Cours ite Géonu trie

peut toujours supposer décrit un arc d’une longueur égale à la largeur de la bande.

De là encore on peut conclure que par un point O (fig.50) pris hors d’une droite AB on peut toujours mener une parallèle C'D', et qu’on n’en peut mener une seconde EF; sans quoi l’angle DOF ou l’angle C'OE serait contenu dans la bande ABCD' : ce qui est impossible.

Théorèmes sur les parallèles.

1* Deux droites respectivement parallèles à une troisième sont parallèles entre elles. — 2° Deux droites sont parallèles lorsqu’elles font avec une même transversale : soit des angles allernes-internc8 égaux; soit des angles allerncs-extcrnes égaux; soit des angles correspondants égaux. — 3° Lorsque deux droites coupées par une transversale sont parallèles, les angles al ternesinternes, alternes-externes et correspondants sont respectivement égaux. — 4° Deux droites parallèles ont leurs perpendiculaires communes. — 5° Deux parallèles sont partout également distantes, et réciproquement, si deux droites sont partout également distantes elles sont parallèles. — 6° Deux parties de parallèles obliques comprises entre d'autres parallèles, sont égales. — 1° Deux angles sont égaux lorsque les côtés de l’un sont parallèles aux côtés de l’autre et dirigés dans le même sens, chacun à chacun. — 8° Deux angles sont égaux lorsque les côtés de l'un sont parallèles aux côtés de l’autre et dirigés en sens contraire , chacun à chacun.

1° Deux droites AB, CD, respectivement parallèles à une troisième EF, sont parallèles entre elles (fig. 31).

Gar si eHes se rencontraient, on pourrait, par un même point, mener deux parallèles AB, CD à une même droite EF: ce qui est absurde.

2° Deux droites AB, CD, sont parallèles lorsqu’elles font avec une même transversale EF : soit des angles alternes internes égaux; soit des angles alternes-externes égaux; soit des angles correspondants égaux («g. 32).

Observons d’abord que les deux angles alternes-inlernes, par exemple AMN et MND, ne peuvent être égaux entre eux sans que les deux autres angles alternes-internes , BMN , MNC, suppléments respectifs des premiers, ne soient aussi égaux entre eux. Cela posé, supposons que les portions indéfinies de droite MA, NC, se rencontrent, et, dans celle hypothèse, faisons pivoter la portion de plan AMN'C autour du point O , milieu de MN , de manière que OM prenne la place de ON ; alors MA prendra la position ND, et NC la

position MB. Or MA et NC se rencontrant encore dans celte nouveIle"posilion , il en résulterait que MB, ND se rencontreraient aussi , et alors les droites AB, CD auraient deux points communs : ce qui est absurde.

On se servira du même raisonnement pour les angles alternes-exlernes et les angles correspondants égaux.

3° Lorsque deux droites AB, CD, coupées par une transversale MN, sont parallèles, les angles alternesinlernes , alternes-externes et correspondants , sont respectivement égaux ( fig. 29 bis).

En effet, les angles correspondants AMN, CNF, par exemple , ayant un côté commun EF et pour l’autre côté les parallèles AB, CD, ont nécessairement la même ouverture, et sont par conséquent égaux. Il en serait de même des six autres angles correspondants.

AMN = CNF; or CNF — MND, comme lui étant opposé par le sommet: donc A.MNrrMND. Il en serait de même des deux angles alternes-inlernes BMN et MNC.

AMN r=CNF ; or AMN — EMB, comme lui étant opposé par le sommet : donc CNF = EMB. Il £n serait de même des deux autres angles alternes-externes EMA et DNF : donc , etc.

4° Deux droites parallèles AB, CD (fig. 28), ont leurs perpendiculaires communes.

En effet, si la droite EF, que l’on suppose dans le plan des deux parallèles, est perpendiculaire à AB, en M par exemple, elle ira rencontrer CD; sans quoi l’on pourrait, par le même point M, mener deux parallèles à la droite CD. La droite EF sera donc perpendiculaire à AB ; car sans cela elle lui serait oblique, et alors les droites AB, CD, étant l’une perpendiculaire et l’autre oblique à une même droite EF, se rencontreraient et ne seraient plus parallèles : ce qui est contre l’hypothèse. Donc, etc.

3° Deux parallèles AB, CD, (fig. 33), sont partout également distantes.

