 est égal au 1 er terme plus 2 fois la raison, et 11 est égal au dernier terme moins 2 fois la raison ; ce qui , en ajoutant, donne encore le 1 er terme plus le dernier, et ainsi de suite. La somme totale des termes de ces 2 progressions, c’est-à-dire le double de la somme des termes de 1 une d’elles égale donc la somme du 1 er terme et du dernier, répétée autant de fois qu’il y a de termes dans la progression ; donc, etc.

Problème. — On demande la somme des termes d’une progression arithmétique dont le 1 er terme est 1, dont le dernier terme est 27, et dont le nombre des termes est 14.

On obtient la somme demandée en multipliant 27+1 ou 28 par 7 ; ce qui donne 196. En effet, les termes de la progression sont les

ÎJ80 AR1THHÉTK)DE.

nombres impairs 1, 3, 5, 7,9, 11; 13, 15, .17, 19, 21, 23, 25, 27, dont la somme est 190.

8. — On appelle progression géométrique, ou par quotient, une suite de termes dont chacun est égal à celui qui le précède, multiplié par un nombre qui est encore appelé la raison de la progression.

[.a progression est dite croissante ou décroissante , suivant que la raison ou le nombre constant qui exprime le rapport d'un terme à celui qui le précède est plus grand ou plus petit que l’unité. «

Soient les deux suites de nombres :