Pc
les pressions sur les appuis extrêmes seront : -Ir- P
et sur les intermédiaires
Î'OMS . Aqvfdttcs , etc. 25.
23fi . Quand une pièce verticale ( f,g. 27 ) , encn>liéc à rexliêniité inférieure , dont la section transversale est rectanpralaire , est soumise à Teffort résnltaiit d'un poi'ls Q, appliqué à une distanre donnée c de l'axe de cette pièce , si l'on veut (pie cet effort ne dépasse pas une certaine limite R', les relations seront exprimées par :
aidans laquelle R' représente un certain nombre qui produira nne extension donnée des fibres de la pièce , au-delà de laquelle il ne serait pas sûr d'aller en pratique. La valeur «le R' est donnée au chapitre de la force des matériaux.
237. QrA>D la section transversale de la pièce verticale est un cercle , les relations sont donnnées par :
dans laquelle r est le rayon du cercle.
23S. Si le poids asissait de bas en haut , au lieu d agir <le haut en bas, la pièce serait fléchie dans le sens opposé mais ou aurait la même relation que celle indiquée en
239. QuASO la pièce de bois , dans une position inclinée ( fil). 2S ) . e>t encastrée à son extrémité inférieure et soumise à un effort , résult4Tnt d'un poids Q , placé sur son extrémité supérieure . les relations sont exprimées trèsappvoximativeraent par :
^, O { h mi, d-+^c. Hv. d )
ai»
dans laquelle d est r.m-le qne la pièce fait avec la ligne verticale et c la longueur d.? la pièce ; R', dans ce cas , est déterminée comme dans le précédent.
2^0. L'a.riu.hgems:<t le plus ordinaire d'une pièce de bois inclinée, dans un système de charpente, est celui dans lev'iuel le bout inféritMU- repose sur un support horisontal , le Ions; duquel le glissement est prévenu par un joint ou par un éli ier de fer , et le bout supérieur contre un support verlic;;l , la cliarire de la pièce étant applitiuéc à cpielquc point intennédiaiie enlie les supports.
Ln exaiuiuanl une pièce de bois dans celte position , ( fig 29 ) on \erra , en premier lieu , que la pression entière du poids <y , placé en un poii'.l quelconque de la pièce, sera supportée par Pappui horisontal. En second lieu , qu'une pression liorisonlale sera exercée contre le suppiirt vertical au bout supérieur de la pièce , et aussi contre l'étrier ou le joint à l extréniiié intérieure, laquelle sera égale en ces deux points et sera représentée par :
^ l tnnq. d Q. r^
dans laquelle d est Tangle que fait la pièce avec la verticale , et l la distanc* du point d'application du poids à l'extrémité inférieure de la pièce.
La pièce peut donc être considérée comme encastrée au point où le poids agit , et sollicitée à son extréinilé inférieure par les deux pressions
. „, / tanq, d Q et Q'
lune verticale et l'autre horisontale ;
Et au bout supérieur , par la pression horizontale
l'expression (M) peut donc être appliquée à ce cas , pour la portion de la pièce entre le point d'application du poids et l'extrémité inférieure ,. en remplaçant sin. d, d.ins cette expression , par :
sin. d(\- 1^
( 292 ) cas. a par : cos. a ( 1
el Q par : Q' /' 1
/ tanij.- d
l^ tan;j.'> d
Pour le bout supérieur , .swj, d , cos. d et Q , dans la ème expression , seraient remplacés respeclivement par :
l sin. d l sin. d tanq. d ^. l tan'i d . 2 et Q'
La valeur assignée à R' sera réglée comme dans les cas précédens.
241. Les expressions qui précèdent comprennent tous les cas usuels dans lesquels une pièce droite est employée dans les ouvrages de charpente , et il n'y a qu'à substituer pour R et R' leurs valeurs, comme on les a indiquées dans le chapitre de la force des matériaux , pour trouver le poids qu'une pièce de dimensions données peut supporter dans chacune de ces circonstances.
242. Quand des pièces courbes sont employées pour soutenir une pression , la charpente peut consister simplement en une pièce droite pliée suivant la courbure voulue et mai'itenue dans cet état , en étant retenue entre deux supports à ses deux extrémités ; ou bien encore le système peut être formé d'une série de pièces courbes.