D’abord une perpendiculaire EF ou CI, commune aux deux droites AB, CD, est la ligne la plus courte qu’on puisse leur mener d’un point E ou G : celte perpendiculaire mesure donc pour les points E ou G, la distance des deux parallèles. Ainsi la question revient à prouver que les perpendiculaires EF, GI, sont égales.

Parle point M, milieu de EG, élevons sur AB la perpendiculaire MN; elle ira rencontrer en un point N la parallèle CD. Rabattons BMND sur AMNC ; tous les angles de la ligure étant droits , MG prendra la direction ME , et

comme MG — ME , le point G tombera sur le point E. Ensuite GI prendra la direction EF, et NI la direction NF : donc le point I tombera en F; donc G!=EF. — C. Q. F. D.

Réciproquement «t deux droites sont partout également distantes, elles sont parallèles.

Car alors elles ne sauraient se rencontrer.

6° Deux parties de parallèles obliques AB, CD (fig. 34), comprises entre d’autres parallèles AC, BD, sont égales.

Cela est vrai pour les perpendiculaires AE , CF, comine on vient de le voir. Mais l’angle GAE=:GCF, car ce sont des angles droits; l’angle GAB=GCD, car ils sont correspondants. Donc BAErrrDCF, et si l’on place CF sur son égal AE, CD couvrira AB, FD couvrira EB, et le point B tombera-sur I). Ainsi AB et CD, parties de parallèles obliques, sont égales comme AE et CF.

7° Deux angles AOB, A’O'B' ( fig. 33 ) , sont égaux lorsque les côtés de l’un sont parallèles aux côtés de" l’autre et dirigés dans le même sens , chacun d chacun.

En effet , le côté A’O', prolongé s’il est nécessaire , rencontrera le côté OBen un point C; et l’on aura par la propriété des angles correspondants : *

AOB=A'CB, A'CB=A'0'B', d’où A0B=Â'0'B’.

8° Deux angles, AOB, A'O'B’ (fig. 3G), sont égaux, lorsque les côtés de l’un sont parallèles aux côtés de l’autre et dirigés en sens contraire , chacun à chacun.

En effet, soit OA* le prolongement de <>A , et OB" le prolongement de OB , on aura :

AOB= A B OB*, et A"OB B =A / 0'B', d’où AOB — A'O'B*.

Théorèmes sur les propriétés du cercle louché ou coupé par deux parallèles.

1° Deux tangentes menées aux extrémités d’un même diamètre

sont parallèles, et réciproquement. — 2° Deux parallèles interceptent sur la circonférence des arcs égaux.

1° Deux tangentes, ST, UV, menées aux extrémités d’un même diamètre AF, sont parallèles ( fig. 49).

En effet, ces deux tangentes ne sont autre chose que des perpendiculaires A une même droite.

Réciproquement, deux tangentes parallèles ont néces-

sairement leurs points de contact situés aux extrémités d’un même diamètre : car les rayons qui aboutissent à ces deux points, étant à la fois perpendiculaires aux deux tangentes, doivent être les prolongements l’un de l’autre.

2° Veux parallèles interceptent ou limitent sur la circonférence des arcs égaux.

Il peut se présenter trois cas :

4* r cas. Si les parallèles sont deux sécantes, BC, DE (lig. 49), le diamètre qui leur est perpendiculaire coupera la circonférence en deux points, A, F, également distants des points B et C d’une part, et d’autre part, des points D et E. On aura donc :

arc AB = arc AC, arc AD = arc AE, d’où arc AD —

arc AB=arc AE — arc AC , c.-à-d. arc BD=arc CE.

2 e cas. Si, des deux parallèles , l’une est tangente, ST ou UV, et l’autre sécante, BC, le diamètre AF passera par te point de tangence A ou F, et coupera l’arc BAC ou BFC en deux parties égales. Donc :

AB=AC ou FB = FC.

3* cas. Enfin, si les parallèles sont deux tangentes, ST, UV, la droite AF qui passe par les points de tangence est un diamètre , et alors les arcs ABDF , ACEF, égaux à la demicirconférence , sont égaux entre eux.

§41. Mesure des angles inscrits et circonscrits.

! Qn’appelle-l-on angle excentrique? — 2. Quelles sont les deux especes principales d'angles excentriques à considérer?

