OA — O'A' — A'A

et par conséquent 00'<0A— O'A'.

La réciproque de toutes ces propositions est évidente.

§ 16. Construction des triangles.

Problèmes sur la construction des triangles.

1" Etant donnés les deux angles d’un triangle, déterminer le troisième. — 2° Etant donnés les trois côiés d’un triangle, construire le triangle. — 3° Construire un triangle dont on connaît : soit deux côtés et l’angle qu’ils forment ; soit deux angles elle côte qui joint les sommets de ces angles. — 4° Etant donnés deux côtés d’un triangle et l’angle opposé à l’un d’eux , construire, le triangle. — 5° Construire un triangle isocèle ou symétrique dont on connaît : soit la base et la hauteur ; soit la hauteur et la longueur des côtés égaux ; soit la base et la longueur des côtés égaux.

— 0° Construire un triangle équilatéral dont on connaît le côté,

— 7° Construire un triangle rectangle dont on connaît : soit les ' deux côtés de l’angle droit ; soit l’hwioténuse et un côté de l’angle droit. — 8° Faire un triangle semblable à un triangle donné , sur une droite donnée comme homologue d’un côté déterminé.

— 9° Faire un triangle équivalent à un triangle donné.

1 U Etant donnés les deux angles d’un triangle, déterminer le troisième.

l re construction. Par deux points quelconques A, B, d’une droite AB (fig. 59), menons deux autres droites AC, BC, qui fassent deux angles CAB,CBA, respectivement égaux aux angles donnés. La somme de ces angles devant nécessairement être moindre que deux droits (p. 625), les droites AC, BC se rencontreront en un point C, en faisant un angle ACB égal au troisième angle du triangle.

2 e construction. Par un point B pris sur une droite quelconque ABD, menons deux droites BC,BE,'qui fassent

avec les segments de droite BA , BD, des angles ABC, DBE, respectivement égaux aux deux angles donnés. L’angle CBE, supplément de la somme des deux angles donnés, sera l’angle cherché.

2° Etant donnés les trois côtés d’un triangle, construire le triangle.

Prenons sur une droite indéfinie une longueur AB (fig. 409) égale à l’un des côtés donnés ; du point A comme centre, et d’un rayon AC égal au second côté donné, décrivons un arc de cercle; du point B comme centre et d'un rayon égal au troisième côté donné , décrivons un autre arc de cercle qui coupera le premier en C ; menons les droites AC , BC.

Le triangle ABC sera le triangle demandé. •

3° Construire un triangle dont on connaît : soit deux côtés. B, C, et l’angle A qu’ils forment (fig. .61) ; soit deux angles A, B , et le côté C qui joint Us sommets de ces angles ( fig. 62).

1 er cas. Faisons un angle D égal à l'angle A ; portons sur les côtés de l'angle D des longueurs B, C, de D en E et en F ; tirons la droite EF; le triangle DEF sera le triangle demandé.

2 e cas. Traçons une droite et portoils-y la longueur C de D en E; faisons sur DE au point I) un angle égal à A , et au point E , un autre angle égal à B. Les autres côtés de ces angles achèveront le triangle DEF, en" se coupant au point F.

Etant donnés deux côtés d’un triangle et l’angle opposé à l’un d’eux, construire le triangle.

■ Prenons une droite AB (fig. 56) égale à celui des deux côtés donnés qui doit être adjacent à l’angle donné A : parle point A, menons une droite indéfinie AK, faisant avec AB- un angle égal à l’angle donné ; du point B comme centre et d’un rayon égal h l'autre côté donné (celui qui doit être opposé à l’angle donné) , décrivons une circonférence qui coupera la droite AK, en deux point C, c; menons BC, Be.

Les deux triangles ABC, ABc satisferont également à la question; mais cette construction n’est possible qu'autani que le côté, BC est plus grand que la perpendiculaire BD, et si les points C et c sont situés sur AK même et non sur son prolongement.

5° Construire un triangle, isocèle on ■ symétrique dont on cannait : soit la base B et la hauteur \\ (fig. 63): soit

la hauteur H et la longueur L des côtés égaux (fig. Cl) ;

soit la base B et la longueur L des côtés égaux.

1 er cas. Tirons une droite et portons-y la base B de A en C ; élevons une perpendiculaire au milieu de AC; portons la • hauteur H sur cette perpendiculaire de D en E; puis joignons E aux points A et C , nous aurons le triangle isocèle AEC.

2 r cas. Elevons une perpendiculaire au milieu d’unedroite AB; portons la hauteur H de C en D; décrivons de D , avec la longueur L, un arc qui coupe AB en deux points E, F; joignons enfin D à E, F, et nous aurons le triangle symétrique EDF.

