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- -■■ ToT. I 1547 2" diviseur.
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nwr anririlediTlBeRr, jfr dtebU Ix'raètefetioirrâ»; ffMJnti lï; je '«■«ne :«ii«ainU(aiAd«|t«) JénttoiqalIiMipelBitlM»'
goe 7. qne j'écris à la racme y à droite du 6 : je mets aussi ce 7 a oMe du diTiaenr \%, ev j'ai 127 ..que je moUiplie par 7 ; ôtant le produit de 996, il reste 107; j écris la trancne 43, et j'ai pour tioîgièjne membre 10743, dont ie sépare la figure à droite ; je inme le second diviseur en dounlant la racine 67 , et l'ai 134^ par lequel Je divise le nombre 1074 ; il vient 7 pour quotient; fécria 7 à. la. racine^et à la droite du divisenr 134 , ee quidonne U47. MnltnUant U7 par 7, je retcaache le produit de 10748; ii reste 1314; de sorte que la racine carrée de 459643 est 677^ avea 1814 de reste , parce que le nombre donné n'est pas un carré parfiut.
* 309. Si, après avoir fait la division . il restait un nombre qui é^lât au moins deux fois plus 1 celui qui est à la racine, ce serait une preuve que le. deriuer. diifDre qu'on y a mis est trop faible.
* 3i0. La PBKUYE de cette opération se fait en mnltipliant la racine trouwée par elle-même et ajoutant le iBSte au produit Le total doit égaler le nombne dont on aexUflitlaracine.
Ainsi, pour Texemple précédent, en' mnltipUant 677 par lui-même et ajoutant le reste 4314 au résultat, on reproduit le nombre 499 613.
* 314 . Si du reste on voulait obtenir des décimales , il fkudrait écrire à la droite de ce reste autant de fois deux zéros qu'on voudrait avoir de chiffres décimaux à la racine.
£n effet, le nombre dont on extrait la racine peut être considéré comme le produit d'un nombre décimal d'autant de cliiJOnres décimaux qu'on en veut avoir à la racine ; or, lorsque les deux facteurs d'un produit, contiennent chacun deux chiffres décimaux , il y en a 4 au produit (n* 68).; donc, etc.
Questions sur la Racine earrée.
Qt^appelle-t-on carré if un wrnihre? JW. — De quoi est composé le, cQXTédwii nombre renfermant des dizaines et âês unités? 804. — Qifappeliû- t'On racme carrée d'un. nombre? 305. — Que.ffiaU" il faire pour extraire la racine carrée dun nombre ? 306. — Que faut-il faire pour trouver le second diviseur ? 307. — Combien doitil y avoir de chiffres à la racine carrée dun nombre? 308. — Quand le reste est-tl trop fort? 8W. — Comment fait-on la preuve de cette règle? 810. — Si du reste dune opération sur la racine carrée on voulait obtenir des décimales, que faudrait-il faire ? 81 1 .
pioiLtan Hp,M luppv c
FKOBLÈUES SUH LA RACINE CARRÉE.
p!17Iù. Soit proposé de trouver la racine carrée de 1368, ï moins d'un centième près, c'esl-à- dire avec deux décimales,
P. 1715. On veut eolourcr de murs un terrain carré qui conlient 3600 mèlres du Buperficie : on demande quelle sera la longueur des murs.
P. 1716. Un jardinier a 3969 choux qu'il veut planter en carré, de manière qu'ils forment des lignes droites el paral- Kleg ep **' S&|?L?P,1^ ^ ^ • ™ demande combien il y aura de ami^^^iMBf^BUBisi-nt '"'^"'"batre faces.
BfiBl planté d'arbustes à
1 Mbe de dUue»! fliwfein 7 an ft44LMr etaqab mm; iR- «kq»«Hl|l-.UfnillA»(*llMl.MMM : . ' ■■■■..:iirii
p. 1719. banUei tnMI plMW d'arlms mf (AMe «W d^ tamfD Gurt qui doit en eontaiir Ifim MltUttV^ ^
P. 1319. QDTUt rendi* curé in'lemlD qiil« 635 witttt daiongaBiui.aDr AQfrdeluvnf : oa drawiide do dsidUrm doit mmlDiier la toDgasnr et «■gs>wterkl|isnir.pff|r'm>l|l terrain ait la même npetflcte.