1. — Par opposition à la dénomination d’angle au centre (p. 604) , on appelle angle excentrique tout angle APB (fig. 42, 43, 44) dont les côtés coupent ou touchent la circonférence , et dont le sommet est placé ailleurs qu’au centre; ce qui peut avoir lieu de trois manières principales et bien distinctes : l’angle pouvant avoir son sommet sur la circonférence même (fig. 44), ou entre le centre et la circonférence ( fig. 42), ou bien hors du cercle (fig. 43).

2. — Parmi les angles excentriques, il y en a deux espèces principales à considérer : 4® V angle inscrit A'P'B' (fig. 43), qui a son sommet sur la circonférence, et dont les côtés sont

des cordes ; et Vangle circonscrit APB (fig. 43), donl les côtés sont des tangentes.

Théorèmes et problèmes sur les angles inscrits et circonscrits »

J* Tout angle inscrit est la moitié de l’angle au centre qui correspond au même arc de cercle (compris entre les côtés). — 2° Tout angle inscrit dans un demi-cercle est un angle droit. — 3* Tout angle circonscrit est supplémentaire de l’angle au centre qui correspond au môme arc. — 4° Sur un point pris hors d’une droite, mener une autre droite qui fasse avec la prevnière un angle égal à un angle donné. — 5° Elever une perpendiculaire à l’extrémité d'une droite.

1° Tout angle inscrit APB est la moitié de l’angle au centre qui correspond au même arc de cercle AB (compris contre ses côtés) (fig. 42).

En effet, supposons d’abord que l’un des côtés PB passe par le centre , et menons le diamètre MON parallèle à la èerde AP. Les angles MOB, PON, qui en résulteront , seront égaux à l’angle proposé APB. De plus , l’arc PN étant d’une part égal à l’arc AM et d’autre part égal à l’arc MB, les arcs. AM et MB, et par suite les angles AOM et MOB seront égaux entre eux ; donc l’angle MOB, ou son égal APB, est la moitié de l’angle au centre AOB. — C. Q. F. D.

Si aucun des deux côtés ne passe par le centre, l’angle # est la somme ou la différence de deux angles APC , BPC (fig. 43 et 44), dont un côté PC passe par le centre; et comiHf on a alors :

APC = 1|2 AOC etBPC = l,2B0C,

il en résulte encore dans les deux cas : APB=1|2 AOB. Corollaire. Puisque l’angle au centre a pour arc d’indi- ^ cation celui qui est compris entre ses côtés, il en résulte que L’angle inscrit a pour indication la moitié de l’arc compris entre ses côtés.

2° Tout angle inscrit ACB, ADB dans un demi-cercle tst un angle droit (fig. 45).

Eu effet, ces angles ont pour indication de leur mesure la moitié de l’arc AEB compris entre leurs côtés; or, l’arc AEB est une demi-circonférence valant 180 degrés, dont la moitié est de 90 degrés, mesure de l’angle droit (p. 604).

3° Tout angle circonscrit APB (fig. 43) est supplémentaire de l’angle au centre AOB qui correspond au même arc, c.-à-d. dont les côtés passent par les points de tangence , A, B.

céoüéTRiE. 621

Pour le démontrer, décrivons une seconde circonférence sur OP comme diamèlre; cetle circonférence passera par les points A , 15 (p. 613, 6°), puisque les angles OAP, OBP sont droits. Alors les angles AOB, APB, inscrits dans deux arcs dont la somme compose la circonférence entière AOPB, seront supplémentaires.

4° Par un point O pris sur une droite, mener une autre droite, qui fasse avec la première un angle égal à wn angle donné (lig. 46).

Soit donné l'angle BOA. Du point O comme centre, et d'un rayon arbitraire OA , décrivons l’arc AB; du point O' comme centre et du même rayon, décrivons un arc indélini A'B’ ; prenons la distance AB , et avec cette distance comme rayon , décrivons du point A' comme centre un petit arc de cercle qui coupe le précédent en B'; enfin, menons la droite O'B'.

L’angle A'O'B' sera l’angle demandé.

En effet, si l’on mène AB et A’B’, on aura deux cordes égales dans deux cercles de rayons égaux OA, 0'A' ; les arcs correspondants à ces cordes seront donc égaux , et par suite les angles correspondants AOB , A'O'B' le seront aussi.

5° Élever une perpendiculaire à l’extrémité d’une droite.

Soit la droite AB (lig. 47). Prenons an dehors de celte droite le point arbitraire O, et du rayon OB, décrivons un cercle qui coupera la droite AB au point A. Menons le diamètre AOC et la corde BC.