3° cas. Les trois côtés sont connus ; la construction revient donc à felle du n° 2.

6° Construire un triangle équilatéral dont on connaît le côté. . .

Un côté étant connu, les autres le sont aussi ; la construction revient encore à celle du n° 2.

7° Construire un triangle rectangle dont on connaît : soit les deux côtés A, B de l’angle droit (fig. 65); soit l’hypoténuse A et un côté B de l’angle droit (fig. 66).

1 er cas. Elevons une perpendiculaire sur une droite quelconque CD; portons l’un des côtés donnés, A par exemple, de E en F, et l’autre, B, de E en G ; joignons F à C par une droite, et nous aurons le triangle rectangle EFG.

2 e cas. Elevons une perpendiculaire au milieu d’une droite quelconque CD ; portons la longueur B sur l’une ou l’autre de ces lignes à partir de leur intersection E ; décrivons du point F ainsi obtenu un arc qui ait pour rayon la longueur A de l’hypoténuse, et qui coupe EC ou ED ; joignons à F le point G donné par cet arc, et nous aimons le triangle rectangle FEG.

Corollaire. Étant donnés l’hypoténuse d’un triangle rectangle et l’un de ses angles aigus, construire le triangle.

Prenons une droite AB (fig. 56) égale au côté donné; par le point A ou B, menons une droite AK qui fasse avec AB un angle égal à l’angle donné; du point B abaissons sur AK la perpendiculaire BD; le triangle ABD sera le triangle demandé.

8° Faire un triangle semblable à un triangle donné ABC, sur une droite A'B' donnée comme homologue d’un côté déterminé AB (fig. 70).

On y parvient en faisant au point A' un angle égal à l’angle A, et au point B' un angle e'gal à l’angle B.

Corollaire. On construit un polygone semblable à un polygone donné en le décomposant en triangles.

9° Deux triangles sont équivalents lorsqu’ils ont même base et même hauteur.

Ainsi deux triangles ABC, ADC (fig. 74), qui ont même base AC, et dont les sommets B, D, se trouvent sur une parallèle à cette base, sont équivalents; car ils ont les hauteurs égales, puisque ces hauteurs sont les perpendiculaires BE , DF, comprises entre les parallèles AC , BD.

Pour faire un triangle équivalent à un triangle donné ABC , il suffit de mener par son sommet B une droite BD parallèle au côté opposé AC, et de joindre un point quelconque D de cette parallèle aux extrémités de AC.

§17. Quadrilatères en général.

1 . Qu’esl-cc que le quadrilatère en général ? — 2. Combien y a-t-U d’espèces de quadrilatères simples? — 3. Combien le quadrilatère simple a-t-il de diagonales , et en combien de triangles les diagonales intérieures se dccomposent-elles ?

1 . — Le quadrilatère est en général un polygone de quatre côtés, c’est-à-dire un système de 4 droites indéfinies qui se coupent deux à deux, ABE, ADF,BCF, ECD(lig. 110), ou bien la portion de plan circonscrite par 4 droites limitées. Dans ce dernier cas, le quadrilatère est dit simple.

2. — Il y a trois espèces de quadrilatères simples : le quadrilatère convexe ABCD (lig. 110), qui a tous ses angles saillants; le quadrilatère concave AECF, qui a un angle rentrant, et le quadrilatère biconcave BECDF, formé de deux triangles opposés BEC , CDF.

5 . — Chaque quadrilatère simple a deux diagonales : ce sont AC, BD (fig. 110) pour le quadrilatère ABCD; le quadrilatère«AECF a une diagonale intérieure AC, et une extérieure EF; enfin, les deux diagonales BD, EF du quadrilatère BECDF sont extérieures.

Les diagonales intérieures d’un quadrilatère simple le décomposent toujours en deux triangles.

Théorème s et problèmes sur les quadrilatères.

1 0 La somme des angles d'un quadrilatère convexe est égale à 4 droits. — 2" Deux quadrilatères quelconques sont égaux, si la diagonale de l’un le partage en deux triangles égaux aux triangles formés par la diagonale de l’autre. — 3° Faire un quadrilatère qui soit égal à un quadrilatère donné.

1° La somme des angles d’un quadrilatère convexe ABCD (fig. 110) est égale à 4 droits.

Celle proposition résulte évidemment de ce que la somme des angles du quadrilatère n’est autre chose que la somme des angles des deux triangles dans lesquels chaque diagonale AC ou BD le décompose.

2° Deux quadrilatères quelconques ABCD , A'B’C'D’ (fig. 80), sont égaux, si la diagonale de l’un AC le partage en deux triangles égaux aux triangles formes par la diagonale A'C' de l’autre et semblablement disposés.