Dans le premier cas , où une pièce pliée est placée entre deux supports ( fi y. 30 ) , l'expression du plus grand poids Q qui , place sur le sommet de la courbe , peut être supporté par la pièce , est approximativement :
dans laquelle E est le coefficient d'élasticité , ainsi qu'il a été déterminé dans les tables relatives à la force des matériaux , l la longueur entière de la pièce , et c la distance entre les points d'appui.
La pression horisontale sur ces points d'appui , résistant du poids Q , est :
bi E a^^ (, i — a )
243. Les constructions courbes de charpente ou les arches en bois sont ordinniiciiient formée- de plusieurs épnisseurs de pièces posées les unes sur les autres. Les pièces , ou le cours de pièces , fjui forment une ép;iisseur aboutissent bout à bout et leurs joints sont croisés a\ec ceux des pièces au-dessus et au-dessous. Quelquefois , au lieu d'une forte poutre, formée de cette manière , l'arc se compose de deux parties courbes , parallèles l'une à l'autre et laissant entre elles un intervalle. Chacune de ces parties courbes se compose de plusieurs épaisseurs de bois, disposées ainsi qu il vient d'être expliqué ; et les deux parties sont fortement liées l'une à l'autre au nutven de pièces placées de bout et en diagonale , qui empêchent toute flexion dans l'une sans une flexion corresi:ondanle dans l'autre. ( En un mot qui rendent parfaitement solidaires les deux parties courbes ).
244. Lî(E poutre qui est formée de plusieurs épaisseurs réunies de pièces de bois, est nommée poutre ciimposée. La résistance tant à la rupture qu'à la flexion , dans nue poutre de cette espèce , dépendra de la manière suivant laquelle les diCférens cours en sont arrangés.
Si le système ( fig. 31 ) est composé de plusieurs coarg de longueur et d'épaisseur égales , et consistant chacua en une poutre simple ; les pièces de chaque cours étant simplement posées les unes sur les autres , et serrées par des liens et des chevilles, les expressions pour la résistance à la flexion et i\ la rupture , dans tous les cas qui se rapportent à une poutre droite soumise à un effort transversal , seront données en écrivant simplement nuh* , aa lieu de «i' , dans les expressions ( n.° 62 ) du chapitr» de la force des matériaux, et nub^ pour o6*, dans toutes les autres expressions du même chapitre , et dans
les précédentes A. li. etc n représentant le nombre.
de cours»
24d. Si les cours d'une poutre composée ( fig. 32) sont d'égale épaisseur , mais formés de différentes pièces à joints croisés , alors , au lieu de nab^ nah' il faut écrire dans les expressions rappelées (n — i) al^ et (h — 1) a6* ; n ayant la même signification que dessus.
246. On peut obtenir une poutre composée, d'une forme plus solide ( fg. 33 ) , en pratiquant des entailles rectangulaires sur les faces supérieures et inférieures des solives de chaque cours , de manière qu'elles soient opposées les unes aux autres, et puissent recevoir une clef ou coin de bois dur , pour empêcher le glissement des divers cours les uns contre les autres , qunnd ils sont sollicités à la flexion : ou encore , au lieu de cette dis-position , les solives de chaque cours peuvent être façonnés à red;.ns s'adaptant les uns aux autres ( f,g. 34 ), qui s'opposent de la même manière à toute tend;;nce au glissement. Une poutre de cette construction , qunnd elle est assemblée avec des liens et des écrous en fer , sera presque aussi forte que si elle était d'une seule pièce ; et les expressions pour une solive d'une seule pièce pourront être appliquées pour estimer sa résistance à un elfort transversal tendant à produire la flexion ou la rupture.
247. Quand un sjstème de charpente est formé de deux poutres qui sont rendues solidaires ( fij. 35 ) par des pièces verticales et diagonales , les expressions ci-dessus rappelées , pourront encore être appliquées en y niellant ( 6" — h"^ ) au lieu de i^, dans la formule de la flexion ; et
j-, ■ dans celle relative à la rupture ; la lettre l' ,
dans ce cas, représente la hauteur totale du système de charpente , et l" la di-tance entre le dessus de la poutre d'en bas et le dessous de celle d'en haut.