BC sera la perpendiculaire demandée. En effet, l’angle ABC est droit, puisqu’il est inscrit dans le demi-cercle , donc BC est perpendiculaire sur AB.

§ M. Divers moyens de mener des parallèles.

Problèmes sur les moyens de mener des parallèles.

1° Par un point donné hors d’une droite, mener une parallèle à cette droite. — 2° Une droite étant donnée, lui mener à une distance donnée une parallèle. — 3° Par un point pris hors d’une droite , mener une autre droite qui fasse avec la première un angle donné. — 4° Décrire sur une droite un segment capable d’un angle donné.

1° Par un point C donné hors d’une droite AB, mener une parallèle à cette droite ( fig. 37 ).

Menons une droite-du point C à un point quelconque E «le AB; du point E comme centre, et d’un rayon égal à EC , décrivons un arc CF coupant AB en F; du point C comme centre et du même rayon EC, décrivons un arc ED; du point E comme centre et d'un rayon égal à la corde de l’arc CF, décrivons un petit arc de cercle qui coupe l’arc ED en un point D; enfin menons la droite CD.

CD est la parallèle demandée; car la transversale EC fait avec les deux droites EF, CD, deux angles allernes-internes égaux (p. 614).

2° Une droite AB ( lig. 55) étant donnée , lui mener à une distance donnée, MN, une parallèle.

Détix parallèles étant partout également distantes, on peut pour résoudre le problème : ou élever par les points quelconques E, G de AB , les perpendiculaires EF, Gl, égales entre elles et à la longueur MN ; la droite CFID, menée par les points F, 1, sera la parallèle cherchée.

Ou par un point quelconque E de AB, élever la perpendiculaire EF égàle à MN; puis par le point F’ élever sur EF la perpendiculaire CFD: ce sera la parallèle demandée.

5° Par un point E (fig. 46) pris hors d’une droite AB, mener une autre droite qui fasse avec la première un angle égal à un angle donné BOA.

Par un point quelconque D , pris sur AB , menons une droite DC qui fasse avec AB un angle égal à l'angle donné ; menons FE parallèle à DC.

FE sera la droite demandée, puisque les angles CDB, EFB sont égaux comme correspondants ( p. 61 4).

4° Décrire sur une droite un segment capable d’un angle donné C'B'b' (lig. 48).

( On nomme arc, ou segment capable d’un angle donné, un arc ou segment tel que tous les angles susceptibles d'y être inscrits sont égaux à cet angle.)

Soit AB la droite sur laquelle le segment doit être décrit. Prolongeons-la vers C et faisons l’angle CBD=l’angle C'B'D'. Tirons BO perpendiculaire sur BD, et HO perpendiculaire sur le milieu de AB. Du point d’intersection O des deux perpendiculaires, comme centre, et du rayon OB, décrivons un cercle. AMB sera le segment demandé.

En effet, l’angle C'B'D'=CBD— ABE ; celui-ci est formé par une corde et une tangente : il a donc pour mesure la moitié de l’arc ANB. Or c’est aussi la mesure de tout angle , AGB, A1B, etc., inscrit dans le segment; donc chacun de

ces angles inscrits est égal à l’angle donné. Donc le segment est capable, etc.

§ 13. Du polygone en général et des diverses sortes de triangles.

1. Qu’est-ce qu’un polygone en général ? Qu’appelle-t-on côtés, sommets, angles, diagonales et périmètre d’un polygone ? — 2. Combien faut-il de droites pour limiter un plan ? — 3. Qu’est-ce qu’un triangle? — 4. Qu’est-ce qu’un polygone équilatéral ? équiangle? régulier? irrégulier? — 5. Qu’est-ce qu’un polygone inscrit? circonscrit? — 6. Quelle est la condition fondamentale du triangle? — 7. De combien de manières peut-on considérer un triangle?— 8. Qu’est-ce qu’un triangle acutangle? obtusangle? rectangle? Qu’appellc-t-on hypoténuse et côtésde l’angle droit? — 9. Qu’est-ce qu’un triangle scalène ? isocèle ou symétrique ? équilatéral ? — 10. Qu’appelle-t-on hauteur d’un triangle? base? côtés latéraux? sommet du triangle? angle au sommet ? angles à la base ?

1. — On appelle en général polygone un plan limité par des droites qui se coupent deux à deux.

Les portions de droites qui composent le polygone sont dites côtés de ce polygone; leurs points d'intersection sont dits les sommets,- les angles se nomment les angles du polygone.

