V. c tan(j. p J

et pour que ce système ne soit pas renversé , il faut que le point A' soit fixe.

258. L' APPAREIL représenté par la ficine 49 est fermé d'une pièce horisontale , portant un poids P en son point milieu , et reposant par ses extrémités sur deux points fixes. Elle est en outre consolidée par deux contre-fiches assemblées avec elle , et appuyées par leur extrémité inférieure contre des points fixes en A et A'.

Le poids P produit une pression sur les quatre points de support , il tend à faire plier la pièce horisontale en même temps qu'il comprime les contre-fiches. Si Ton ne veut avoir , dans ce cas , qu'une limite au-dessus de laquelle le poids qui produirait la rupture , se trouve nécessairement , et non le poids lui-même , on distinguera dans l'appareil proposé deux systèmes , dont chacun supporterait seul le poids P. D'abord la poutre horisontale seule , sans contre-fiches ; puis les deux contre-fiches et la portion mtcrmcdiaire DD' de la pièce horisontale. Comme chacun de ce^ systèmes , considéré seul , est moins résistant que l'appareil entier , il est évident que si liiii quelconque a des dimensions assez fortes pour porter le poids P , il en sera de même , à plus forte raison , de l'appareil entier. Nous a.ons déjà vu , au cliapilre de la force des

matériaux , comment on estime les dimensions de la pièce BB'. Quant au système ADD'A' , les expressions (B') cidessus donneront le moyen d'en calculer les dimensions.

259. QuATîD l'appareil se compose de deux pièces droites encastrées à leur pied ( f<j. 41 ) , d'une pièce liorisoulale reposant sur les deux autres , et que le tout est consolidé par des contre-fiches , assemblées avec les pièces verticales et horisontales , on peut assimiler ce système a celui que nous venons de considérer.

Pour que la pièce horisonlale ait une force suffisante , il faut qu'elle puisse supporter , sans le soutien des contrefiches , le poids P suspemiu en son point milieu , cl chacune des pièces droites doit en outre pouvoir résister à la

pression verticale -^ P. Quant au système AEDD'E'A ,

les contre-fiches doivent d'abord être assez fortes pour supporter la pression

2 COS. p

agissant dans le sens de leur longueur , laquelle équivaut

à deux forces -^ P. et -h- P. tang. p verticale et

horisonlale, appliquées l'une et l'autre au point E delà pièce verticale.

La force verticale est l^ransmise au point A en comprimant la partie EA. La force horisonlale se décompose en deux autres : l'une appliquée au point A , et détruite par la résistance de ce point. L'autre appliquée au point B , est représentée par

P c tan(]. p ^j^j,^

dans laquelle c et t' sont respectivement les distances AB et EB.

La force (M') produit d'abord une extension sur la portion BD de la pièce horisonlale ; et , en second lieu , elle tend à faire plier la pièce verticale au point E. Cette pièce

peut donc être considérée comme fixée en ce poiirt et soumise à une force veriicale au point A et à une force liorisontnle nu point B , qui est donnée par l'expression (M')- Ces deux forces produiront un etïet sur la pièce \erticale, dont la limite , d.'.ns le cas d'une poutre à bCction rectangulaire , est donnée par

^- 2ab"^ \^ -+■ C+c' J ^^^

cette expression servira à coordonner les dimensions de la poutre et la grandeur du poids P.

260. Nous avons donné au n." 254 l'expression du plus petit poids capable de rompre une pièce cliargée dans le sens de sa longueur. Roudelct donne une rè^ie pratique déduite des observations faites sur le cbène et le sapin. Voici en quoi elle consiste : il prend pour unité la force nécessaire pour écraser un cul)e dent les faces sont l'unité superficielle , et il dit que lorsque la lon;:ueur de la pièce sera égale à douze fois l'épaisseur , le poids qui protiuir.i la rupture sera égal aux 5/6 de celui nécessaire peur écraser le cube. 11 forme ainsi la table suivante :

Rapport de la longueur Rapport dos poids

à l'épaisseur. produisant la rupture.

48 Vfc'-

D'après le même auteur , une pièce de bois chargée verticalement est susceptible de plier lorsque la hauteur surpasse dix fois 1 épaisseur. D'autres expériences portent cette limite à vingt fois l'épaisseur. Ainsi, dans la plupart des cas qui se présentent dans la pratique, la résistance doit être déterminée par la considération seule du poids qui pourrait écraser la pièce. Le? poids sont donnés pour

les différentes matières par la table du n.° 60, en fematquant :

4.0 Que ponr les bois ces nombres doivent être réduits aux 5/6 lorsque la longueur de la pièce est égale à douze fois l'épaisseur , et à moitié quand cette longueur est égale à 24 fois l'épaisseur ;

2.° Que pour le fer forgé ces poids doivent être réduits aux 5/8 et à moitié dans les mêmes circonstances cidessus ;

B.° Que pour le fer fondu ces poids doivent être réduits à — — à peu prés , quand la longueur est égale à quatre

fois l'épaisseur , à moitié environ quand la longueur est égale à huit fois l'épaisseur , et au quinzième d/lo lorsque la longueur est égale à trente-six fois l'épaisseur.