P. 179(L (ta demande laracine carrée de 87 667rtiDOlud-'ivl millième prta.
P. 1721. Un terrain de forme circulaire, ayant 119025 mètres de superficie , doit être réduit en carré : quelles en seront les dimengioDs}
P. 1722, Un jardin qui a 90 mètres de long et AO de lai^e, doit èlre échangé avec une autre déforme csrrée : quelle* sont les dimensions de ce dernier T
P. 1723. combien faut-il payer pour faire recrépir les quatre murs d'an jardin deSlOOmëtresde superficie, à If)*. 76 c, le mètre, les mursa^ntS mètres 30 centimètres de haatenri
P. 172i!i. On veut former un parterre de 961 mètres carrés : quelle aéra la longueur de ses côtés 7
P, ITJt.'i. On a deux nombres, le plus grand est &0, et le total de leurs carrés est 1625: quel est le plus petiti
RAGIVE CUBIQUE. S98
BÂGINE CUBIQUE.
* 312. On appelle gubs d'un nombre le produit du carré de ce nombre multiplié par le nombre lui-même :
Ainsi les cubes des nombres suivants :
i, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, sont i, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, qui leur correspondent.
* 313. Le cube d'un nombre renfermant des dizaines et des unités est composé : l*" du cube des dizaines; 2® du
5 rodait de trois fois le carré des dizaines par les unités; * de trois fois les dizaines par le carré des unités; 4^ du cube des unités.
En effet, soit à cuber le nombre 24, par exemple, et supposons-le décomposé en 20 -|- 4, nous aurons a abord par la première multiplication.
par la 2« ^
en réduisant (20 X 20 X 20)+ 3 (20 x 20 X 4)
où Ton Yoit séparément : 1° le cube des dizaines; 2® trois fois le carré des dizaines multiplié par les unités; 3<> trois fois les dizaines multipliées parle carré des unités ; 4o le cube des unités. Donc, le cube d'un nombre est composé, etc.
* 314. On appelle eacine cubiotie d'un nombre le nombre qui, étant multiplié deux fois par lui-même, reproduit celui dont il est la racine.
âA& BJUSBB CUBIQIXB.
Ainsi ^ les radnes des nombres
4, 8, 27, 64, 425, 216, 343, 512, 729, sont i,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,
qui leur correspondent, car tous ces nombres, étant multipliés deux fois par eux-mêmes, les reproduisent.
* 315. Pour extraire la racine cubique d'un nombre quelconque, il faut suiTre la méthode suivante :
Si le nombre proposé n'a pas plus de trois ûhifltes, sa racine se trouve dans les unités; car 10 , qui est le
flus petit nombre de deux chiffres, en a 4 à son cube 10 X 10 X 10 = 1000). Si le nombre en contient nlus de trois, on le partage en tranches de trois chiffres en allant de droite à gauche : la dernière peut e& avoir moins de trois. On cherche ensuite la racine cribique de la dernière tranche, on Técrit au-dessus du trait horizontal , et on retranche le ctAe de cette racine du nombre sur lequel on opère ; à côté du resteon écrit la tranche suivante ; on en sépare les deux chifltes à droite par un point, puis on divise la partie à cauche du point car le triple carré des dizaines; on écrit le quotient a la racine, après quoi on soustrait de la tranche que Ton vient de diviser la somme du produit du triple carré des dizaines multiplié par ce dernier chiffre, + celui du triple des dizaines multiplié par le carré des unités, + 1^ cube des unités.