On appelle diagonales les droites AC, AD, RD, DE, CE (fig. 53), qui lient deux à deux les sommets des angles non adjacents à un meme côté.

On nomme périmètre (ou contour) du polygone, l’ensemble ou la somme de ses côtés.

2. — 11 faut au moins trois droites pour limiter un plan : d’où il résulte qu’un polygone ne peut avoir moins de trois côtés.

5- — Ce triangle est le plus simple de tous les polygones ; il a trois côtés et trois angles : telle est la figure ABC (Og. 54).

4- — Un polygone est dit équilatéral , s’il a tous ses côtés égaux; équiangle , s’il a tous ses angles égaux; régulier , s’il a tous ses angles et tous ses côtés égaux ; irrégulier, si celte double égalité n’existe pas.

». — Un polygone ABCD (fig. 55) est dit inscrit à un cercle, lorsque tous ses côtés sont des cordes du cercle ; et réciproquement le cercle est dit circonscrit au polygone.

Un polygone A'B'C'D' (fig. 55) est dit circonscrit à un cercle lorsque tous ses côtes sont tangents au cercle, et réciproquement le cercle est dit inscrit au polygone.

6- — La condition fondamentale du triangle, c’est que te plus grand des trois côtés est moindre que la somme des deux autres.

7. — On peut considérer un triangle de deux manières : i" sous le rapport de la valeur des angles; 2° sous le rapport de la grandeur relative des côtés.

O- — Un triangle est dit acutangle, obtusangle ou rectangle , suivant que le plus grand de ses trois angles est aigu, obtus ou droit.

Dans un triangle rectangle ABC (fig. oti), le côté AC opposé à l’angle droit B, s’appelle hypoténuse ; les deux autres sont les côtés de l’angle droit.

9. — Un triangle est dit scalêne lorsque ses trois côtés, comparés deux à deux, sont inégaux: tel est ADC (fig. 57).

Il est dit isocèle ou symétrique , lorsque deux de ses côtés A'C', C'E', sont égaux (fig. 57 bis).

Enfin un triangle est dit équilatéral, s’il a ses trois côtés égaux : tel est ABE (fig. 60).

10. — On appelle hauteur d’un triangle quelconque la perpendiculaire abaissée d’un des sommets sur le côté opposé, que l’on prolonge s’il le faut : telles sont CD, C'D', C'D* (fig. 57 et 57 bis).

Le côté opposé au point d’abaissement se nomme base , et alors les deux autres côtés sont dits côtés latéraux.

On appelle angle au sommet , l’angle opposé à la base , et alors les deux autres sont dits angles à la base.

Théorèmes sur la formation d’un triangle , sur la somme île scs angles et sur la comparaison de ses côtés.

t s On peut toujours faire un triangle avec trois droites dont une quelconque est moindre que la somme des deux autres. — 2° La somme des trois angles d'un triangle est égale à deux angles droits ou à 180 degrés. A quoi est égal l’angle extérieur de tout triangle? Quelle ‘est la valeur des angles aigus d’un triangle rectangle? — 3° Lorsque deux côtés d’un triangle sont égaux, les angles opposés sont égaux. — 4° Lorsque deux côtés d’un triangle sont inégaux, au plus grand côté est opposé un plus grand angle.

1" On peut toujours faire un triangle avec trois droites A, B, C, dont une quelconque est moindre que la somme des deux autres (fig. 58).

Eu effet, menons une droite el-porlons-y la longueur A, de D en E; puis du point D , avec la longueur B pour rayon, décrivons un arc, et du point E avec la longueur C pour rayon, décrivons un second arc qui coupe le premier en F ; -joiguons enfin F à D et à E, nous aurons le triangle DEF; dont les trois côtés auront les longueurs données.

2 0 La sorpme des trois angles d’un triangle quelconque ABC (fig. 59) est égale à deux angles droits ou à 180 degrés.

En effet , prolongeons l'un des côtés AB par exemple, de manière à former l’angle extérieur CBD; puis dans cet angle menons BE parallèle à AC ; nous aurons ainsi :

CBE=BCA , et EBD=CAB ,

d’où ABC + BCA -f CAB = ABC +• CBE -j- EBD = 2 droits.

1 er Corollaire ■ Les deux angles aigus A, C, d’un triangle rectangle ABC (fig. üG) valent ensemble 90 degrés, puisque fa somme des trois angles d’un triangle donne 180 degrés et que l'angle-droit B en vaut 90 ; lors donc qu’un tel triangle est symétrique, chacun des angles.aigus vaut 15 degrés.