204 . Four les pièces plus longues , on pourra se servir de la formule indiquée au n.° 254 , avec la certitude que coite évaluation ne dépassera pas les résultats donnés par les expériences.

Lorsque dans les applications on aura évalué , conformément à ce qui vient d'être dit , la résistance dont une pièce chargée verticalement est susceptible , on pourra , pour en conclure le plus grand poids dont cette pièce puisse être chargée avec sécurité dans les constructions , réduire les résultats au d/JO environ pour le bois , au 4/4 ou au 4/5 pour le fer forgé ou fondu.

262. De la fiijtire la plus convenahle à donner attx pièces dans les constructions , pour qu'elles résistent plus efficacement aux efforts qui tendent à les rompre.

Jusqu'à présent nous avons supposé que les pièces eniplovées dans les constructions étaient prismatiques. C'est la forme que l'on conserve en effet aux poutres de charpente , bien qu'elle ne soit pas la plus favorable à la résistance, allais comme pour obtenir celte forme la plus favorable , il y aurait souvent de grands déciiefs , on préfère laisser à certaines parties plus de force qu'il n'est nécessaire que de s'astreindre à une main-d'œuvre fpii serr.it

souvent dispendieuse. Dans les pièces en fer ou en fonfe , on peut sans inconvénient adopter les figures appropriées à la nature des efforts que les pièces supportent. On obtient de cette manière une résistance égale avec un moindre volume de matière et par conséquent a\ec une moindre dépense.

On parvient à déterminer la figure la plus avantageuse à la résistance à la rupture d'après la considération même de cette résistance. Il con>ient, en effet , de régler la force des pièces de manière que les extensions et compressions qui pourront être produites par les efforts auxquels elles sont soumises , ne puissent dépasser une limite donnée , et au-delà de laquelle les fibres seraient altérées.

Dans la figure à donner à une pièce , on doit considérer la section transversale et la section longitudinale.

2<»3. 1." De la Section tkansversale.

Considérons d'abord une pièce posée horisontalement et soumise à l'action de poids qui tendent à la faire fléchir perpendiculairement à sa longueur. Admettons que la section de cette pièce , en un point quelconque , doive être un rectangle dont a rcpiésente la hauteur et h l'épaisseur ; la résistance à la rupture sera représentée par l'expression :

qui croît à mesure que h augmente , l'aire de la section ou le produit ah restant toujours le même In premier moyen de rendre une pièce prismatique de plus en plus résistante sans en anïinenler le cube est de rendre la dimension verticale de plus en plus grande ; la dimension horisonlale décroissant de manière à ce que ah reste constant. Toutefois cetle augmentation de b et la diminution correspondante de a ont un terme , parce que la pièce n'aurait plus de stabilité et présenterait trop peu de résistance dans le sens latéral. Ou évite cet inconvénient et on parvient à donner plus de stabililé dans le sens horisontaJ en adoptant psiir section tranivcrsaîe ta forme

( 3'iO )

d'un tuyau rectangulaire ( fig. 42 ) , ou celle de deux T opposés l'un à l'autre ( fij. 43 ). En effet , la résistance à la rupture d'un semblable système est représentée par l'expression :

dans laquelle a' désigne la largeur extérieure AB.

a" la largeur intérieure DE ou la somme des largeurs

DE , de.

h' la hauteur extérieure AC.

l" la hauteur intérieure DF.

Si nous supposons (pie cette résistance soit égale à celle de la pièce pleine , que nous venons de considérer , et que l'aire du tuyau soit égale à celle de cette même pièce nous avons les deux égalités :

a'h'^—a"h"^ ^ al"

et a'h'—a"h"—ah.

d'où nous déduisons :

( a'b'—al'lj'i ) y

pour les dimensions de la pièce pleine qui aurait même résistance et même aire transversale , mais une stabilité moindre dans le sens liorisontal.

264. On a besoin quelquefois d'avoir des pièces qui offrent une résistance égale dans tons les sens , par exemple , pour les axes de rotation des machines, tn cylindre plein et un tuyau circulaire offrent é\iden!ment cette propriété 5 il en est de même d'un prisme ou d'un tuyau à base quarrée , puisque nous avons vu qu'ils offraient la

même résistance à la flexion dans le sens des diagonales que dans le sens des côlés.

Toutefois la résistance à la rupture n'est pas la même suivant que les pièces fléchissent dans le sens des côtés ou de celui des diagonales des carrés dans lesquels elles sont inscrites.

On obtient les expressions des résistances à la flexion et à la rupture en considérant séparément les figures rectangulaires dont elles se composent.

Lorsqu'une pièce est cliargce de bout ^t que l'effort s'exerce dans le sens de l'axe , on doit ajouter au cylindre ou un quarré ou bien une des figures symétriques 43 , 44 , 45 ; mais si l'effort, au lieu d'agir dans le sens de l'axe, se reporte sur l'une des faces, on rend cette face plus résistante au moyen d'une ou de deux nervures , ainsi que le font voir les figures 46 et 47.