* 31 6. On pourrait aussi, ce qui est plus expédi tif quand il y a plus de deux tranches, cuber la racine obtenue, et retrancher ce cubeMe toutes les tranches déjà employées. On renouvelle les mêmes opérations toutes les fois qu'on écrit une nouvelle tranche à côté du reste. Le nombre
ui se trouve à la racine exprime alors la racine cubique u nombre proposé.
* 317. Soit proposé de trouver la racine cubique de 12167.
Opération,
BAffiHB CUBIQin. *<fll6
"Je.difrina ce nomlife est composé de quatre 9ttMefl,<dontilaiplas •grande est le cube des dizaines (n** 313) ; or^ le cube des diiaiecsAO Beutètre que dans les mille (10 x 10 x 10 = 1000); J'en sépsre «OBC trois chiffres^ et je cherche la saiône du pins gruid cube cour tenu dans là; je trouve que c'est 2, je Técns au-dessus duHmit "'"^ ""■ ' '^ '" '"' ' '' retranche du nomlMre sur
'autre tranche, et j'ai [parties dont la plus grande est le produit de trois fois le carré des dizaines par les unités ; mais ce produit ne peut être que dans les centaines ( 10 x 10 x 8 x 1 = SOO) ; c'est pour cela que j'en sépare â chiffres à droite par un point, et je dis : puisque 41 contient le produit de trois fois le carré des dizaines par les unités, si je le divise par trois fois le carré des dizaines, il viendra les unités au quotient Je carre donc 2, puis je triple ce carré, et j'ai pour diviseur 12; je divise 41 par ce nombre, et il vient 3 que j écris à la racine. Pour m assurer que 3 égale Les unités, j'essaie st je puis retrancher de 4167 les trois nombres qui y sont contenus, c'est-a-diie trùs fois le carré des dizaines x les unités, x trois fois les dizaines X le carré des unités, + le cube des unités ; et comme Je-TOis qu'il ne reste rien, j'en conclus que 23 est la racine cubique ie 11167.
Si le nombre dont on \mt avoir la racine avait trois tranches^ sa racine serait composée de dizaines, et d'unités; or^ le -eûbe de ces dizaines se trouverait dans les mille ; on en séparerait donc les mille^ qui forment deux tranches, pour en extraire la racine cubique ; puis on opérerait sur ces deux tranches comme on a fait peur extraire la racine du nombre précédent gui n'en «vait que deux. On aurait les unités en raisonnant et en opérant comme on a fait pour les avoir dans Fexemple précédent.
* 318. Si, après l'extraction de la racine de la dernière tranche, il restait. un nombre qui conluit trois fois le xarré de celui qui est à la racine, -{• trois fois ce nombre, + l'unité, ce serait une mar(}ue que le dernier chiffre écrit, à la racine serait trop faible.
* 310. Pour approcher de la véritable racine = 'au mofen des décimales, il faut écrire, à la droite de ce qui reste après l'extraction, autant de fois trois zéros qû on (Vent -avoir de chiAres décimaux à la racine , et on opère
. ensuite «wnme à Tordinaire, ayant soin de séparer à la racine autant de chiffres que Ton a écrit de fois trois zéros à la droite du reste.
Ceci est évident, si la racine doit avoir un certain
t06 FROBLiMIS SUR LA BACIlfE GUBIQUI.
nombre de chifiïes décimaux , le cube en aura trois fois plus (n** 62).
S'il s'agissait d'un nombre accompagné déjà de chiffres décimaux , on les compterait avec les zéros qu'on écrit.
Exempk.
Soit à extraire la racine cubique du nombre 36,20 , à moins d'un millième près.
Gomme il y a deux chiffres décimaux au nombre dont on demande
Questions sur la Racine cubique.
Qu'appelle-t-on cube d'un nombre? 312 — De quoi est composé Iç Cîi£e dun nombre renfermant des dizaines et des unités? 813. — Qt/ appelle- 1 -on racine cubique d'un nombre? 314. — Que faut-il faire pour extraire la racine cubique d'un nombre quelconque? 315. — Quand le reste est -il trop fort? 318. — Que faut -il faire pour approcher de la véntable racine au moyen des décimales? 319.
