IH RAISONNEMENT ET DE LA DÉMONSTRATION. V
:oncis, tantôt plus lent et plus complet. De là, des arguments |ui nous apparaissent comme des abréviations ou des dévelop- >ements du syllogisme : tels sont Yenthymème, Yépichérème, e i>rosyllogisme, le soritc, le dilemme, {'exemple, l'argument à fyrtiori et l'argument ad hominem.
C'est une série plus ou moins longue de raisonnements, syl-
Dgismes, enthymèmes, sorites, dilemmes, etc., qui constitue
i démonstration.
La démonstration est une opération qui consiste à tirer cer-
aines vérités d'autres vérités qui les renferment plus ou moins
xplicitement, et à faire descendre sur les unes l'évidence des
utres (monstrare, de). Aristote la définit le syllogisme scientifi-
ue ou plutôt le syllogisme qui produit la science et le savoir,
b auXXoyia^ç ïr.i/;zripovi.v.6<; ». La démonstration est donc le
ernier mot de la méthode déductive et la véritable condition
ciences auxquelles s'applique cette méthode, sciences ma-
îématiques, droit, théologie, etc.
Les éléments de la démonstration, ce sont les définitions qui îi servent de point de départ, les axiomes sur lesquels elle s'apuie et les raisonnements plus ou moins longs qui la constituent. Les définitions, qui font connaître la nature et l'essence des tioses dont il s'agit, contiennent plus ou moins explicitement uites les propositions particulières qu'on en déduit. C'est de urs définitions que les géomètres tirent tous leurs théorèmes. Les axiomes sont des vérités évidentes par elles-mêmes, uniîrselles et nécessaires, qui servent de point de départ à toutes s sciences. Telles sont les vérités suivantes : la même chose e peut pas en même temps être et n'être pas; deux quantités raies à une troisième sont égales entre elles; il faut faire le en et éviter le mal, etc.
Il ne faut confondre les axiomes ni avec les faits preiers, qui ne se démontrent pas non plus, mais qui se constent, ni avec les maximes, qui sont aussi des vérités générales, ais qui peuvent n'être pas évidentes et comportent toujours lelque exception, comme cette parole de La Rochefoucauld : L'esprit est toujours la dupe du cœur ». Partant des définitions et s'appuyant sur les axiomes, la déonstration se développe en une série plus ou moins longue de isonnements et de déductions : ainsi, pour démontrer que le
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volume de la pyramide est ('gai à la base multipliée par le tieil de la hauteur, les géomètres donnent une série de raisons m< thodiquement exposées, qui constituent la démonstration d i théorème indiqué.
Comme les raisonnements dont se compose la démonstratic 1 1 peuvent être disposés de diverses manières, on distingue dive H ses espèces de démonstrations, dont les principales sont la d< monstration synthétique ou descendante et la démonstratic || analytique ou ascendante, la démonstration àpriori et la dé mopll tration à posteriori, la démonstration directe et la démonstratic» indirecte.
La démonstration synthétique ou descendante consiste à parti d'un principe général et à en déduire successivement toutes lé j conséquences : v. g. en arithmétique, étant donnée la défini tion de Ja proportion géométrique, l'on en conclut d'abord qi le produit des extrêmes est égal au produit des moyens; ensuite pour la pratique du calcul, que si l'on a déjà trois termes d'ur proportion, l'on peut trouver le quatrième au moyen d'uni multiplication et d'une division.
La démonstration analytique ou ascendante consiste à parti des données d'une question à traiter, d'un problème àrésoudr et à remonter, à travers une série de décompositions succès? I ves, jusqu'à un axiome ou une vérité déjà démontrée qui en doni la solution. — Ainsi, je veux démontrer la spiritualité del'àm( je décompose l'idée de spiritualité et l'idée d'âme : la spiritui lité m'apparaît comme l'attribut d'une substance simple etncl composée de parties; l'âme est le principe qui dans chacun (il nous pense, sent et veut; or, la pensée, la sensation, la vol I tion sont des phénomènes essentiellement simples etabsolumei I incompatibles avec la matière étendue et divisible; mais lfl modes sont toujours de même nature que la substance; don l'âme est simple et spirituelle.
