I . — On appelle parallèles des droites qui , situées dans

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un même plan, ne peuvent jamais se rencontrer, quelque loin qu’on les prolonge , comme AB , CD ( fig. 27 J.

Pour constater la possibilité de ces lignes, supposons dans un même plan deux droites distinctes AB , CD (tig. 28), perpendiculaires à une troisième EF aux points respectifs M et N. II est clair que ces deux perpendiculaires ne sauraient se rencontrer, quelque loin qu’on les prolonge : car si elles se rencontraient en un point O , il y aurait, de ce point, deux perpendiculaires AB, CD, abaissées sur une même droite EF ; ce qui est absurde. Les deux perpendiculaires sont donc des droites parallèles.

2. — On appelle bande la portion de plan comprise entre deux parallèles. Elle est toujours moindre qu’un angle quelconque.

5. — On appelle ligne transversale toute droite qui coupe ou qui traverse d’une manière quelconque un système ou assemblage d’autres droites, parallèles ou concourantes.

4 ■ — Lorsque deux droites quelconques AB, CD (fig. 2!)), sont coupées par une transversale EF, il en résulte, autour des deux points de rencontre M , N, huit angles qui , considérés isolément ou combinés deux à deux , prennent les dénominations suivantes. Considérés isolément,

1° Les quatre angles AMF, BMF, CNE, DNE , dont l’ouverture est en dedans des droites AB, CD, se nomment des angles internes ;

2° Les quatre angles AME, BME, CNF, DNF, dont l’ouverture est en dehors des droites AP, CD, se nomment des angles externes.

Comparés deux à deux ,

1° Les angles internes AMF et DNE, CNÇ et BMF se nomment aliernes-internes : alternes , parce qu’ils sont situés des deux côtés de la transversale; internes, parce qu’ils commencent au dedans des deux droites;

2” Les angles externes AME et DNF, BME et CNF, se nomment alternes-exlernes : alternes, parce qu'ils sont situés des deux côtés de la transversale; externes, parce qu’ils commencent au dehors des deux droites;

3° Enfin, les angles AME et CNE, AMF et CNF, BME et DNE, BMF et DNF, se nomment angles correspondants , parce qu’ils sont situés deux à deux d'un même côté de la transversale.

U. — Dès qu’une fois on admet pour définition des paral-

GÉOMÉTRIE- Ci. 6 )

ièlcs que ce sont des droites indéfiniment prolongée* , etc., on doit regarder à peu près comme évident que chercher une théorie des parallèles qui soit indépendante de toute théorie de Vinfini, c’est chercher une chose contraire à son essence, c’est-à-dire une absurdité. La seule condition qu'on puisse raisonnablement exiger dans celte théorie , c’est qu e l'infini n’y paraisse pas à priori et d'une manière absolue, mais simplement sous la forme plus mathématique de limite. Or, c’est une condition que remplit le principe de Bertrand de Genève, du moins en le présentant ou en le préparant comme il suit, d’après M. Vincent 1 :

Soit une série de circonférences croissantes, ayant toutes leurs centres sur une même droite AO (lig. 102 , ij 11,111, iv), et passant par un même point A de celte droite où elles ont une tangente commune MN. — Supposons que , ces circonférences étant partagées, à partir du point A, en arcs de même longueur, non-seulement pour une même circonférence, mais pour toutes, on mène, dans chacune, des rayons aux points de division., A, B, C, D .., b, c , d...., et que l’on prolonge ces droites au delà indéfiniment : il en résultera des angles qui augmenteront continuellement en nombre en môme temps qu’ils diminueront de grandeur, à mesure que les circonférences elles-mêmes s’agrandiront et que leurs centres s’éloigneront delà tangente commune. Or, à la limite, c’est-à-dire quand les circonférences se confondront avec cette tangente (n°iv), le nombre des angles sera devenu infiniment grand, eu meme temps que leur valeur sera devenue infiniment petite. Mais, d’uue autre part, les rayons, étant devenus perpendiculaires à cette tangente commune, seront alors tous parallèles entre eux; et les angles infiniment petits dont nous parlions 11e seront plus autre chose que des bandes. Donc, une bande comprise entre deux parallèles ( ou, du moins , une bande comprise entre deux droites perpendiculaires à une troisième, en supposant qu’il puisse y avoic encore d’autres sortes de parallèles), peut être considérée comme la limite de décroissement à laquelle parvient un angle variable, mais correspondant à un arc constant et équivalant à la largeur de cette bande , quand on fait croître jusqu’à l’in fini le rayon de cet arc.

Delà il résulte qu’une pareille bande, quelque large qu’elle soit, est toujours moindre qu’un angle quelconque , puisque du sommet de celui-ci , comme centre , on