2° Corollaire: Si deux angles d’un triangle sont , chacun à chacun , égaux à deux angles d’un autre triangle , les deux triangles sont équiangles entre eux.

3° Lorsque deux côtés AE, BE, d’un triangle ABE (fig. 60) sont égaux, les angles opposés sont égaux ; et réciproquement

En effet, par le point C, au milieu du S' côté AB, élevons une perpendiculaire. Les deux côtés AE , BE étant égaux , la perpendiculaire élevée au point C, passera par le sommet E , et alors les angles A et B sont égaux.

La réciproque, que deux angles d’un triangle étant égaux , les côtés opposés sont égaux , est évidente.

4° Lorsque deux côtés (fig. 19) AF, BF d'un triangle ABF sont inégaux, au plus grand côté BF est opposé un plus grand angle.'

Puisque l’on a BF > AF, la perpendiculaire élevée sur le milieu de AB coupera BF en un point E ; et alors , en menant AE , on aura angle BAE == angle ABE, et par conséquent angle BAF > angle ABF.

La réciproque de ce théorème est évidente.

Manuel. — D. Supérieur. 17

«É0UÉTR1E. ■

% H. Cas divers d’égalité des triangles. — Propriétés particulières du triangle isocèle et du triangle rect- ' angle.

Théorèmes sur l'égalité des triangles.

P Deux triangles sont égaux lorsqu’ils ont les trois côtés égaux chacun à chacun. — 2° Deux triangles sont égaux lorsqu’ils ont un angle égal compris entre deux côtés égaux. — 3“ Deux triangles sont égaux lorsqu’ils ont un côté égal adjacent à des angles égaux chacun à chacun. — 4° Deux triangles sont égaux lorsqu’ils ont (leux côtés égaux chacun à chacun, ainsi que l'angle opposé à l'un d’eux, pourvu que l’angle opposé au se* cond côte soit de même espèce dans les deux triangles , c’està-dire aigu, ou droit, ou obtus à la fuis.

i" Veux triangles ABC, A'B’C' sont égaux, lorsqu’ils ont les trois côtés égaux chacun à chacun , AB = A'B', AC = A'C' , BC ;= BC' (fig. 08) .

Appliquons le côté A'B' sur sou égal AB, el le triangle A’B'C sur le plan ABC , de manière que les côtés égaux sc correspondent : je dis que les deux triangles coïncideront.

Supposons que cela n'ait pas lieu. Alors le poiut C', pat exemple, tombera ou dans le triangle ABC, en D, ou sur le côté BC, en E, ou enfin Aor#du triangle, en F.

Dans le premier cas, on aura :

AD-H)B<AC-f BC, ou A'C’4-B'C’<AC+BC ; ce qui est absurde, puisque l’on a par hypothèse A'C' — AC, B'C'=BC.

Dans le deuxième cas , on aura :

BE<BC ou B'C’<BC, ce qui est également contraire à l'hypothèse.

Enfin, dans le troisième cas, ou aura :

AC. 4- BF< AF-j-BC , ou AC4-B'C'<A'C'4-BC , ce qui est absurde.

Donc le point C' tombera sur le point C, et par conséquent les deux triangles se confondront.

2" Deux triangles sont égaux lorsqu’ils ont un angle égal, A=-A', compris entre deiuç côtes égaux ( fig. 68) chacun à chacun. ,

En effet , 'appliquons le côté A'B' sur son égal AB et le triangle A'B'G' sur le plan ABC , de manière que les côtés et les angles égaux se correspondent : l’angle A' étant égal à l’angle A, le côté A’C'. prendra la direction AC; et comme À'C'^rAC, le point C 1 tombera sur le point C: donc les deux triangles coïncideront.

3° Deux triangles sont égaux lorsqu’ils ont un côté égal, AB = A'B', adjacent à des angles égaux chacun à chacun (fig. 68).

En effet, appliquons le côté A’B* sur son égal AB, et le triangle A'B’C', sur le plan ABC, de manière que les angles égaux se correspondent : comme A'=A, le côté A’C' prendra la direction AC ; et comme B’=zB, le côté B'C' prendra la direction BC. Lé point C*, sc trouvant ainsi à la fois sur AC et sur BC , coïncidera avec le point C , et les deux triangles se confondront.