La démonstration à priori consiste à prouver l'effet par cause, les propriétés par l'essence, comme lorsqu'on établ l'existence de la Providence par les attributs de Dieu, la sages et la justice.
La démonstration à posteriori remonte des effets à la caus des propriétés à l'essence; c'est ainsi qu'on établit l'existen de Dieu par l'ordre et l'harmonie de l'univers.
DU RAISONNEMENT ET DE LA DÉMONSTRATION. 43i
La démonstration est directe, quand on prouve une vérité par
s arguments tirés de la nature même de la chose dont il 'agit : v. g. quand on montre que le dogme de l'immortalité le l'àme déroule nécessairement des notions morales gravées !iu fond de l'àme humaine.
La démonstration indirecte, ou démonstration par l'impossible,
|)U réduction à l'absurde, consiste à supposer vraie pour un ins-
ant la proposition contradictoire de celle qu'on veut établir et
i faire voir que cette supposition aboutit à une impossibilité, à
ine absurdité manifeste : telle est la démonstration de l'exis-
e de la liberté morale par les conséquences du fatalisme.
\le genre de démonstration ne doit être employé que quand on
'ie peut pas faire autrement; car s'il convainc, il n'éclaire point,
,1 ne fait pas connaître le pourquoi et le comment des choses,
e qui doit être le but et le résultat de toute démonstration
raiment scientifique.
Les règles de la démonstration ont été données par Pascal lans son second fragment De V esprit géométrique, De Vart de persuader. Il en énonce huit, dont cinq seulement sont nécessaires à ses yeux. — Port-Royal reproduit six de ces règles et y en jijoute deux autres tirées de la méthode générale de Descartes.
Il y a donc huit règles de la démonstration, dont deux pour es définitions, deux pour les axiomes, deux pour les raisonnements, deux pour la méthode à suivre dans la démonstration.
Régies pour les définitions.
1° Ne laisser aucun des termes un peu obscurs ou équivoques ans les définir.
V N'employer dans les définitions que des termes parfaiteaent connus ou déjà expliqués.
Règles pour les axiomes.
I Ne demander pour axiomes que des choses parfaitement jvidentes.
2° Recevoir pour évident que ce qui n'a besoin que d'un peu attention pour être reconnu véritable.
Règles pour les démonstrations.
1° Prouver toutes les propositions un peu obscures, en n'em-
ployant à'ieur preuve que les définitions qui auront été accoi (1res ou les propositions qui auront été déjà démontrées.
2° N'abuser jamais de l'équivoque des termes, en manquai de substituer mentalement les définitions qui les restreigne] et qui les expliquent.
Règles pour la méthode.
1° Traiter les choses, autant qu'il se peut, dans leur ordi naturel, en commençant par les plus générales et les plus siD pies, et expliquant tout ce qui appartient à la nature du genr< avant que de passer aux espèces particulières.
2° Diviser, autant qu'il se peut, chaque genre en toutes S( espèces, chaque tout en toutes ses parties et chaque difficull en tous ses cas.
Sujets donnés aux examens du baccalauréat. — 541
De la méthode déductive. (Clermont, avril 1892.)
550. Théorie de la démonstration, ses diverses espèces, ses règles (1
(Sorbonne, 12 août 1870; 8 novembre 1873.)
551. Qu'appelle-t-on axiomes? Quelle est la différence entre 1< axiomes et les vérités démontrées? Montrer l'importance de la règl suivant laquelle on ne demande en axiomes que des choses parfait ment évidentes. (Sorbonne, 15 novembre 1871.)
552. Est-il vrai de dire avec Pascal que la méthode la plus parfail consisterait à définir tous les termes et à prouver toutes les propos tions? (Sorbonne, 5 août 1872.)
553. Quel est le rôle de la déduction dans les sciences expérimei taies? (Clermont, 1891.) |
554. Qu'appelle-t-on sciences mathématiques? En quoi consiste 1 méthode de ces sciences et à quoi doit-on attribuer l'exactitude qt! les caractérise? (Sorbonne, 1867, 1881.)
555. Les vérités mathématiques sont-elles des vérités d'expérience
(Sorbonne, 1874.)
(1) Voir ce sujet traité dans nos 1G0 Développements, p. i'iO.
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