248. Daks la constiuction des aiches en bois , il est très-important que la courLuie soit telle qu'elle présente un équilibre stable , bien que cet équilibre ne soit pas suffisant , ainsi que nous l'avons vu : et quand il existe entre la ligure de l'arclie et les pressions qu'elle supporte une relation telle qu'il n'v ait aucune tendance à un chan-
jrcmci.î de forme , ou que rarclie soit simplement d;.ns un état d'extension ou de compression ; la fipuie ou la courbe de cette arclie est nommée courbe d'équilibre.
Comme la courbe d'équilibre dépend des effets de la pression supp rtée par l'arche , elle présentera une Gguie «lifléreiite dans chaque cas. L'une dos courbes qui répond aux cas les plus usuels <le la pratique est la parabole ordinaire qui e-t la courbe d'équilibre pour une pression agissant verticalement , les pressions partielles sur une l)orlion quelconque de la courbe comprise entre des verticales équidistantes , étant égale.
Si , dans l'arche parabolique, en adopte les expressions suivantes :
2 s = l'ouvertu-ie r = la flèche.
;p l'abscisse de la courbe , comptée du sommet, y = l'ordonnée coriespondante à une abscisse quelconque.
p le poids sur une portirn quelconque de la cour])e ,
correspondant à uue unité de longueur , comptée
sur l'horisontale.
P la pression totale verticale sur chaque point de
support de l'arche.
Q la pression ou poussée horisontale à chacun des
mêmes points.
T la pression ou tension en un point quelconqu'; de
l'arche , suivant la direction de la courbe en ce
poiut.
Alors les expressions suivantes établiront les relations entre les points de la parabole et les différenjes pressions ci-dessus désignées.
p = 7,5 et Q = -|^ p Ci)
T= If. f .l-^AIlL. (3) Zr A- 4
L'expression (d) donne la forme de la courbe ; les expressions (2) la pression horisotitale el \ertic;!le à chaque point extrême ; et (3) la pression , dans les directions de la courbe , en un point quelconque de l'arcbe correspondant à l'abscisse j:.
Pour appliquer ces expressions à la pratique , les points de support de l'arciie doivent être suffisamment solides pour résister aux pressions données par les expressions (2) ; et comme la pression sur une quelconque des seclions transversales peut être con^idéiée comme unilormément distiibuée sur l'aire de celte section , si Taire en est représentée par A , la pression sur lunité de surface , le sera par :
et pour que celte pression n'excède pas une certaine limite représentée par 11' , qui à été donnée au cba[!il;e de la force des matériaux , la relation suivante de\ra exister :
Si , comme c'est ordinairement le cas , la section de l'arche est un rectangle dont à soit l'épaisseur et d la hauteur , l'expression (4) devient , en substituant pour ï et A , leurs valeurs ,
2 bdr '
cette expression donne les relations entre la pression et la section transversale de d'arche , en un point correspondant à l'abscisse x.
449. Le cas précédent est le plus simple de ceux usités pour les arches en charpente. Quand , en outre d'une pression uniforme , dont l'action vient d'être expliquée , la couibe paiabolique est soumise 4 une pression produit»
par un poids attaché en un tic ses points , les expressions précédentes doivent être modifiées et sont représentées comme il suit :
Adoptant les notations précédentes et supposant (fi g. 20) le poids p su^■pendu en un point ]N de 1h courbe , à une dislance du sommet C , représentée par c , sur la ligne horisontale de l'ouverture , alors
y = -4- ( 2 cx—x" ) (6)
donnera les relations entre les ordonnées et les abscisses de la portion courbe ISM, en estimant les abscisses sur ia ligne horisontale passant par le point N ,
représentera la pression verticale sur le point de support M,
sur le point M' ;
1 ^s*—ru^c^+c*
la pression horisontale , sur chacun des mêmes points , due au poids P ; et
ps-
sV -*- 64
'Zr (s-i-r) (c — t)
sera la valeur de la pression dans la direction de la courbe , en un point entre N et M , correspondante à une abscisse j; , comptée à partir du point N, suivant la ligne horisontale passant par ce point.
L'effet de la pression , dans la direction de la courbe , représentée par T et qui est due aux poids p et P , est dfi produire une certaine compression des fibres , qui , pour l'unité de surface de la section trans\ers.ile de l'arche, sera obtenue en di\isRnt T par l'aire A de la section niullipliée par le coefficient d'élasticité , ou exprimée algébriquement par