4° Deux triangles sont égaux lorsqu’ils ont deux côtés égaux chacun à chacun, AB = A'B' .(fig. 106 ) ? BC=iB'C', ainsi que l'angle opposé à l’un des deux A= A', pourvu que les angles C', C', opposés au second côté, soient de même espèce dans les de\ix triangles.

Appliquons le côté A'B' sur son égal AB , et le triangle À'B'C' sur le plan ABC , de manière que les côtés et les angles égaux se correspondent ; l’angle A' étant égal à l’angle A, le côté A’C' prendra la direction AC.

Quant au côtéB'C 1 , il faut distinguer deux cas : ou ce côté 'est perpendiculaire à A'C', ou il lui est oblique.

1 er cas. Si B'C* est perpendiculaire à A'C', BC est aussi perpendiculaire à AC, d’après l’hypothèse. Or, comme on ne peut abaisser d’un même point B deux perpendiculaires à une même droite AC , il s’ensuit que le point C' tombera sur le point C; donc les deux triamgles coïncideront.

2 e cas. Si au contraire B'C' est oblique sur A'C', alors BC est aussi oblique sur AC. Dans ce cas, soit BD la perpendiculaire à AB, menée par le point B : la droite B'C' sera susceptible de preûdre deux positions, BC, Bc, également distantes de la perpendiculaire BD. Mais des deux angles ACB, AcB, l’un est nécessairement aigu et l’autre obtus ; donc si les angles C, C' sont de même espèce, le point C' tombera sur le point C ; et ainsi les deux triangles se confondront encore.

Théorèmes sur les triangles isocèles et reolanglcs.

1® Dans tout triangle isocèle, les angles opposés aux côtés é^aux sont égaux , et réciproquement. — 2° La ligne qui va du sommet au milieu de la base du triangle isocèle le partage en deux triangles rectangles. — Deux triangles rectangles sont égaux, lorsqu'ils ont chacun a chacun l’hypoténuse égale et un angle . a 'g u égal (outre l’angle droit). — 4° Deux triangles rectangles ' sont égaux lorsqu’ils ont chacun a chacun l’hjpuiénuse égale et un second côté égal.

1’ Dans tout triangle isocèle. CAE (fig. 57), les angles A. E, opposés aux côtés égaux CE, CA , sont égaux.

En effet, si l'on retourne le triangle CAE, de manière qu’il prenne la position C'E' A’, inverse de la première, les deux IrianglesCAE. C'E'A' pourront être considérés : l'soit connue ayant les (rois côtés égaux chacun à chacun, savoir :

AE=E'A', CA = C'E', CEcrC'A';

2° soit comme ayant deux côtés égaux chacun à chacun, CArrC’E', CE=C'A', comprenant le même angleC=C': donc ils seront égaux , de telle manière que l’on aura :

E' — A, A'=E , ou simplement A = E.

Comme l’angle AEC=:CEB ( fig. 60), et que l’angle . ECAc=ECD, on voit que :

Dans tout triangle isocèle, la ligne abaissée du sommet sur le milieu de la base est une perpendiculaire ;que cette perpendiculaire divise la base en deux parties égales ; qu 'elle partage l’angle au sommet en deux angles égaux, et qu 'elle fait avec la base deux angles égaux comme droits.

3" Deux triangles rectangles sont égaux lorsqu’ils ont • chacun à chacun l’hypoténuse égale et un angle aigu égal (outre l’angle droit).

Il en doit être ainsi, puisque dans un pareil triangle un angle aigu détermiue toujours le second. . .

Il est d’ailleurs facile de faire voir à priori que, si en faisant coïncider les hypoténuses ainsi que les angles aigus que l’on suppose égaux , les angles droits ne coïncidaient pas, on pourrait abafsser d’un même point deux perpendiculaires sur une même droite : ce qui est absurde (p. 601).

4° Deux triangle s rectangles sont égaux lorsqu'ils ont chacun à chacun l’hypoténuse égale et un second côté égal.

Car, si après avoir superposé les côtés égaux AB et A 'B'. ( fig. 107), ainsi que les angles droits A et A', les hypoténuses ne coïncidaient pas , on pourrait d’un même point B mener à la droite AC, et d'un même côté de la perpendiculaire , deux obliques égales : ce qui est absurde ( p. 601-2 i.

5 15. Intersection et contact des cercles.