En effet, le triangle ABCr^A’B'C', elle triangle ACD=: A’C’ DC Or, ces triangles égaux composent respectivement les quadrilatères; donc, etc.

5“ Faire un quadrilatère qui soit égal à un quadrilatère donné ABCD (fig. 80).

l‘our cela il suffit de tirer la diagonale AC, et de construire sur une droite A'C' =: AC, deux triangles A'B'C', A’C'D'qui soient égaux aux triangles ABC, ACD.

g 18. Trapèze. — Parallélogramme. — Losange. — Rectangle. — Carré.

t. Combien y a-t-il d’especes de quadrilatères? — 2. Qu'est-ce qu’uft trapèze? Qu’appeilc-t-on grande base, petite base et hauteur. d’un trapèze? — 3. Qu’esl-ce qu’un trapèze symétrique? — 4. Combien faut-il de choses pour déterminer un trapèze symétrique? Tracer un trapèze symétrique dont on connaît la grande base, la hauteur et la longueur des côtés non parallèles. — 5. Qu’est-cc qu’un parallélogramme? Qu’appelle-t-on bases et hauteur d’un parallélogramme? —6. Combien faut-il de chose* pour déterminer un parallélogramme ? Tracer un parallélogramme. dont on connaît la base, la hauteur et la longueur des deux côtés qui rencontrent la base. — 7. Qu'est-ce qu’un lo-

f.ÊOHÉTRIE. 637

snnge? — S. Combien faut-il de choses pour déterminer un losange? Tracer un losange dont on connaît un côté et une diagonale. — 9. Qu’est-ce que le rectangle ? Qu’appclle-t-on base et hauteur du rectangle? — 10. Combien faut-il de choses pour déterminer un rectangle? Tracer un rectangle dont on connaît la base et la hauteur. — 1 1. Qu’est-ce qu’un carré? — 12. Combien faut-il de choses pour déterminer un carré?Tracer un carré dont un côté est connu. — 13. Quand y a-t-il égalité entre deux trapèzes? entre deux parallélogrammes? entre-deux losanges? entre deux rectangles? entre deux carrés?

1 . — On distingue cinq espèces de quadrilatères : le trapèze, le parallélogramme , le losange, le rectangle et le carré.

2- — Le trapèze est un quadrilatère dont deux côtés sont parallèles et inégaux : tel est ABCD (fig. 73), où DC est parallèle à AB.

Les deux côtés parallèles se nomment les bases du trapèze ; le plus grand des deux , CD, est dit fa grande base, . et le plus petit , AB , la petite base.

La perpendiculaire EF, commune aux deux bases, est la hauteur du trapèze.

3. — Le trapèze est dit symétrique lorsque les deux côtés non parallèles, AD, BC (fig. 80), sont égaux.

4. — 11 faut trois choses pour déterminer un trapèze symétrique.

Tracer un trapèze symétrique dont on connaît la grande base B, la hauteur H et la longueur L des côtés non parallèles (fig. 75).

Tirons une droite et portons-y la base B de C en D ; élevons une perpendiculaire au milieu de CD ou en tout autre point ; prenons EF r= H ; menons par F une parallèle 5 CD ; puis décrivons des points C, D., avec L pour rayon, deux arcs qui coupent celle parallèle chacun en deux points , et joignons aux extrémités de la base CD les intersections A , B, les plus voisines de F, nous aurons le trapèze symétrique ABCD.

&. — Le parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles : tel est ABCD (fig. 76).

Deux côtés opposés quelconques du parallélogramme ABCD se nomment les bases , et leur perpendiculaire commune, EF, est la hauteur.

Un parallélogramme étant déterminé par. 2 côté* adjacents et l’angle compris, il en résulte que :

Deux parallélogrammes sont égaux lorsqu’ils ont un angle égal compris entre des côtés égaux chacun à chacun. ,

G- — Il faut trois choses pour déterminer un parallélogramme.

Tracer un parallélogramme dont on connaît la base B , la hauteur H et la longueur L des deux côtés qui rencontrent. la base.

Tirons une droite et porlons-y la base B de D en C (fig. 76); élevons une perpendiculaire en un point quelconque E de CD; portons II de E en F ; menons par le point F une parallèle à CD ; puis décrivons des points C, D, avec L pour rayon, deux arcs qui coupent la parallèle en deux points chacun, et joignons à C, D, les intersections A, B, ou H, I. Nous aurons les deux parallélogrammes ABCD et CDHI, qui rempliront les conditions.

7. — Un losange est un quadrilatère dont tous les côtés sont égaux et obliques les uns contre les autres : tel est ABCD(fig. 77).