1. Combien deux cercles situés dans le même plan peuvent-ils avoir de positions relatives essentiellement difl'érenles ? — 2. Qu’appelle-t-on ligne des centres? — 3. Quand les cercles sont-ils dits concentriques et excentriques ?

I. — Deux cercles situés dans le même plan ne peuvent avoir que cinq positions relatives essentiellement différentes; ils peuveut être :

1° Extérieurs l’un à l’autre;

2° Tangents extérieurement ;

3° Sécants ;

4° Tangents intérieurement;

5° Intérieurs l’un à l’autre.

3. — La droite qui joint les deux centres se nomme la ligne "des centres.

5. — Les deux cercles peuvent avoir le même centre; alors ils sont dits concentriques ; ils sont dits excentriques toutes les fois qu’ils n’ont pas le même centre.

Théorèmes sur V intersection et le contact des cercles.

1" Deux circonférences de cercle ne peuvent avoir plus de deux points communs sans sc confondre. — 2° Lorsque deux circonférences se coupent, la ligne des centres est perpendiculaire à la corde qui joint les points d’intersection, et elle la divise eu deux parties égales. — 3° Lorsque deux circonférences ont un point commun hors de la ligne des centres, elles sont sécantes. — *° Lorsque deux circonférences se touchent , la ligne des centres passe par le point de contact. — 5° Réciproquement, si deux circonférences ont un point commun sur-la ligne- des centres , elles sont tangentes. — - 0° Si les circonférences sont exté-

rieurcs l’une à l’autre , la distance des centres est plus grande que la somme des rayons ; si les circonférences se touchent extérieurement , la distance des centres est égale à la somme des rayons; si les circonférences se coupent, la distance de* centres est plus petite que la somme des rayons et plus grande que leur différence; si les circonférences se touchent intérieurement, la distance des centres est égale à la différence dos rayons.

1° Deux circonférences de cercle ne peuvent avoir plus de deux points communs sans se confondre.

En effet , supposons que trois points A , B , E ( fig. 40 ), puissent appartenir en même temps à deux ou à plusieurs circonférences. Lions ces points entre eux par deux droites AB , BE, et par les milieux respectifs, M, N, de ces droites, élevons des perpendiculaires. Chacune de ces perpendiculaires devant contenir le centre de toute circonférence passant par les trois points A,' B, E, il s'ensuit que ces droites devront se rencontrer. Or, le point de rencontre étant nécessairement unique, il s'ensuivra que les circonférences superposées , ayant même centre O et même rayon OA=OB=OE, seront identiques. — C. Q. F. D.

Corollaire. Par trois points donnés non en ligne droite, on ne peut faire passer qu’une circonférence.

2° Lorsque deux circonférences OT, ÇT (fig. 41 ) se coupent , la ligne des centres est perpendiculaire à la corde TS qui joint les points d’intersection , et elle la divise en deux parties égales.

En effet, la perpendiculaire élevée sur le milieu delà corde TS, commune aux deux cercles, devant passer par les points O, C, n'est autre chose que la ligne des centres; donc , etc.

3° Réciproquement, lorsque deux circonférences OT, CT ( fig. 41 ) ont un point commun T hors de la ligne des centres, elles sont sécantes.

. En effet, d’après l’hypothèse, les trois points O, C, T, forment un triangle dans* lequel OT et CT sont les rayons respectifs des deux cercles. Cela posé , on peut, en renversant le triangle OTC, former un second triangle OSC, symétrique du premier par rapport à la droite OC , et dans lequel on aura par conséquent : - •

OS=OT et CS=CT.

D’où il résulte que, le point N appartenant aussi aux deux circonférences, ces deux circonférences sont sécantes.

CÉOMÉTRIE. 631

ï» Lorsque deux circonférences OA, O'A (iig. 1 0t ) se louchent, la ligne des centres passe par le point de

contact. ,

En effet , si elle n’y passait pas , les deux circonférences

seraient sécantes d’après le théorème précédent.

5 ® Réciproquement, si deux circonférences OA, O'A ( fig. 104 ) ont un point commun sur la ligne des centres , elles sont tangentes.

En effet , si elles étaient sécantes , la ligne des centres ne. passerait pas par ce point commun.

G® Deux cercles O, O', étant situés dans le même plan : Si les circonférences sont extérieures l’une à l’autre, la distance des centres est plus grande que la somme des

En effet, nommant A, A' ( fig. 108 ) les points d intersection respectifs intérieurs de la ligne des centres , on a :